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《普通高中数学课程标准》指出：“学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的‘再创造’过程”。新课程的理念要求改变学生的学习方式和老师的教学方式，把观察、实践、猜测、交流、反思纳入学习过程，让学生体会数学的魅力和力量。这其实是对老师提出了更高的要求，即如何指导学生学会学习数学的方法。本文仅通过几个教学案例，浅析例题教学中关于“用问题引导学习”及“类比与联想”的几点体会。
一、问题引导学习
用问题引导学习是新课标中改进学生的学习方式和老师的教学方式的指导思想。要求老师在精通教材的同时还要了解学生，提出符合学生思维水平的有启发性的问题，为学生搭建思维的平台，激发兴趣，引导学生积极主动地进行自主学习，让学生体验数学发现和再创造的历程，发展他们的创新意识。那么在教学中如何恰到好处地提出问题呢？
案例1：已知x1是方程xlgx=2007的根，x2是方程x·10x=2007的根，则x1·x2为（）
A.2004B.2005 C.2006 D.2007
学生初见此题时可能会感到无从下手，老师先不忙于引导，让学生说说从已知条件和所要求解的问题中看出了什么？
学生甲回答： x1,x2分别满足方程，x·lgx=2007及x·10x=2007
即 x1lgx1=2007①x210x2=2007②
因为目标是求x1·x2，所以用①×②得x1·x2· lgx1·10x2 =2007③
虽然此式中出现了x1·x2 ，但还有 lgx1·10x2 无法处理。
到此学生的思维受阻，这时老师可适当引导，给学生的思维撬开一条缝。
老师问：能继续下去吗？ 10x2与lgx1 有关系吗？
学生思考片刻后回答：只有一点念头，指数式与对数式可以互化。
老师鼓励学生：顺着这个念头进行下去会怎样？
学生试探着做下去：
令t=10x2(或t=lgx1） ，则x2=lgt代入②式，
则t·lgt=2007，这说明t是x·lgx=2007的根
将t=x1 即x1=10x2代入②式,有x1·x2=2007
学生们兴奋了, 满心欢喜（持续一会儿）
老师继续问： t也是x·lgx=2007的根就能说明x1=t吗？
学生思考后回答：只要能说明x·lgx=2007 有且只有一个根就可以了。
∴方程x·lgx=2007 有且只有一个根
老师：很好，这个问题我们已经得到了圆满的解决，反思一下解题过程，你还有新的发现吗？
学生乙回答：可以用数形结合的办法来求解。
（教室安静片刻，紧接着学生们恍然大悟）
老师问：让我们反思一下，以上两种方法之间有什么必然的联系吗？
(学生深思后回答)
其实点M和N还可以表示为M(x1,lgx1),N(x2,10x2)
∵M与N关于y=x对称， ∴x1=10x2（或x2=lgx1）
而这正是在解法一中经推理得到的结论。
（经过一番探索、尝试，师生共同感受着成就感和幸福感）
二、类比着学、联想着学
（一）类比是根据两个不同的对象在某些方面(如特征、属性、关系)的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并做出某种判断的推理方法。
波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。教材中的许多内容，如等差数列与等比数列；椭圆与双曲线；立体几何与平面几何；向量与数量等都可以用类比的方法进行教学，通过这些内容，再配以典型例题加以训练，可培养学生自觉地运用类比方法的意识。
案例2：在等差数列{an} 中，若a10=0 则有等式: a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n,(n<19,n∈N*）成立。类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1则有等式_________________成立。
通过类比，可猜测出： b1b2……bn=b1b2……b17-n(n<17,n∈N*)
以下是对上述命题的证明：
证明：在等比数列{bn}中，由b9=1知b1b17=b2b16=……=b8b10=b29=1①
∴b1b2……bn=b1b2……b17-n，这是一个极好的运用类比思想的高考题。
（二）联想是以观察为基础，对研究的对象或问题的特点，联系已有的知识和经验进行想象的思维方法。
联想有特殊到一般的联想，数形联想，类比联想等等。联想需要有丰厚的储备，因此需要我们在学习过程中，将知识系统化，将自己平时的解题经验提炼出来，储存在自己的头脑中，解题时有意识地进行联想。
这是一个成功的高考题，通过联想解题，实现了由等式到不等式迁移。
学生们体验着由类比、联想思维所获得的成功，尝试着自己是探索者，发现者，品味着快乐和幸福，激励着他们在面对新颖陌生的题目时，仔细地观察，大胆地猜想，去探索，使他们的思维更灵活，更敏捷，会运用合情推理和奇思妙想，给出超凡脱俗的解答，这正是我们数学老师所要追求的一种境界。
（责任编辑：张华伟）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、问题引导学习
用问题引导学习是新课标中改进学生的学习方式和老师的教学方式的指导思想。要求老师在精通教材的同时还要了解学生，提出符合学生思维水平的有启发性的问题，为学生搭建思维的平台，激发兴趣，引导学生积极主动地进行自主学习，让学生体验数学发现和再创造的历程，发展他们的创新意识。那么在教学中如何恰到好处地提出问题呢？
案例1：已知x1是方程xlgx=2007的根，x2是方程x·10x=2007的根，则x1·x2为（）
A.2004B.2005 C.2006 D.2007
学生初见此题时可能会感到无从下手，老师先不忙于引导，让学生说说从已知条件和所要求解的问题中看出了什么？
学生甲回答： x1,x2分别满足方程，x·lgx=2007及x·10x=2007
即 x1lgx1=2007①x210x2=2007②
因为目标是求x1·x2，所以用①×②得x1·x2· lgx1·10x2 =2007③
虽然此式中出现了x1·x2 ，但还有 lgx1·10x2 无法处理。
到此学生的思维受阻，这时老师可适当引导，给学生的思维撬开一条缝。
老师问：能继续下去吗？ 10x2与lgx1 有关系吗？
学生思考片刻后回答：只有一点念头，指数式与对数式可以互化。
老师鼓励学生：顺着这个念头进行下去会怎样？
学生试探着做下去：
令t=10x2(或t=lgx1） ，则x2=lgt代入②式，
则t·lgt=2007，这说明t是x·lgx=2007的根
将t=x1 即x1=10x2代入②式,有x1·x2=2007
学生们兴奋了, 满心欢喜（持续一会儿）
老师继续问： t也是x·lgx=2007的根就能说明x1=t吗？
学生思考后回答：只要能说明x·lgx=2007 有且只有一个根就可以了。
∴方程x·lgx=2007 有且只有一个根
老师：很好，这个问题我们已经得到了圆满的解决，反思一下解题过程，你还有新的发现吗？
学生乙回答：可以用数形结合的办法来求解。
（教室安静片刻，紧接着学生们恍然大悟）
老师问：让我们反思一下，以上两种方法之间有什么必然的联系吗？
(学生深思后回答)
其实点M和N还可以表示为M(x1,lgx1),N(x2,10x2)
∵M与N关于y=x对称， ∴x1=10x2（或x2=lgx1）
而这正是在解法一中经推理得到的结论。
（经过一番探索、尝试，师生共同感受着成就感和幸福感）
二、类比着学、联想着学
（一）类比是根据两个不同的对象在某些方面(如特征、属性、关系)的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并做出某种判断的推理方法。
波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。教材中的许多内容，如等差数列与等比数列；椭圆与双曲线；立体几何与平面几何；向量与数量等都可以用类比的方法进行教学，通过这些内容，再配以典型例题加以训练，可培养学生自觉地运用类比方法的意识。
案例2：在等差数列{an} 中，若a10=0 则有等式: a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n,(n<19,n∈N*）成立。类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1则有等式_________________成立。
通过类比，可猜测出： b1b2……bn=b1b2……b17-n(n<17,n∈N*)
以下是对上述命题的证明：
证明：在等比数列{bn}中，由b9=1知b1b17=b2b16=……=b8b10=b29=1①
∴b1b2……bn=b1b2……b17-n，这是一个极好的运用类比思想的高考题。
（二）联想是以观察为基础，对研究的对象或问题的特点，联系已有的知识和经验进行想象的思维方法。
联想有特殊到一般的联想，数形联想，类比联想等等。联想需要有丰厚的储备，因此需要我们在学习过程中，将知识系统化，将自己平时的解题经验提炼出来，储存在自己的头脑中，解题时有意识地进行联想。
这是一个成功的高考题，通过联想解题，实现了由等式到不等式迁移。
学生们体验着由类比、联想思维所获得的成功，尝试着自己是探索者，发现者，品味着快乐和幸福，激励着他们在面对新颖陌生的题目时，仔细地观察，大胆地猜想，去探索，使他们的思维更灵活，更敏捷，会运用合情推理和奇思妙想，给出超凡脱俗的解答，这正是我们数学老师所要追求的一种境界。
（责任编辑：张华伟）
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