论文部分内容阅读
摘 要：在数学教学中渗透数学思想方法有助于学生建构良好的认知体系，教师高观点处理教材，帮助学生科学思考，探索规律，发现解决问题的途径。学生在学习中亲身经历探究、思考、抽象、推理和反思过程，感悟思想与方法，积累学习和实践经验，形成数学的思维方式和能力。
关键词：渗透；数学思想方法；教学目标；数学学习过程
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“《课程标准》”）已经明确将“基本的数学思想方法”作为学生数学学习的目标之一，要求通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。而思想方法建立在实践的基础上，这就赖以“过程的教育”。学生在学习中亲身经历探究、思考、抽象、推理和反思过程，感悟思想与方法，积累学习和实践经验，形成数学的思维方式和能力。
实践证明，在数学教学中渗透数学思想方法有助于学生更好地理解和掌握所学知识；有助于学生建构良好的认知体系；更有助于真正提高学生的数学素养，使他们终身受益。这样无形的内容，需要有心为之。下面结合教学实践，谈谈基于学生学习过程的数学思想方法的渗透。
一、在教学中目标定位，以数学思想方法渗透为核心
教学目标是课堂教学的指路灯塔，它既是起点也是终点。因此，它的恰当与否，直接影响课堂教学的效果。《课程标准》指出：“学生必须获得的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。”对于从数学内容里抽象出的数学思想方法，需要的是长期的渗透、不断的体验以及慢慢的领悟。所以，教师应对教材深入研究，挖掘其中的数学思想方法，根据学生的年龄特征和认识规律，准确定位目标，分段加以落实，有意识地引导学生经历知识的形成过程，有机进行渗透，让学生自主探究，发现数学思想方法。那么如何准确地进行教学目标定位呢？
1.重视教材，提高渗透意识性
新课标下教科书在知识的编排上直观、易懂、层次分明，整个体系中蕴含着许多数学思想方法。无论是直观的表达还是隐性的呈现，教师在教学中都要不断渗透，突出数学思想方法。
如《分数的基本性质》教学片段：
（1）出示算式：1÷3，2÷6，3÷9……师问：“这些算式之间有什么关系？”
（2）师问：“为什么它们的商会相等呢？运用了什么规律？”（生：商不变性质）
（3）你会把上面的除法算式改写成分数吗，这三个分数之间又有什么关系呢？（学生讨论、交流）
（4）验证：从长方形、线段、分数的意义以及分数与除法的关系等证明它们之间隐含的规律。
（5）对照商不变性质总结分数的基本性质。
教师在教学中从“固定点”商不变性质同化新知，学生“类比迁移”，获得三个分数大小相等的猜测。学生通过画线段、长方形等应用数形结合的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。在教师的引导下，从局部到整体、应用推理的思想方法提炼出分数的基本性质。这个教学过程，教师不是把分数的基本性质直接告诉学生，而是学生主动构建的过程。
数学教材的每个知识块和数学课堂的方方面面，隐藏许多数学思想方法。因此，从数学思想方法的角度对教材系统了解、分析，理清各知识点所反映的数学思想方法，是教师研究教材的一个重要方向。
2.读懂教材，突出渗透层次性
《课程标准》在教材编写建议中指出：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程……因此，教材在呈现相应的教学内容与数学思想方法时，应根据学生年龄特征与知识积累遵循科学性，逐级递进原则。”每个学段对数学思想方法的教学要求是不同的，学生的知识结构和认知水平随着年龄的增长而变化，数学思想方法的渗透也应随着变化。在各学段要求学生在什么层次上把握数学思想设计其合理的教学中，用不同方式有目的、有意思地进行数学思想方法的教学，让学生认识或掌握某种具体的数学思想方法，引导其有意识的应用。
总之，数学思想方法是在学生学习思考的过程中逐步积累形成，需要实践经验的积累，是经历体验的一个过程。教师渗透数学思想方法，须依据教材内容，结合学生年龄和思维特点，不同学段提出具体的教学要求，使数学思想方法的渗透体现出明显的阶段性和层次性。
二、在数学学习活动中，落实渗透数学思想
《课程标准》在总体目标中提出：“基本思想（数学思想方法）、基本活动经验的培养要以知识、技能的学习融为一体。”数学思想方法存在于数学内部的发展之中，在数学知识产生形成过程中使学生体会和感悟。
1.引导体验，培养数学思想意识
低年级重在感悟积累，教师在教学中精心预设，渗透数学思想，让学生在学习中领会，在解决问题的过程中体会数学思想方法带来的成功的乐趣。如表内除法，让学生体会到：求商可把除法转化表内乘法口诀，再用乘法口诀解决问题。又如《角的初步认识》从学生的生活实际出发，寻找生活中的角，在学生丰富的已有经验中逐步抽象出 “角”，在比较角的大小中通过演示把角的两边无限延长，这里渗透有符号思想又有极限思想。
2.引导理解，提升思维能力
中年级重在概括提升，在课堂教学中逐步加强数学思想方法的渗透，适时对数学思想方法加以概括提升，让学生留下深刻印象，对数学学习内容中应用了什么数学思想方法，学会数学思维。
如三年级口算除法：60÷2=（ ），学生独立思考口算方法，交流、汇报后引导发现：可以把60转化成6个10，想6÷2=3，6个10除以2是3个10即是30；或把除法问题转化为整十乘一位数。教师指出：转化是帮助我们解决问题的好办法，今后对新问题想到转化我们已学过的内容来解决。这样的无痕渗透，使数学思想方法留在学生心中，学会用这种思想方法思考问题。 3.引导运用，发展数学思维
高年级重在灵活运用。当学生在学习活动中，遇见具体的问题情境，激发思维能力，选择正确的思维方法，同时在活动中感受到思想方法的深刻性、灵活性。
例如，五年级上册《鸡兔同笼》，为了落实数学思想的渗透，教学中应注重几点：①重点渗透假设思想。沟通直观图示法、鸡翅变脚法等激活学生原有的生活经验，顺利解决这一古怪的问题。②渗透建模思想。通过假设、检验、提炼、应用的过程，帮助学生理解“鸡兔同笼”问题的数量关系和方程求解模型，引导学生应用这一模型解决其他问题。③渗透化归思想。让学生明白许多问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题，发散学生的解题思路，拓展学生数学学习眼界，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的广泛应用。
总之，基于学生学习活动数学思想方法的渗透必须融入数学知识、技能学习之中，且持续不断教学渗透，让数学思想方法体现在数学教学每一个环节。
三、立足数学，在训练中理解数学思想
数学思想方法是在启发学生数学思考的过程中逐步形成的，不是一蹴而就立竿见影的，需要经历一个过程。教师要结合教材内容，训练到位，注重系统间不同阶段的拓展与延伸。
1.对应训练，提炼方法
在课堂教学中，抽象出某种数学思想方法后，让学生有所训练，进一步体会数学思想方法，同时使学生在训练中提炼方法、归纳方法、开拓思路、完善自我。
例如五年级《植树问题》教学，引导学生建模：“总长/间隔=间隔数、间隔数 1=棵树（两端要栽）”，用模型解释、解决问题。如电线杆、敲钟、排队问题等，让学生学会在类似的问题中，运用“模型思想”迁移解决，同时引导学生交流，感悟植树问题的思想方法，深化对解题方法的认识。
2.不受局限，学以致用
数学思想的训练不受局限。遇到同知识点的新授时，引导学生根据知识的迁移，利用前面所学的数学思想方法来解决问题。
如教学《平行四边形的面积》时，教师引领学生经历“情境—图形—关系—符号”的逐步抽象过程，体会数学思想。①创设情境。平行四边形与长方形这两个花坛哪一个大？②抽取图形。具体实物抽象成平面图形（平行四边形），即生活问题抽象成数学问题。③感悟关系。运用猜测、推理的基本思想，利用类比、转化、排除的数学思想方法，将平行四边形转化成长方形，在比较、分析，发现平行四边形面积与底、高的内在关系。④符号表征。将内在关系抽象表述为符号，即S=a×b。学生在以上学习活动中，经历具体图形（情境）—平面图形—内在关系—符号表征的抽象过程，充分体会数学思想方法，拓展了数学思维。数学思想方法作为数学认知结构形成的核心起到了重要的组织作用。只有当学生将某一思想方法应用于新的情境，能够解决其他有关问题并有所创新时，才能肯定学生对这一数学方法有了较为深刻的认识。
四、在应用中顿悟，发展数学思想
在教学中渗透数学思想方法的最终目的是提升和发展学生的数学思维品质。数学思想方法蕴含在数学问题的解决中，解决数学问题方向更是遵循数学思想方法的指导。因此，在教学中既要重视知识的掌握，又要关注数学思想的形成，突出数学思想方法在解决问题中的指导作用，让学生领悟数学思想方法。
综上所述，数学思想方法是数学知识的有机组成部分，是从数学内容里抽象出来的，是知识转化为能力的动力。美国教育心理学家布鲁纳曾说过：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’。”
（作者单位：福建省龙岩师范附属小学）
关键词：渗透；数学思想方法；教学目标；数学学习过程
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“《课程标准》”）已经明确将“基本的数学思想方法”作为学生数学学习的目标之一，要求通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。而思想方法建立在实践的基础上，这就赖以“过程的教育”。学生在学习中亲身经历探究、思考、抽象、推理和反思过程，感悟思想与方法，积累学习和实践经验，形成数学的思维方式和能力。
实践证明，在数学教学中渗透数学思想方法有助于学生更好地理解和掌握所学知识；有助于学生建构良好的认知体系；更有助于真正提高学生的数学素养，使他们终身受益。这样无形的内容，需要有心为之。下面结合教学实践，谈谈基于学生学习过程的数学思想方法的渗透。
一、在教学中目标定位，以数学思想方法渗透为核心
教学目标是课堂教学的指路灯塔，它既是起点也是终点。因此，它的恰当与否，直接影响课堂教学的效果。《课程标准》指出：“学生必须获得的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。”对于从数学内容里抽象出的数学思想方法，需要的是长期的渗透、不断的体验以及慢慢的领悟。所以，教师应对教材深入研究，挖掘其中的数学思想方法，根据学生的年龄特征和认识规律，准确定位目标，分段加以落实，有意识地引导学生经历知识的形成过程，有机进行渗透，让学生自主探究，发现数学思想方法。那么如何准确地进行教学目标定位呢？
1.重视教材，提高渗透意识性
新课标下教科书在知识的编排上直观、易懂、层次分明，整个体系中蕴含着许多数学思想方法。无论是直观的表达还是隐性的呈现，教师在教学中都要不断渗透，突出数学思想方法。
如《分数的基本性质》教学片段：
（1）出示算式：1÷3，2÷6，3÷9……师问：“这些算式之间有什么关系？”
（2）师问：“为什么它们的商会相等呢？运用了什么规律？”（生：商不变性质）
（3）你会把上面的除法算式改写成分数吗，这三个分数之间又有什么关系呢？（学生讨论、交流）
（4）验证：从长方形、线段、分数的意义以及分数与除法的关系等证明它们之间隐含的规律。
（5）对照商不变性质总结分数的基本性质。
教师在教学中从“固定点”商不变性质同化新知，学生“类比迁移”，获得三个分数大小相等的猜测。学生通过画线段、长方形等应用数形结合的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。在教师的引导下，从局部到整体、应用推理的思想方法提炼出分数的基本性质。这个教学过程，教师不是把分数的基本性质直接告诉学生，而是学生主动构建的过程。
数学教材的每个知识块和数学课堂的方方面面，隐藏许多数学思想方法。因此，从数学思想方法的角度对教材系统了解、分析，理清各知识点所反映的数学思想方法，是教师研究教材的一个重要方向。
2.读懂教材，突出渗透层次性
《课程标准》在教材编写建议中指出：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程……因此，教材在呈现相应的教学内容与数学思想方法时，应根据学生年龄特征与知识积累遵循科学性，逐级递进原则。”每个学段对数学思想方法的教学要求是不同的，学生的知识结构和认知水平随着年龄的增长而变化，数学思想方法的渗透也应随着变化。在各学段要求学生在什么层次上把握数学思想设计其合理的教学中，用不同方式有目的、有意思地进行数学思想方法的教学，让学生认识或掌握某种具体的数学思想方法，引导其有意识的应用。
总之，数学思想方法是在学生学习思考的过程中逐步积累形成，需要实践经验的积累，是经历体验的一个过程。教师渗透数学思想方法，须依据教材内容，结合学生年龄和思维特点，不同学段提出具体的教学要求，使数学思想方法的渗透体现出明显的阶段性和层次性。
二、在数学学习活动中，落实渗透数学思想
《课程标准》在总体目标中提出：“基本思想（数学思想方法）、基本活动经验的培养要以知识、技能的学习融为一体。”数学思想方法存在于数学内部的发展之中，在数学知识产生形成过程中使学生体会和感悟。
1.引导体验，培养数学思想意识
低年级重在感悟积累，教师在教学中精心预设，渗透数学思想，让学生在学习中领会，在解决问题的过程中体会数学思想方法带来的成功的乐趣。如表内除法，让学生体会到：求商可把除法转化表内乘法口诀，再用乘法口诀解决问题。又如《角的初步认识》从学生的生活实际出发，寻找生活中的角，在学生丰富的已有经验中逐步抽象出 “角”，在比较角的大小中通过演示把角的两边无限延长，这里渗透有符号思想又有极限思想。
2.引导理解，提升思维能力
中年级重在概括提升，在课堂教学中逐步加强数学思想方法的渗透，适时对数学思想方法加以概括提升，让学生留下深刻印象，对数学学习内容中应用了什么数学思想方法，学会数学思维。
如三年级口算除法：60÷2=（ ），学生独立思考口算方法，交流、汇报后引导发现：可以把60转化成6个10，想6÷2=3，6个10除以2是3个10即是30；或把除法问题转化为整十乘一位数。教师指出：转化是帮助我们解决问题的好办法，今后对新问题想到转化我们已学过的内容来解决。这样的无痕渗透，使数学思想方法留在学生心中，学会用这种思想方法思考问题。 3.引导运用，发展数学思维
高年级重在灵活运用。当学生在学习活动中，遇见具体的问题情境，激发思维能力，选择正确的思维方法，同时在活动中感受到思想方法的深刻性、灵活性。
例如，五年级上册《鸡兔同笼》，为了落实数学思想的渗透，教学中应注重几点：①重点渗透假设思想。沟通直观图示法、鸡翅变脚法等激活学生原有的生活经验，顺利解决这一古怪的问题。②渗透建模思想。通过假设、检验、提炼、应用的过程，帮助学生理解“鸡兔同笼”问题的数量关系和方程求解模型，引导学生应用这一模型解决其他问题。③渗透化归思想。让学生明白许多问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题，发散学生的解题思路，拓展学生数学学习眼界，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的广泛应用。
总之，基于学生学习活动数学思想方法的渗透必须融入数学知识、技能学习之中，且持续不断教学渗透，让数学思想方法体现在数学教学每一个环节。
三、立足数学，在训练中理解数学思想
数学思想方法是在启发学生数学思考的过程中逐步形成的，不是一蹴而就立竿见影的，需要经历一个过程。教师要结合教材内容，训练到位，注重系统间不同阶段的拓展与延伸。
1.对应训练，提炼方法
在课堂教学中，抽象出某种数学思想方法后，让学生有所训练，进一步体会数学思想方法，同时使学生在训练中提炼方法、归纳方法、开拓思路、完善自我。
例如五年级《植树问题》教学，引导学生建模：“总长/间隔=间隔数、间隔数 1=棵树（两端要栽）”，用模型解释、解决问题。如电线杆、敲钟、排队问题等，让学生学会在类似的问题中，运用“模型思想”迁移解决，同时引导学生交流，感悟植树问题的思想方法，深化对解题方法的认识。
2.不受局限，学以致用
数学思想的训练不受局限。遇到同知识点的新授时，引导学生根据知识的迁移，利用前面所学的数学思想方法来解决问题。
如教学《平行四边形的面积》时，教师引领学生经历“情境—图形—关系—符号”的逐步抽象过程，体会数学思想。①创设情境。平行四边形与长方形这两个花坛哪一个大？②抽取图形。具体实物抽象成平面图形（平行四边形），即生活问题抽象成数学问题。③感悟关系。运用猜测、推理的基本思想，利用类比、转化、排除的数学思想方法，将平行四边形转化成长方形，在比较、分析，发现平行四边形面积与底、高的内在关系。④符号表征。将内在关系抽象表述为符号，即S=a×b。学生在以上学习活动中，经历具体图形（情境）—平面图形—内在关系—符号表征的抽象过程，充分体会数学思想方法，拓展了数学思维。数学思想方法作为数学认知结构形成的核心起到了重要的组织作用。只有当学生将某一思想方法应用于新的情境，能够解决其他有关问题并有所创新时，才能肯定学生对这一数学方法有了较为深刻的认识。
四、在应用中顿悟，发展数学思想
在教学中渗透数学思想方法的最终目的是提升和发展学生的数学思维品质。数学思想方法蕴含在数学问题的解决中，解决数学问题方向更是遵循数学思想方法的指导。因此，在教学中既要重视知识的掌握，又要关注数学思想的形成，突出数学思想方法在解决问题中的指导作用，让学生领悟数学思想方法。
综上所述，数学思想方法是数学知识的有机组成部分，是从数学内容里抽象出来的，是知识转化为能力的动力。美国教育心理学家布鲁纳曾说过：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’。”
（作者单位：福建省龙岩师范附属小学）