论文部分内容阅读
人教版高中数学教材中的阅读材料（注：本文特指教材中考纲要求之外的“阅读与思考”内容）是重要的课程资源，内容极为丰富，用来课外阅读可以拓宽学生视野、激发学生数学学习兴趣，用来课内拓展教学则有利于提升学生的数学学习能力.从必修1到必修5，教材中总共有40个阅读材料，大致包含四类内容：一种是史学类内容，主要介绍著名数学家在数学史上的重要贡献；一种是正文拓展类内容，是对教材正文知识的补充和延伸；一种是数学应用类内容，主要包括数学在实际生活中的应用及利用信息技术解决数学问题；一种是思想方法类内容，主要是以数学知识为载体，将数学的思想方法蕴涵于知识之中，体现数学精神.对于史学类和数学应用类阅读材料，教师通常是让学生课外自行阅读；对于正文拓展类和思想方法类阅读材料，鉴于它与正文知识的密切关联，隐含重要的数学思想方法，教师通常会把这些内容放到拓展课当中，在课堂中引导学生进行探究式学习.下面我们以人教版必修4第一章第五节《函数[y=Asin（ωx+φ）]的图象与性质》的“阅读与思考”阅读材料教学为例，谈谈如何运用“教学环”策略实施探究课教学.
一、学情和教学内容分析
本课“阅读与思考”介绍了振幅、周期、频率、相位等知识在音乐中的运用：声音中包含正弦函数，美妙的音乐是由周期函数叠加而成，声音的函数是[y=sinx+][12sin2x+][13sin3x+…].之前学生已经学习了函数[y=sinx]，[y=][cosx]以及[y=Asin（ωx+φ）]的图象和性质，对函数性质的研究有一定思路，但是，让学生对几个特殊函数进行归纳、猜想、推理、论证去发现叠加函数的研究思路，仍然存在相当难度.于是，我们决定让学生从研究两个周期函数叠加后的图象和性质入手，通过图象推论声音函数的性质，逐渐累积经验，而且该内容刚好可以作为函数[y=Asin（ωx+φ）]的图象和性质的自然延伸.另外，让学生直接从代数角度去研究函数的性质也不是一件容易的事，我们打算运用几何画板动态演示，让学生先尝试通过观察图象来猜测函数的性质及函数周期性存在的条件，再尝试运用代数方法推理论证.最终我们确定了如下学习目标：1.会借助几何画板画出图象，观察图象后能猜想函数的性质；2.能运用类比推理和归纳推理等思维方式，获得研究的方法；3.懂得数学的结论需要通过代数推理论证；4.体会函数的实际运用，激发学习动力.
二、教学流程及操作策略解析
基于“教学环”理念，探究课的课前预习、课堂学习和课后练习依然是一个有机的整体.课前任务导读须紧扣上一课的教学内容，体现探究内容的连续性；课堂学习意在充分发挥探究教学的作用，启发学生动手、动脑，实现知识的自主建构，培养自主学习能力；课后思考和练习既要巩固本课探究学习的内容，又要为下一节课的学习做好铺垫，体现教学的环环相扣.
（一）课前任务导读
本课任务导读之导读提纲已经融入了上节课的课后思考题当中，为本课导读的任务主要包括下面两个问题.
1.求函数[y=sinx+cosx]的定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性；
2.阅读“阅读与思考”，你学到了什么？结合你学到的知识，尝试求函数[y=sinx+cos2x]的性质.
问题1主要是对上节课的复习；问题2是问题1的变式，也是本课研究[y=sinAx+cosBx]这类函数的特例，目的是引导学生从特例出发，学会归纳一般函数的性质.
（二）课堂知识探究和课后作业布置
通常而言，探究课的基本教学模式包括问题引入、探究实践、展示交流、反思小结、布置作业5个教学环节.
1.问题引入
由优美动听的音乐到高深莫测的叠加函数，這个认知跨度对学生来说是相当巨大的.为了引领学生顺利进入“音乐中的函数”思维状态，我们决定运用音频软件直观展示音乐的痕迹，把声音图象化，方便学生经由直观想象架接起音乐和数学函数之间的桥梁，顺利进入对音乐中的函数现象的研究状态.
课堂上，教师先让全班学生起立，集体唱校歌，并顺手打开了千千静听音频软件，录下了学生的歌声这个音频文件，然后给学生观察播放中的音乐图象（如图1）.
师：看到这个图象，大家想一想，它是不是有点儿像我们以前学过的哪个函数图象？
生：好像有点像三角函数的图象……
师：你能具体说说是像哪一种三角函数的图象吗？
生：像是正弦函数的图象，但有些又不是……
师：为什么说“有些又不是”呢？
生：因为图象的最高点不一致，且从局部看，周期不同.
师：有道理.不过，其实美妙的音乐是由几个周期函数叠加而成的，声音的函数是[y=sinx+12sin2x+][13sin3x+…].今天我们就来学习简单的正、余弦函数如何形成复杂的叠加函数，如[y=sinAx+cosBx].
直观想象是数学学科核心素养之一，本环节借助动态图形，直观展示了音乐流淌的痕迹，再通过教师的引导，让学生初步感知到图形与函数的关系，同时发展数形结合思维.但是，这些初步的感知终归是不可靠的，它需要代数思想的推理论证.鉴于声音函数的研究难度较大，我们决定适当降低问题的难度：用简单的正、余弦函数为基础，探究复杂函数（如一次叠加的周期函数）的形成.
2.探究实践
由简单函数到复杂函数，体现的是从简单到复杂，从特殊到一般的数学思维过程.在正式研究该问题之前，教师可以引导学生思考研究的方法和目标：先揭示研究的一般过程及方法，再提供类比推理的范例，最终由学生提出本课所要研究的具体问题及具体的研究方法.
师：形如[y=sinAx+cosBx]这类函数，我们学过吗？
生：学过.
师：请问你在哪里见过？
生：当[A≠0，B=0]时，它可以变成我们学过的正弦型函数[y=sinAx]；当[A=0，B≠0]时，它就成了余弦型函数[y=cosBx]；当[A=B]时，可以利用辅助角公式把该函数转化为正弦型函数[y=sin（ωx+φ）]. 师：很好！你对系数做了充分的讨论，那你对于系数[A]，[B]还有什么要求吗？
生：我觉得应该研究当[A≠B]，且[AB≠0]的时候……
师：好，那我们就研究函数[y=sinAx+cosBx]（其中[A≠B]，且[AB≠0]）.那具体研究什么问题呢？请大家回忆一下，以前我们在学习正弦函数、余弦函数的时候，都研究了哪些问题？
生：研究了它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性.
师：我们是如何研究的？
生：通过图象来研究.
师：那么，对这类函数，能画出图象来吗？
生：不好画……
师：用之前“五点法”画函数图象的办法来画这类复杂函数，确实有点困难.不过，大家可以用上咱们手头的平板电脑.好了，现在每4人一组，试着用几何画板软件来画出这个函数的图象，然后再通过这个复杂函数的图象来研究它的性质吧.
回顾过去，是为了研究现在.在上面的师生对话中，学生的分析能力是相当不错的，基本能够按照教师的预设，通过回忆之前函数研究的基本套路，提出本课研究的思路：首先是确定本课想要研究的内容即对函数[y=sinAx+cosBx]中的两个系数[A]，[B]提出要求，再明确通过图象研究函数性质的基本思路，从而揭示了研究函数问题的一般过程及方法.
3.展示交流
（1）交流汇报.在该教学环节，学生将以小组为单位，通过动手操作，各组研究一个具体函数的性质：按要求给[A，B]赋予具体的数值，使上面的一般函数变为具体的函数；再运用几何画板作图，观察并研究该具体函数的性质.之后小组汇报交流各自的研究成果，教师引导学生运用各组的研究成果，归纳和猜想函数周期性存在的条件.
学生的操作过程有条不紊.小组四人分工合作，1人操作、1人记录、2人观察分析.动手操作时间约10分钟.接下来是小组汇报研究成果.
第一组研究[f（x）=sinx+cos2x]，结论如下：定义域，R；值域，（-2，2）；单调性，比较复杂；奇偶性，非奇非偶；周期性，[2π].
第二组研究[f（x）=sin12x+cos13x]，结论如下：定义域，R；值域，（-2，1.9）；单调性，比较复杂；奇偶性，非奇非偶；周期性，
归纳总结各组的研究结果，猜想一般函数[y=][sinAx+][cosBx]的性质，大家得出了如下结论：定义域，R；值域，未知；单调性，比较复杂；奇偶性，非奇非偶；周期性，未知.也就是说，在这些有关一般函数的性质中，学生对定义域和奇偶性已基本达成共识，而对值域、单调性、周期性不能做出判定.对于周期性，大家都能得出这个一般函数是有周期的，只是周期不同.那么，一般函数[y=sinAx+cosBx]的周期到底是多少呢？问题得以聚焦.
在以上教学环节，学生通过动手操作、观察、归纳、猜想，经历了从特殊现象中提取一般规律的推理过程，这是得出数学结论、构建数学知识体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
（2）推理论证.推理论证须明确论证方向，懂得运算过程，理解运算对象，掌握运算法则，而这恰恰体现了数学的运算能力.数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.
在该教学环节，教师先引導学生将以上三组实验猜想的3个复杂函数一般化为[f（x）=g（x）+φ（x）]，然后分析函数[g（x）]、[φ（x）]的周期和函数[f（x）]的周期之间的关系.记[g（x）]的周期为[T1]，[φ（x）]的周期为[T2]，[f（x）]的周期为[T]，根据以上三组学生的实验数据，可列出以下三个等式，计算可得[f（x）]的周期.（1）[T1T2=2ππ=21，][T=2π]；（2）[T1T2=4π6π=23，][T=12π]；（3）
4.反思小结
本课内容来自生活，又回归生活.在该教学环节，教师先让学生思考与本课内容有关的实际生活中的案例，然后展示音乐音频图（如图2）、心电图（如图3）等函数图象，让学生真切体会到数学在生活中的应用，感受数学就在身边，进而激发学习动机.
在该教学环节，教师要引导学生简单总结本课自己在内容和方法上的收获，知道先通过图象、再通过代数论证的方法研究函数[y=sinAx+cosBx]（[A≠B，]且[AB≠0]）的性质，包括研究函数的定义域、奇偶性、周期性等内容，并强化问题研究的一般思路（提出问题，实验猜想，推理论证），把问题研究的“钥匙”交给学生，做到“授之以鱼不如授之以渔”，不断提高学生的自主学习能力.其间学生提出了下一步想要研究的问题，即该函数的单调性问题，这刚好是下节课将要研究的内容，说明学生已经掌握了研究问题的一般方法.
5.布置作业
在该教学环节，教师布置了两道题.
1.函数[y=sinx+][cos2x]的定义域、奇偶性、周期性；
2.函数[y=sinx+][cos2x]的单调性.
第1题用于巩固本课新知，第2题为下节课做铺垫.
本课选择课后“阅读与思考”阅读材料作为拓展教学内容，利用“教学环”策略设计整个教学流程，使得教学环环相扣，由上一节“课后练习”即本节的“任务导读”出发，让学生经历提出问题、拟定研究方案、实验猜想、推理论证、得出结论的完整探究过程，学生自主学习能力得到了有效的培养和提升.（题图为黄国稳老师在指导学生审题）
（责编 白聪敏）
一、学情和教学内容分析
本课“阅读与思考”介绍了振幅、周期、频率、相位等知识在音乐中的运用：声音中包含正弦函数，美妙的音乐是由周期函数叠加而成，声音的函数是[y=sinx+][12sin2x+][13sin3x+…].之前学生已经学习了函数[y=sinx]，[y=][cosx]以及[y=Asin（ωx+φ）]的图象和性质，对函数性质的研究有一定思路，但是，让学生对几个特殊函数进行归纳、猜想、推理、论证去发现叠加函数的研究思路，仍然存在相当难度.于是，我们决定让学生从研究两个周期函数叠加后的图象和性质入手，通过图象推论声音函数的性质，逐渐累积经验，而且该内容刚好可以作为函数[y=Asin（ωx+φ）]的图象和性质的自然延伸.另外，让学生直接从代数角度去研究函数的性质也不是一件容易的事，我们打算运用几何画板动态演示，让学生先尝试通过观察图象来猜测函数的性质及函数周期性存在的条件，再尝试运用代数方法推理论证.最终我们确定了如下学习目标：1.会借助几何画板画出图象，观察图象后能猜想函数的性质；2.能运用类比推理和归纳推理等思维方式，获得研究的方法；3.懂得数学的结论需要通过代数推理论证；4.体会函数的实际运用，激发学习动力.
二、教学流程及操作策略解析
基于“教学环”理念，探究课的课前预习、课堂学习和课后练习依然是一个有机的整体.课前任务导读须紧扣上一课的教学内容，体现探究内容的连续性；课堂学习意在充分发挥探究教学的作用，启发学生动手、动脑，实现知识的自主建构，培养自主学习能力；课后思考和练习既要巩固本课探究学习的内容，又要为下一节课的学习做好铺垫，体现教学的环环相扣.
（一）课前任务导读
本课任务导读之导读提纲已经融入了上节课的课后思考题当中，为本课导读的任务主要包括下面两个问题.
1.求函数[y=sinx+cosx]的定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性；
2.阅读“阅读与思考”，你学到了什么？结合你学到的知识，尝试求函数[y=sinx+cos2x]的性质.
问题1主要是对上节课的复习；问题2是问题1的变式，也是本课研究[y=sinAx+cosBx]这类函数的特例，目的是引导学生从特例出发，学会归纳一般函数的性质.
（二）课堂知识探究和课后作业布置
通常而言，探究课的基本教学模式包括问题引入、探究实践、展示交流、反思小结、布置作业5个教学环节.
1.问题引入
由优美动听的音乐到高深莫测的叠加函数，這个认知跨度对学生来说是相当巨大的.为了引领学生顺利进入“音乐中的函数”思维状态，我们决定运用音频软件直观展示音乐的痕迹，把声音图象化，方便学生经由直观想象架接起音乐和数学函数之间的桥梁，顺利进入对音乐中的函数现象的研究状态.
课堂上，教师先让全班学生起立，集体唱校歌，并顺手打开了千千静听音频软件，录下了学生的歌声这个音频文件，然后给学生观察播放中的音乐图象（如图1）.
师：看到这个图象，大家想一想，它是不是有点儿像我们以前学过的哪个函数图象？
生：好像有点像三角函数的图象……
师：你能具体说说是像哪一种三角函数的图象吗？
生：像是正弦函数的图象，但有些又不是……
师：为什么说“有些又不是”呢？
生：因为图象的最高点不一致，且从局部看，周期不同.
师：有道理.不过，其实美妙的音乐是由几个周期函数叠加而成的，声音的函数是[y=sinx+12sin2x+][13sin3x+…].今天我们就来学习简单的正、余弦函数如何形成复杂的叠加函数，如[y=sinAx+cosBx].
直观想象是数学学科核心素养之一，本环节借助动态图形，直观展示了音乐流淌的痕迹，再通过教师的引导，让学生初步感知到图形与函数的关系，同时发展数形结合思维.但是，这些初步的感知终归是不可靠的，它需要代数思想的推理论证.鉴于声音函数的研究难度较大，我们决定适当降低问题的难度：用简单的正、余弦函数为基础，探究复杂函数（如一次叠加的周期函数）的形成.
2.探究实践
由简单函数到复杂函数，体现的是从简单到复杂，从特殊到一般的数学思维过程.在正式研究该问题之前，教师可以引导学生思考研究的方法和目标：先揭示研究的一般过程及方法，再提供类比推理的范例，最终由学生提出本课所要研究的具体问题及具体的研究方法.
师：形如[y=sinAx+cosBx]这类函数，我们学过吗？
生：学过.
师：请问你在哪里见过？
生：当[A≠0，B=0]时，它可以变成我们学过的正弦型函数[y=sinAx]；当[A=0，B≠0]时，它就成了余弦型函数[y=cosBx]；当[A=B]时，可以利用辅助角公式把该函数转化为正弦型函数[y=sin（ωx+φ）]. 师：很好！你对系数做了充分的讨论，那你对于系数[A]，[B]还有什么要求吗？
生：我觉得应该研究当[A≠B]，且[AB≠0]的时候……
师：好，那我们就研究函数[y=sinAx+cosBx]（其中[A≠B]，且[AB≠0]）.那具体研究什么问题呢？请大家回忆一下，以前我们在学习正弦函数、余弦函数的时候，都研究了哪些问题？
生：研究了它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性.
师：我们是如何研究的？
生：通过图象来研究.
师：那么，对这类函数，能画出图象来吗？
生：不好画……
师：用之前“五点法”画函数图象的办法来画这类复杂函数，确实有点困难.不过，大家可以用上咱们手头的平板电脑.好了，现在每4人一组，试着用几何画板软件来画出这个函数的图象，然后再通过这个复杂函数的图象来研究它的性质吧.
回顾过去，是为了研究现在.在上面的师生对话中，学生的分析能力是相当不错的，基本能够按照教师的预设，通过回忆之前函数研究的基本套路，提出本课研究的思路：首先是确定本课想要研究的内容即对函数[y=sinAx+cosBx]中的两个系数[A]，[B]提出要求，再明确通过图象研究函数性质的基本思路，从而揭示了研究函数问题的一般过程及方法.
3.展示交流
（1）交流汇报.在该教学环节，学生将以小组为单位，通过动手操作，各组研究一个具体函数的性质：按要求给[A，B]赋予具体的数值，使上面的一般函数变为具体的函数；再运用几何画板作图，观察并研究该具体函数的性质.之后小组汇报交流各自的研究成果，教师引导学生运用各组的研究成果，归纳和猜想函数周期性存在的条件.
学生的操作过程有条不紊.小组四人分工合作，1人操作、1人记录、2人观察分析.动手操作时间约10分钟.接下来是小组汇报研究成果.
第一组研究[f（x）=sinx+cos2x]，结论如下：定义域，R；值域，（-2，2）；单调性，比较复杂；奇偶性，非奇非偶；周期性，[2π].
第二组研究[f（x）=sin12x+cos13x]，结论如下：定义域，R；值域，（-2，1.9）；单调性，比较复杂；奇偶性，非奇非偶；周期性，
归纳总结各组的研究结果，猜想一般函数[y=][sinAx+][cosBx]的性质，大家得出了如下结论：定义域，R；值域，未知；单调性，比较复杂；奇偶性，非奇非偶；周期性，未知.也就是说，在这些有关一般函数的性质中，学生对定义域和奇偶性已基本达成共识，而对值域、单调性、周期性不能做出判定.对于周期性，大家都能得出这个一般函数是有周期的，只是周期不同.那么，一般函数[y=sinAx+cosBx]的周期到底是多少呢？问题得以聚焦.
在以上教学环节，学生通过动手操作、观察、归纳、猜想，经历了从特殊现象中提取一般规律的推理过程，这是得出数学结论、构建数学知识体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
（2）推理论证.推理论证须明确论证方向，懂得运算过程，理解运算对象，掌握运算法则，而这恰恰体现了数学的运算能力.数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.
在该教学环节，教师先引導学生将以上三组实验猜想的3个复杂函数一般化为[f（x）=g（x）+φ（x）]，然后分析函数[g（x）]、[φ（x）]的周期和函数[f（x）]的周期之间的关系.记[g（x）]的周期为[T1]，[φ（x）]的周期为[T2]，[f（x）]的周期为[T]，根据以上三组学生的实验数据，可列出以下三个等式，计算可得[f（x）]的周期.（1）[T1T2=2ππ=21，][T=2π]；（2）[T1T2=4π6π=23，][T=12π]；（3）
4.反思小结
本课内容来自生活，又回归生活.在该教学环节，教师先让学生思考与本课内容有关的实际生活中的案例，然后展示音乐音频图（如图2）、心电图（如图3）等函数图象，让学生真切体会到数学在生活中的应用，感受数学就在身边，进而激发学习动机.
在该教学环节，教师要引导学生简单总结本课自己在内容和方法上的收获，知道先通过图象、再通过代数论证的方法研究函数[y=sinAx+cosBx]（[A≠B，]且[AB≠0]）的性质，包括研究函数的定义域、奇偶性、周期性等内容，并强化问题研究的一般思路（提出问题，实验猜想，推理论证），把问题研究的“钥匙”交给学生，做到“授之以鱼不如授之以渔”，不断提高学生的自主学习能力.其间学生提出了下一步想要研究的问题，即该函数的单调性问题，这刚好是下节课将要研究的内容，说明学生已经掌握了研究问题的一般方法.
5.布置作业
在该教学环节，教师布置了两道题.
1.函数[y=sinx+][cos2x]的定义域、奇偶性、周期性；
2.函数[y=sinx+][cos2x]的单调性.
第1题用于巩固本课新知，第2题为下节课做铺垫.
本课选择课后“阅读与思考”阅读材料作为拓展教学内容，利用“教学环”策略设计整个教学流程，使得教学环环相扣，由上一节“课后练习”即本节的“任务导读”出发，让学生经历提出问题、拟定研究方案、实验猜想、推理论证、得出结论的完整探究过程，学生自主学习能力得到了有效的培养和提升.（题图为黄国稳老师在指导学生审题）
（责编 白聪敏）