快速巧解材料力学静定梁的约束力和弯曲内力图

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  摘要:材料力学是高等院校机械、采矿、土木、力学等专业必修的一门专业基础课,在工程领域有着广泛的应用。本文以理论力学静力学为基础,总结出求约束力和画剪力图弯矩图的简便方法,避免了求解繁琐的平衡方程和分段列弯矩方程、剪力方程画内力图的麻烦,从而大大提高运算速度。
  关键词:约束力;弯矩图;剪力图
  一、引言
  要想正确的画出剪力图和弯矩图,对于简支梁、外伸梁和组合梁先要计算约束反力,对于悬臂梁可以不求约束反力,可以从自由端开始作图,对于需要求约束反力的梁,一旦约束反力求解错误,将直接导致后面的求解跟着出错。作者根据自己的解题经验总结出了求解方法,避免用静力学的静力平衡方程的繁琐,方便快捷。
  二、求静定梁约束反力的方法
  求解静定梁约束反力时,约束力等于
  与其反向的力偶和与其同向的力偶差除以两约束间距离。图1所示外伸梁,如果欲求A处约束力,设其方向向上,则该力对B点产生的矩为顺时针方向,那么分子就是逆时针的力偶与顺时针的力偶差,分子则是AB之间的距离。即
  由此可见,仅通过简单运算即得约束反力。
  三、根据外力画剪力图和弯矩图
  材料力学书上介绍的方法基本上都是先列出建立方程和弯矩方程,然后根据方程画出内力图,虽然准确但是麻烦,特别是结构受力比较复杂时,分段多方程多,求解繁琐。下面我们将用作图规律直接由外力画剪力图和弯矩图,这样无论是在学习或者工程中的力学分析都能大大节省时间。
  首先介绍作图规律。
  剪力图,从左往右作图时,向上的力引起正的剪力,向下的力引起负的剪力。在集中力作用处引起突变,突变值等于该集中力,突变方向与力的方向相同;在均布力作用区为倾斜直线,其斜率等于均布强度q,倾斜方向与力的方向相同;在无力作用区为水平直线;与力偶无关。从右向左作图时,力反向即可。即:向上的力引起负的剪力,向下的力引起正的剪力,在集中力作用处引起突变,突变值等于该集中力,突变方向与力的方向相反;在均布力作用区为倾斜直线,其斜率等于均布强度q,倾斜方向与力的方向相反;在无力作用区为水平直线;与力偶无关。
  弯矩图,从左向右作图。向上的力引起正的弯矩,向下的力引起负的弯矩。在集中力作用处出现尖角,在均布力作用区为抛物线,其开口方向与均布力方向相同;在无力作用区为倾斜直线,其斜率等于该截面上的剪力;在集中力偶矩作用处引起突变,突变值等于该集中力偶矩,顺时针转动的力偶引起正的突变,逆时针的力偶引起负的突变。特别要注意,在剪力等于零处,弯矩出现极值。从右向左作图时,力不变,力偶反向。即向上的力引起正的弯矩,向下的力引起负的弯矩。在集中力作用处出现尖角,在均布力作用区为抛物线,其开口方向与均布力方向相反;在无力作用区为倾斜直线,其斜率等于该截面上的剪力;在集中力偶矩作用处引起突变,突变值等于该集中力偶矩,逆时针转动的力偶引起正的突变,顺时针的力偶引起负的突变。
  下面通过作图规律来作图1外伸梁的剪力图和弯矩图。
  对于剪力图,从左往右,A端受到约束力作用,引起突变,力向上,向上突变,突变值等于该约束力7KN,在AC之间受到均布力作用,剪力图为倾斜直线,其斜率等于均布强度1,力向下,向下倾斜,C点剪力等于A点剪力加上AC段均布力面积,力向下面积为负,力向上面积为正,得到C处剪力为3KN,然后在C处受到向下的集中力2KN,剪力图向下突变2,CD段为均布力,继续向下倾斜,AC段和CD段平行,通过类似计算得到D处剪力为3KN,作剪力图时,D处弯矩不影响,BD段为无力作用区,剪力图成水平直线,B处受向上的约束力,引起突变,继续用作图规律得到完整的剪力图如图2所示。从右往左作图留给读者自行练习。
  对于弯矩图,从左往右作图,AC段为向下的均布力,其弯矩图为开口向上的抛物线,C处弯矩等于AC段剪力图的面积,剪力图为正,面积为正,剪力图为负,面积为负。CD段仍然受到向下的均布力,而且在其间有剪力等于零的截面,该处弯矩出现极值20.5KNm,在D处受到集中力偶矩作用,引起突变,突变值等于该集中力偶矩。BD段为无力作用区,为倾斜直线,斜率等于该截面上的剪力,继续根据规律可画出完整弯矩图。
  值得注意的是,無论是剪力图还是弯矩图都是封闭图形。
  结束语:综上所述,通过总结出来的计算约束力方法和剪力图弯矩图作图规律,可以避免列静力平衡方程,各段的剪力方程和弯矩方程。根据外力直接作图,思路清晰明确,直观具体,使材料力学的解题更加简单方便。
  参考文献:
  [1]赵淑红。材料力学[M].北京:化学工业出版社,2010.
  [2]金江。《材料力学》教材改革初探[J].南通工学院学报(社会科学版),1998(04)
  [3]黄开志,郑航太。浅析弯矩内力图的绘制[J].重庆科技学院学报(自然科学版),2009(05)
  安徽理工大学重点教学研究项目(2019jyxm075);理论力学慕课项目号:No.2017mooc117。
  (安徽理工大学力学与光电物理学院 安徽淮南 232001)
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