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摘 要：空中加油是一项高风险的操作，本文针对伴随机出现故障，建立挽救模型，及时增加接应机的数量。针对接应机出现故障，建立预防模型，提前增加伴随机的数量，每次加油均遵守均分原则。
关键词：数学归纳 递推法 均分原则
执行任务的飞机需要在众多加油飞机的帮助下成功完成出航、返航的任务。考虑到飞机的任务十分紧迫，所以任务飞机能够飞行的距离要越远越好。由于空中加油是一项风险很高的操作，运输和加油飞机都有可能出现故障。在保证总成功率的情况下，找到相应的最优解决方案是十分重要的。
一、空中加油
在太平洋的一个小岛上，救援人员需要给居民们运送少量应急药品并将小岛上的一名重伤人员运送到医疗基地。基地里有机队和足够的设备，可供给执行任务的飞机进行空中加油。这种飞机最大燃油能力是155公斤，进行简单修改后的可以用来加油的飞机最大燃油能力提高为170公斤。执行任务的飞机在正常负载情况下最远能飞680海里，它从基地出发，经615海里的行程抵达小岛，随后将需要飞行同样的路程顺利返回基地。
为使任务飞机能够飞行的最远，加油飞机不断给任务飞机加油，助飞机完成任务，将加油飞机简称为辅机，执行任务的飞机简称为主机。根据每一架辅机给主机加油的方式可以将辅机的类型分为伴随机和接应机。
二、故障解决策略
考虑到加油过程中辅机可能出现故障，不能按照计划为主机加油，所以要提前准备故障时的解决方案。在原计划中，由一架辅机C1在主机出航的过程中给它加油，由两架辅机A1和A2在主机返航的过程中给它加油。当这三架辅机中任意一架辅机出现故障不能给主机加油时，主机就难以顺利完成任务以及返回基地。针对这三架辅机可能出现的故障情况主要分为以下三大类别：（1）伴随机发生故障;（2）接应机发生故障;
2.1伴随机发生故障
在这里，假设伴随或者接应主机的飞机在出发前都通过了故障检测，所以所有的辅机只可能在飞行的过程中出现故障。当唯一的一架伴随机C1发生故障时，主机无法在出航L/3处加满油，此时即便从基地派遣加油飞机也无法追上主机。于是主机将在不加油的情况下一直将油用光，所以当主机剩余油量为0时它所在的位置为距小岛0.085L处。于是接应机需要比计划提前起飞，使每一架接应机所到达的位置主机油量都为0。
当第一架接应机将自己的剩余油量均分给主机后，它们两个可以共同前进的航程如下[1]：
（L-（0.825L-0.085L））/2=0.13L（1）
当第一架接应机和主机油量耗尽时，它们距离小岛为0.215L，距离基地为0.61L。于是第二架接应机给主机和第一架接应机加油后，它们能够前进的航程为。当这两架接应机和主机的油量都耗尽时，它们距离小岛为0.345L，距离基地为0.48L。同上可得第k架接应机给其它接应机和主机加油后，共同能够前进的航程为：
（L-（0.825L-0.085L-0.13（k-1）L））/（k+1）=0.13L（2）
于是可得到的规律为：每一架接应机给飞机和其它接应机加油后，所有飞机均能前进0.13L。为使主机能够返回基地，所需要的接应机数量增加，具体可得：
m×0.13L=0.825L-0.085L（3）
解方程得m约等于5.7，所以可以得到的结论如下：
当伴随机发生故障时，主机在出航的过程中无法被加油，从而能够航行的距离缩减，需要接应机提前起飞。提前起飞的接应机仍在主机油量耗尽的时候与它相遇[2]，所以在返航的过程中，主机共需要6台接应机在主机依次用完油的时候给主机加油，各加油位置分别为距离小岛63.4海里处、160.35海里处、257.3海里处、354.26海里处、451.22海里处、548.17海里处。
2.2接应机发生故障
针对接应机发生故障的情况，又可以分为一架接应机故障和两台都故障的情况。在这里为了使安全性最高，考虑最坏的情况，即所有的接应机均发生故障。
在正常情况下，主机经一次加油后能够返航，并飞行到距基地为0.41L的位置，但此时由于接应机中途发生了故障，已经无法及时为主机进行加油。即使基地的相关人员得知该辅机发生故障后立即派遣接应机前去加油也无法在主机油量消耗完之前给它加油。飞机一旦没有了燃料将会十分危险，如果接应机无法为主机提供帮助，只有提前准备好足够的伴随机，以防接应机出现故障后，主机因油量不足而无法返回基地。
在这里，当只有伴随机为主机提供帮助时，主机的作战半径与辅机最大航程之间的关系为[3]：
r=（1.91n+1.82）L/2（n+1）（4）
当r等于615海里，L=745.8海里时，计算出n约等于5.7，所以可以得到的结论为：当接应机发生故障后再进行补救是不可能的，只有提前考虑到接应机可能发生故障这一点后，让6架伴随机和主机一起出发，在出航的过程中依次在6个最佳加油位置给主机加油。这6个最佳加油位置分别为距离基地93.23海里处、186.45海里处、279.68海里处、372.9海里处、466.13海里处、559.35海里处。每架辅机给其它飞机加油时，在保证自己能返回基地的基础上，把剩余油量按等份分给其它的每一架飞机。
参考文献
[1] 王功明，王秀琴，吴华瑞， 等.空中加油最优分配方案设计[J].计算机工程与设计，2007，28（10）：2422-2425.
[2] 王瑞，王伟，王鹏.无人机空中加油建模与仿真分析[J].计算机测量与控制，2011，19（1）：142-144.
[3] 萬宏，贺俊，程慧燕， 等.空中加油问题当前最好的几个方案[J].数学的实践与认识，2008，38（16）：1-8.
作者简介：
彭杨杨（1999—），性别：女，名族：汉，籍贯：湖北省襄阳市，学历：大学本科，学校：华北理工大学，专业：能源与动力工程。
关键词：数学归纳 递推法 均分原则
执行任务的飞机需要在众多加油飞机的帮助下成功完成出航、返航的任务。考虑到飞机的任务十分紧迫，所以任务飞机能够飞行的距离要越远越好。由于空中加油是一项风险很高的操作，运输和加油飞机都有可能出现故障。在保证总成功率的情况下，找到相应的最优解决方案是十分重要的。
一、空中加油
在太平洋的一个小岛上，救援人员需要给居民们运送少量应急药品并将小岛上的一名重伤人员运送到医疗基地。基地里有机队和足够的设备，可供给执行任务的飞机进行空中加油。这种飞机最大燃油能力是155公斤，进行简单修改后的可以用来加油的飞机最大燃油能力提高为170公斤。执行任务的飞机在正常负载情况下最远能飞680海里，它从基地出发，经615海里的行程抵达小岛，随后将需要飞行同样的路程顺利返回基地。
为使任务飞机能够飞行的最远，加油飞机不断给任务飞机加油，助飞机完成任务，将加油飞机简称为辅机，执行任务的飞机简称为主机。根据每一架辅机给主机加油的方式可以将辅机的类型分为伴随机和接应机。
二、故障解决策略
考虑到加油过程中辅机可能出现故障，不能按照计划为主机加油，所以要提前准备故障时的解决方案。在原计划中，由一架辅机C1在主机出航的过程中给它加油，由两架辅机A1和A2在主机返航的过程中给它加油。当这三架辅机中任意一架辅机出现故障不能给主机加油时，主机就难以顺利完成任务以及返回基地。针对这三架辅机可能出现的故障情况主要分为以下三大类别：（1）伴随机发生故障;（2）接应机发生故障;
2.1伴随机发生故障
在这里，假设伴随或者接应主机的飞机在出发前都通过了故障检测，所以所有的辅机只可能在飞行的过程中出现故障。当唯一的一架伴随机C1发生故障时，主机无法在出航L/3处加满油，此时即便从基地派遣加油飞机也无法追上主机。于是主机将在不加油的情况下一直将油用光，所以当主机剩余油量为0时它所在的位置为距小岛0.085L处。于是接应机需要比计划提前起飞，使每一架接应机所到达的位置主机油量都为0。
当第一架接应机将自己的剩余油量均分给主机后，它们两个可以共同前进的航程如下[1]：
（L-（0.825L-0.085L））/2=0.13L（1）
当第一架接应机和主机油量耗尽时，它们距离小岛为0.215L，距离基地为0.61L。于是第二架接应机给主机和第一架接应机加油后，它们能够前进的航程为。当这两架接应机和主机的油量都耗尽时，它们距离小岛为0.345L，距离基地为0.48L。同上可得第k架接应机给其它接应机和主机加油后，共同能够前进的航程为：
（L-（0.825L-0.085L-0.13（k-1）L））/（k+1）=0.13L（2）
于是可得到的规律为：每一架接应机给飞机和其它接应机加油后，所有飞机均能前进0.13L。为使主机能够返回基地，所需要的接应机数量增加，具体可得：
m×0.13L=0.825L-0.085L（3）
解方程得m约等于5.7，所以可以得到的结论如下：
当伴随机发生故障时，主机在出航的过程中无法被加油，从而能够航行的距离缩减，需要接应机提前起飞。提前起飞的接应机仍在主机油量耗尽的时候与它相遇[2]，所以在返航的过程中，主机共需要6台接应机在主机依次用完油的时候给主机加油，各加油位置分别为距离小岛63.4海里处、160.35海里处、257.3海里处、354.26海里处、451.22海里处、548.17海里处。
2.2接应机发生故障
针对接应机发生故障的情况，又可以分为一架接应机故障和两台都故障的情况。在这里为了使安全性最高，考虑最坏的情况，即所有的接应机均发生故障。
在正常情况下，主机经一次加油后能够返航，并飞行到距基地为0.41L的位置，但此时由于接应机中途发生了故障，已经无法及时为主机进行加油。即使基地的相关人员得知该辅机发生故障后立即派遣接应机前去加油也无法在主机油量消耗完之前给它加油。飞机一旦没有了燃料将会十分危险，如果接应机无法为主机提供帮助，只有提前准备好足够的伴随机，以防接应机出现故障后，主机因油量不足而无法返回基地。
在这里，当只有伴随机为主机提供帮助时，主机的作战半径与辅机最大航程之间的关系为[3]：
r=（1.91n+1.82）L/2（n+1）（4）
当r等于615海里，L=745.8海里时，计算出n约等于5.7，所以可以得到的结论为：当接应机发生故障后再进行补救是不可能的，只有提前考虑到接应机可能发生故障这一点后，让6架伴随机和主机一起出发，在出航的过程中依次在6个最佳加油位置给主机加油。这6个最佳加油位置分别为距离基地93.23海里处、186.45海里处、279.68海里处、372.9海里处、466.13海里处、559.35海里处。每架辅机给其它飞机加油时，在保证自己能返回基地的基础上，把剩余油量按等份分给其它的每一架飞机。
参考文献
[1] 王功明，王秀琴，吴华瑞， 等.空中加油最优分配方案设计[J].计算机工程与设计，2007，28（10）：2422-2425.
[2] 王瑞，王伟，王鹏.无人机空中加油建模与仿真分析[J].计算机测量与控制，2011，19（1）：142-144.
[3] 萬宏，贺俊，程慧燕， 等.空中加油问题当前最好的几个方案[J].数学的实践与认识，2008，38（16）：1-8.
作者简介：
彭杨杨（1999—），性别：女，名族：汉，籍贯：湖北省襄阳市，学历：大学本科，学校：华北理工大学，专业：能源与动力工程。