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摘 要：对于学生数学学习，教师不仅要重视学生“应学什么”，更应关注学生是“怎样学”的。只有让学生充分经历，才能打开学生数学学习世界。在“经历教学”中，应当突出“学趣”、引导“学理”、发展“学力”。只有让学生经历“趣”“理”“力”三重境界，数学学习才会真正发生。
关键词：小学数学；经历教学；深度探寻
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对活动过程性目标用“经历、体验、体会”等动词进行刻画。建构主义理论认为，学习是学习者基于自身经验知觉学习内容，并在同化与顺应过程中建构知识。知识建构离不开自身经历，没有经历外烁化灌输是低效、无效甚至是负效的。真正的教学改革必然是学习改革。在“经历教学”中，应当突出“学趣”、引导“学理”、发展“学力”。只有让学生经历“趣”、“理”、“力”三重境界，数学学习才会真正发生。
一、学趣，数学“经历教学”的心理起点
趣，包括兴趣、乐趣、情趣和智趣等。有了“趣”，一个人就会乐此不疲，就愿意倾情付出，这是学习原动力。在“经历教学”中，教师要激发学生“学趣”，让学生主动求知、探究、实践。在求知、探究和实践中产生愉悦学习体验。
1. 知识趣，驱动学生经历
数学是一门趣味性极强的学科。激发学生“学趣”，首要的是用数学本身之“趣”来引发学生探究、创造。教学《小数的除法》，在处理“无限小数”中“循环小数”时，笔者让学生计算1÷7、2÷7、3÷7……6÷7，学生发现，所得的商的循环节都是由1、4、2、8、5、7这几个数组成的，而且都是按照1、4、2、8、5、7前后順序排列的，这就是“走马灯数”。当学生发现这一点后，一方面深深感到数学之神奇、曼妙，另一方面给学生计算以独特启示，即只要计算出小数部分第1位数字是几，就能写出循环节。在学习中，学生对“走马灯数”表现出极高的学习兴趣，那么，有没有其他的“走马灯数”呢？通过检索互联网，学生对循环小数展开深度研究，有学生竟然理解了其中的规律，即“循环节位数比分数分母（质数）少一个”，找出了诸如1/17、1/19、1/23、1/29等“走马灯数”。
2. 学习趣，引导学生经历
教师对学生非认知引导、激发，主要就是激“趣”。学生喜欢学习富有趣味性、挑战性的内容，更喜欢趣味性活动。作为教师，不仅要发掘数学本身的趣味，更要让学习成为一种游戏。比如动手操作、观察实践、互动分享、体验探索等。一位教师教学《最小公倍数》，制作了一个“结尾巴”的学具：一个正三角形和一个正五边形，共同组成一个完整的带有尾巴的图案，当转动其中一个图形（如三角形）时，尾巴就断了。为了重新续上尾巴，三角形一共要转动几次呢？在一次次地“玩”中，学生发现，转动的次数是3的倍数，也是5的倍数，也就是3和5的公倍数。在游戏中，学生无意注意和有意注意被充分调动，他们不会有任何压力、负担。而在这种高投入“玩”中，学生感悟到“倍数”“公倍数”和“最小公倍数”的深刻内涵。“趣”，能铺就学生“经历学习”的底色。当然，这里的“趣”，不能仅仅停留在有意思的层面，还必须有鲜明的数学价值追求。只有充满价值追求的“趣”，才能让学生数学学习真正发生。
二、学理，数学“经历教学”的必要考量
“学理”原本是指法则和原理。这里的“学理”，是指学生“学”的规律、原则。数学是一门兼具理性和实践性的学科。数学学科理性决定了数学教学必须引导学生思考、思想、思辨，实践性决定了应当让学生动手操作、实践。数学教学应当引导学生从数学视角对学习活动进行理性追问和学理考量，做到“趣”“理”融合。
1. 把握知识之“序”，“经历”之前提
每一个数学知识点，无论其诞生之初，还是在教材中位置，都符合知识生长逻辑。作为教师，首先要把握知识之“序”，这是进行“经历教学”之前提。一方面，教师要研读数学史，把握数学知识生长节点等；另一方面，要研读教材，而且研究不同版本教材。只有从整体比较中才能洞察知识精髓，通晓知识精义。比如对于《认识负数》，不少教师教学仅停留在“如果向东表示正，那么向西表示什么”的经验层面上。教师既没有研读数学史，也没有研读初中教材。研读数学史会发现，中国对正负数认识要比西方早两千多年，如《九章算术》，提出了“两算得失相反”以及“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”，并总结出“正负术”。但由于始终停留在经验层面，因而没有得到发展。由此可见，让学生理解经验意义上的“负数”是简单的，但要让学生理解数学意义上的“负数”却不是一件容易的事。研究初中教材会发现，只有将正数、负数等纳入有理数范畴，并进行计算，负数才得以确立。可见在小学阶段，不仅要让学生认识经验层面的“相反意义的量”，更要让学生理解数学意义上“正数都大于0，负数都小于0”的结论，并对正负数在数轴上的位置，正负数相加减引起数轴点的变动进行认识。
2. 解码心理之“序”，“经历”之条件
数学知识本质、生成顺序只是学生经历学习前提，只为学生经历学习提供了可能，要将这种可能有效地转变为现实，还需解码学生认知、思维等心理活动之序，这是经历教学之条件。仍以《认识负数》教学为例，学生在学习中会遭遇哪些思维障碍、认知困惑呢？研读数学史就会发现，历史上很多数学家之所以不接受负数，是因为不能突破原有认知边界。如德国数学家斯蒂菲尔说，“从零中减去一个大于零的数得到的数‘小于一无所有’，是‘荒谬的数’”。显然，这里的认知障碍在于负数“小于0”。认识了这一点，教师的教学设计就要突出“标准量”。只有让学生确定标准，才能顺利理解正负数，认识到“0不仅表示没有，不仅表示起点，还表示标准”。有了这样的认识，就能导引学生从负数的经验意义走向数学意义。有了对学生心理解码，学生数学学习就能像呼吸一样自然。只有让学生充分经历，才能打开学生数学学习的世界。
三、学力，数学“经历教学”的终极目标
学力，顾名思义也就是学生的学习能力。无论是“趣”的激发还是“理”的考量，其根本目的都是为了提升学生的学力。学力，是数学“经历教学”的终极目标。学生只有“会学”，才能主动“学会”。从根本上说，学力可以分为显性学力和隐性学力。 1. 经历，提升学生显性学力
学力，犹如一个冰山模型，浮出水面、露在外面的就是显性学力。所谓“显性学力”，是指学生的外显的、可考察方面的学力。显性学力通常指学生认知方面的能力，即学生思维力、探究力、判斷力、问题解决力和创造力等。经历，能提升学生显性学力。比如，教学《折线统计图》，不少教师往往直接出示折线统计图，引导学生分析数量关系。这样，学生的学习认知就如同“天降神兵”，有点突兀。笔者在教学中，从学生的已有认知——条形统计图出发，让学生经历折线统计图诞生过程。首先，出示两幅条形统计图，一幅条形统计图是多个数量的比较，另一幅条形统计图是一个数量不同阶段变化。然后将一个数量不同阶段直条缩成线，继而缩成点，连点成折线，将条形统计图演变为折线统计图。通过演变，学生深度思考：原来条线统计图表示多个不同主角，而折线统计图主要表征同一主角；条形统计图主要是为了看清各主角数量多少，折线统计图主要是为了看清某一主角数量增减变化。据此，有学生猜想，如果要表示多个不同主角数量变化，可能就需要用复式折线统计图。经历，不仅让学生“知其然”，更让学生“知其所以然”。
2. 经历，发展学生的隐性学力
在数学教学中，大部分教师都非常关注学生显性学力，因为显性学力能在短时间内提高学生学业成绩。事实上，隐性学力更能激发学生学习潜质，是学生学习可持续性发展的动力系统。隐性学力主要涉及学生情意领域，包括学习动机、学习态度等。比如教学《三角形的面积》，不少教师都是直接给学生提供完全相同的三角形。这样，尽管学生也能建构三角形面积公式，但他们并不理解为什么要用两个完全相同的三角形。学生隐性学力没有得到发掘。笔者在教学中，给学生发了许多个三角形，学生借助平行四边形面积推导经验，就能想到沿着高剪开。在实践中，学生发现，只有等腰三角形能沿高剪开后能将两个三角形转化成平行四边形。经过交流，学生很快得出结论，因为只有等腰三角形沿高剪开能得到两个完全相同的三角形。这样，蓄积了学生探究动能和势能，学生自觉用两个完全相同的三角形组成平行四边形。
经历学习是一种积淀，也是一种感受和体验。只有经历，才能让学生认识知识本质、联系，才能触摸到数学的思想、方法，才能把握数学与生活的联系。在数学经历中，要让学生慢思考、深体会、长探究，让学生在经历中探有所得、悟有所得。作为教师，要致力于让学生“身行体悟”，在经历中感受、体验、探究，进而学有所得，助推学生实现从“历”到“力”的归位。
关键词：小学数学；经历教学；深度探寻
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对活动过程性目标用“经历、体验、体会”等动词进行刻画。建构主义理论认为，学习是学习者基于自身经验知觉学习内容，并在同化与顺应过程中建构知识。知识建构离不开自身经历，没有经历外烁化灌输是低效、无效甚至是负效的。真正的教学改革必然是学习改革。在“经历教学”中，应当突出“学趣”、引导“学理”、发展“学力”。只有让学生经历“趣”、“理”、“力”三重境界，数学学习才会真正发生。
一、学趣，数学“经历教学”的心理起点
趣，包括兴趣、乐趣、情趣和智趣等。有了“趣”，一个人就会乐此不疲，就愿意倾情付出，这是学习原动力。在“经历教学”中，教师要激发学生“学趣”，让学生主动求知、探究、实践。在求知、探究和实践中产生愉悦学习体验。
1. 知识趣，驱动学生经历
数学是一门趣味性极强的学科。激发学生“学趣”，首要的是用数学本身之“趣”来引发学生探究、创造。教学《小数的除法》，在处理“无限小数”中“循环小数”时，笔者让学生计算1÷7、2÷7、3÷7……6÷7，学生发现，所得的商的循环节都是由1、4、2、8、5、7这几个数组成的，而且都是按照1、4、2、8、5、7前后順序排列的，这就是“走马灯数”。当学生发现这一点后，一方面深深感到数学之神奇、曼妙，另一方面给学生计算以独特启示，即只要计算出小数部分第1位数字是几，就能写出循环节。在学习中，学生对“走马灯数”表现出极高的学习兴趣，那么，有没有其他的“走马灯数”呢？通过检索互联网，学生对循环小数展开深度研究，有学生竟然理解了其中的规律，即“循环节位数比分数分母（质数）少一个”，找出了诸如1/17、1/19、1/23、1/29等“走马灯数”。
2. 学习趣，引导学生经历
教师对学生非认知引导、激发，主要就是激“趣”。学生喜欢学习富有趣味性、挑战性的内容，更喜欢趣味性活动。作为教师，不仅要发掘数学本身的趣味，更要让学习成为一种游戏。比如动手操作、观察实践、互动分享、体验探索等。一位教师教学《最小公倍数》，制作了一个“结尾巴”的学具：一个正三角形和一个正五边形，共同组成一个完整的带有尾巴的图案，当转动其中一个图形（如三角形）时，尾巴就断了。为了重新续上尾巴，三角形一共要转动几次呢？在一次次地“玩”中，学生发现，转动的次数是3的倍数，也是5的倍数，也就是3和5的公倍数。在游戏中，学生无意注意和有意注意被充分调动，他们不会有任何压力、负担。而在这种高投入“玩”中，学生感悟到“倍数”“公倍数”和“最小公倍数”的深刻内涵。“趣”，能铺就学生“经历学习”的底色。当然，这里的“趣”，不能仅仅停留在有意思的层面，还必须有鲜明的数学价值追求。只有充满价值追求的“趣”，才能让学生数学学习真正发生。
二、学理，数学“经历教学”的必要考量
“学理”原本是指法则和原理。这里的“学理”，是指学生“学”的规律、原则。数学是一门兼具理性和实践性的学科。数学学科理性决定了数学教学必须引导学生思考、思想、思辨，实践性决定了应当让学生动手操作、实践。数学教学应当引导学生从数学视角对学习活动进行理性追问和学理考量，做到“趣”“理”融合。
1. 把握知识之“序”，“经历”之前提
每一个数学知识点，无论其诞生之初，还是在教材中位置，都符合知识生长逻辑。作为教师，首先要把握知识之“序”，这是进行“经历教学”之前提。一方面，教师要研读数学史，把握数学知识生长节点等；另一方面，要研读教材，而且研究不同版本教材。只有从整体比较中才能洞察知识精髓，通晓知识精义。比如对于《认识负数》，不少教师教学仅停留在“如果向东表示正，那么向西表示什么”的经验层面上。教师既没有研读数学史，也没有研读初中教材。研读数学史会发现，中国对正负数认识要比西方早两千多年，如《九章算术》，提出了“两算得失相反”以及“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”，并总结出“正负术”。但由于始终停留在经验层面，因而没有得到发展。由此可见，让学生理解经验意义上的“负数”是简单的，但要让学生理解数学意义上的“负数”却不是一件容易的事。研究初中教材会发现，只有将正数、负数等纳入有理数范畴，并进行计算，负数才得以确立。可见在小学阶段，不仅要让学生认识经验层面的“相反意义的量”，更要让学生理解数学意义上“正数都大于0，负数都小于0”的结论，并对正负数在数轴上的位置，正负数相加减引起数轴点的变动进行认识。
2. 解码心理之“序”，“经历”之条件
数学知识本质、生成顺序只是学生经历学习前提，只为学生经历学习提供了可能，要将这种可能有效地转变为现实，还需解码学生认知、思维等心理活动之序，这是经历教学之条件。仍以《认识负数》教学为例，学生在学习中会遭遇哪些思维障碍、认知困惑呢？研读数学史就会发现，历史上很多数学家之所以不接受负数，是因为不能突破原有认知边界。如德国数学家斯蒂菲尔说，“从零中减去一个大于零的数得到的数‘小于一无所有’，是‘荒谬的数’”。显然，这里的认知障碍在于负数“小于0”。认识了这一点，教师的教学设计就要突出“标准量”。只有让学生确定标准，才能顺利理解正负数，认识到“0不仅表示没有，不仅表示起点，还表示标准”。有了这样的认识，就能导引学生从负数的经验意义走向数学意义。有了对学生心理解码，学生数学学习就能像呼吸一样自然。只有让学生充分经历，才能打开学生数学学习的世界。
三、学力，数学“经历教学”的终极目标
学力，顾名思义也就是学生的学习能力。无论是“趣”的激发还是“理”的考量，其根本目的都是为了提升学生的学力。学力，是数学“经历教学”的终极目标。学生只有“会学”，才能主动“学会”。从根本上说，学力可以分为显性学力和隐性学力。 1. 经历，提升学生显性学力
学力，犹如一个冰山模型，浮出水面、露在外面的就是显性学力。所谓“显性学力”，是指学生的外显的、可考察方面的学力。显性学力通常指学生认知方面的能力，即学生思维力、探究力、判斷力、问题解决力和创造力等。经历，能提升学生显性学力。比如，教学《折线统计图》，不少教师往往直接出示折线统计图，引导学生分析数量关系。这样，学生的学习认知就如同“天降神兵”，有点突兀。笔者在教学中，从学生的已有认知——条形统计图出发，让学生经历折线统计图诞生过程。首先，出示两幅条形统计图，一幅条形统计图是多个数量的比较，另一幅条形统计图是一个数量不同阶段变化。然后将一个数量不同阶段直条缩成线，继而缩成点，连点成折线，将条形统计图演变为折线统计图。通过演变，学生深度思考：原来条线统计图表示多个不同主角，而折线统计图主要表征同一主角；条形统计图主要是为了看清各主角数量多少，折线统计图主要是为了看清某一主角数量增减变化。据此，有学生猜想，如果要表示多个不同主角数量变化，可能就需要用复式折线统计图。经历，不仅让学生“知其然”，更让学生“知其所以然”。
2. 经历，发展学生的隐性学力
在数学教学中，大部分教师都非常关注学生显性学力，因为显性学力能在短时间内提高学生学业成绩。事实上，隐性学力更能激发学生学习潜质，是学生学习可持续性发展的动力系统。隐性学力主要涉及学生情意领域，包括学习动机、学习态度等。比如教学《三角形的面积》，不少教师都是直接给学生提供完全相同的三角形。这样，尽管学生也能建构三角形面积公式，但他们并不理解为什么要用两个完全相同的三角形。学生隐性学力没有得到发掘。笔者在教学中，给学生发了许多个三角形，学生借助平行四边形面积推导经验，就能想到沿着高剪开。在实践中，学生发现，只有等腰三角形能沿高剪开后能将两个三角形转化成平行四边形。经过交流，学生很快得出结论，因为只有等腰三角形沿高剪开能得到两个完全相同的三角形。这样，蓄积了学生探究动能和势能，学生自觉用两个完全相同的三角形组成平行四边形。
经历学习是一种积淀，也是一种感受和体验。只有经历，才能让学生认识知识本质、联系，才能触摸到数学的思想、方法，才能把握数学与生活的联系。在数学经历中，要让学生慢思考、深体会、长探究，让学生在经历中探有所得、悟有所得。作为教师，要致力于让学生“身行体悟”，在经历中感受、体验、探究，进而学有所得，助推学生实现从“历”到“力”的归位。