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摘要：讨论了培养“线性代数”课程学习兴趣的必要性和重要性，给出了培养的四种实践模式，说明了各模式的可行性及其优点。
关键词：线性代数；兴趣；实践
作者简介：王会战（1974-），男，陕西武功人，陕西理工学院数学系，讲师；邓方安（1963-），男，陕西宁强人，陕西理工学院数学系，教授。（陕西 汉中 723001）
基金项目：本文系陕西理工学院科研基金资助项目（项目编号：SLGKY10-06）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）22-0088-01
“线性代数”是大学本科数学最重要的基础课之一，是后续专业课和其他数学课不可或缺的基础，其思想和方法己经渗透到数学的各个学科中。随着信息的高速发展，用代数方法解决实际问题也已经渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，尤其在计算机、通讯、电子电气等学科领域，其重要性和实用性日渐显现。学好线性代数，有利于学生提高抽象思维、逻辑推理和归納判断的能力，科学计算和数学建模的能力，用数学语言描述问题和用数学方法解决问题的能力等。
由于课程自身的特征，“线性代数”课程体现出概念多、定理多，内容抽象等特征，学生在学习过程中，普遍感到内容抽象、枯燥乏味及内容不连贯等，学起来难度大，缺乏主动学习的积极性。这种负面效应，直接加剧了学生对数学课程的恐惧感，进而削弱了学生对专业课程的学习。“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”“如果把学生的热情激发出来，那么学校所规定的功课就会被当作一种礼物来领受”，因而，激发学生的学习兴趣，引导和帮助他们顺利入门，尽快掌握学科特点和学习力法，培养自学和独立思考的能力等，一直是“线性代数”教学改革研究的重点内容。下面结合本人多年“线性代数”课程的教学实践，谈谈在教学过程中提高学生学习兴趣的一些认识。
一、因为不同而有兴趣
出于为后续的专业课作铺垫的目的，工科院校大多在学生的大一第二学期或大二第一学期开设“线性代数”课程。虽然有比较漫长的高等数学学习经历，学生还是对线性代数存在一定的好奇心：“线性代数也是一门数学课，它和高等数学有什么不同？线性代数的研究对象是什么，研究方法又是什么？”这些好奇是激发学生学习线性代数兴趣的最好的时机，“好奇的目光常常可以看到比他所希望看到的东西更多。”
在“线性代数”的第一堂课，凸显线性代数和高等数学的一些差异，能有效调动学生的积极性。这些差异包括：研究对象、研究方法、专业应用等的差异。通过对这些差异的介绍，不但让学生了解了线性代数的基本内容，也有助于学生初步掌握学习中的类比法——大学数学学习中重要的方法。
在后续章节的学习中，通过不同内容之间的共性，明确差异，建立联系。即对于要研究的对象，指出其和以往相似研究对象之间的不同，然后建立其和已知的内容或方法之间的联系。比如n元线性方程组的解，方程组的表现形式和中学描述的相同，这是相同点，但是处理的方式要变化，这是差异，而方式或方法又是基于中学时的方程组的解法，在这种“已知—未知—已知”的交替过程中，完成由中学内容到大学内容的自然过渡，形成一种阶梯式的学习过程，保持学生的学习动力，提高学生的学习兴趣。
二、深入浅出激发兴趣
“线性代数”课程存在着诸多比较抽象的概念，比如初等变换、线性相关性、线性空间等，学生一时难以理解，即使学生自己看书预习或复习，往往也是一头雾水。对课程中的重点或难点内容，需要教师循序渐进、深入浅出讲授，引导和帮助学生掌握重点，克服难点，提高学生学习的兴趣。
线性代数的每章节中都包含着多个重点内容，比如，行列式中的行列式的性质及计算、克莱姆法则等内容；矩阵中的逆矩阵、分块矩阵等内容；方程组的解中的初等变换、秩等内容。有些内容具有针对性且目标明确，比如行列式的计算，就主要讨论行列式的计算。有些内容则贯穿于不同的章节甚至整个教材，因讨论对象的变化而具有不同的形式表达，如初等变换应用于行列式的计算，则是行列式的重要性质；应用于矩阵的计算，则是初等方阵；在讨论解的结构时，表现为线性相关性，而线性相关性又构成一个重点内容。
对于目标明确的重点内容，除了阐述其基本思想方法之外，通过列举一定的具有代表性的例题，能够加深学生的理解，从而应用于一般问题的求解中，找到成功的乐趣，并且有兴趣进一步探讨和利用该方法，提高了学生的学习自主能力。
如果重点内容和方法贯穿于各章节或部分章节，往往会根据问题描述的不同而具有不同的表现。限于理解和掌握能力，学生往往疏于将此类重点和不同的内容有机结合，从而导致同一方法以不同的形式出现时，学生不能及时识别，造成新内容众多的幻觉，增加了学习的难度。利用“相同内容、重复教学”的方法能够化解这些问题。“相同内容、重复教学”方法是一种类比教学方法，并不是片面将同一内容通过不同例题反复举证。其涵义是指，在该重点首次提出的时候，适当引导学生了解到该重点可能应用的对象及其变形，在该重点第二次出现的时候，引导并强化学生对其和前一个被解决对象之间的联系的理解，详细分析两个对象间的区别和联系，以及该重点适用于不同对象时的表现或形式要求。通过这种类比教学方法，能够将复杂的问题简单化，增强了知识点之间的联系，完备了知识体系，提高了学生较快掌握跨章节的重点内容的能力及兴趣。
三、掌握体系带动兴趣
虽然不同章节研究的内容可能不同，但从整个的知识体系来看，都是其中的一个环节。各个环节都有一条或几条线索连接，共同构成了整个线性代数的框架。体系的掌握，需要有意识的提醒和逐步的强化。通过不同知识点、不同对象之间的共性，培养学生爱好学问的兴趣，而且在这种兴趣充分增长起来的时候，教授学生以研究学问的方法。
知识体系意在教材内容的联系和发展。从简单问题的提出，到问题的演变，从简单问题的解决方法，到复杂的、不同形式的问题的解决方案。知识体系从内容和方法上带动了整个“线性代数”课程的教与学。知识体系的作用在于纲举目张，有助于帮助学生从总体上把握线性代数的脉络，提高学生的洞察能力，培养学生的抽象思维、逻辑思维能力。
线性代数的知识体系可以分为：全书总的知识体系、各章节的知识体系。线性代数总的知识体系可以大致构建成如下图1所示。
而各章节的知识体系根据讨论内容不同，有不同的具体表现，如行列式的知识体系可简单概括为：二元线性方程组的解—>行列式定义—>行列式的性质和计算—>n元方程组的解。在上述体系中，学生首先通过“二元线性方程组的解”了解到求解线性方程组的Gauss消元法和解的行列式表示，这是两个通用方法，在后续章节的讨论中，经常会用到这种思想方法，本环节无论从本章看还是从全书看，都有着举足轻重的作用和地位。其次，在“行列式定义”环节，了解到为什么要引入n阶行列式及怎么定义n阶行列式，这是直观分析和归纳总结的一个环节，和“二元线性方程组的解”环节紧密相扣，学生从而在“行列式的性质和计算”环节马上会想到“二元线性方程组的解”环节中已经观察到的方法，以至于“n元方程组的解”成为一个水到渠成的环节。
从知识体系建立的时间安排看，在每讲授完一章的内容后，引导学生建立该章节的知识体系，多数学生容易接受。但从效果上看，很难达到教学大纲规定的培养要求。而如果在每章节初就先提出知识体系，由于不涉及到具体的抽象的理论讨论，即使学生可能会一时感到不适应，也还是能够根据体系的提示线索，主动去了解、探索该章的内容，丰满该章的知识体系，从而也培养了学生主动学习的能力和探索未知的能力，激发了学生的学习兴趣。
四、勤思多练磨练兴趣
掌握了重点内容和方法，了解了课程的知识体系，并不意味着学生熟悉和掌握了线性代数，因为这些仅仅停留在“学”的阶段。“习”是检验“学”的程度的一杆标尺！传统的“习”主要指学生完成课后练习或作业的能力，广义的“习”则指学生完成“交叉性”题目或利用数学知识解决日常学习中的问题的能力。所谓的“交叉性”题目是一种扩展性的训练方式，指提前练习后一章中和本章节某方面的内容相关的题目。比如，在讲解了矩阵的运算后，可以适当将“线性方程组的解”中的相关内容提前至“矩阵的运算”部分，在给出了相关的定义后，要求用本章的方法进行计算或求解。“交叉性”题目的要求既能促进新概念的引入，也有助于加强学生对已有知识的理解。“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”广义的“习”要求学生不但在学习中要多练，更要勤于思考，虽然要求较高，一旦学生的主动学习能力得到进一步培养，则其学习的兴趣日浓，从而达到“乐之”的境界。
五、结语
在云计算时代，教学已经不仅仅是“传道、授业、解惑”，教师需要掌握一定的教学艺术，这要求教师在实践中不断归纳总结，不断提高自身的素质。要求教师能够针对每一届学生的特点及学生的专业特点，不断提高教学水平，而提高学生的学习兴趣无疑是最重要的。
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.
（责任编辑：刘辉）
关键词：线性代数；兴趣；实践
作者简介：王会战（1974-），男，陕西武功人，陕西理工学院数学系，讲师；邓方安（1963-），男，陕西宁强人，陕西理工学院数学系，教授。（陕西 汉中 723001）
基金项目：本文系陕西理工学院科研基金资助项目（项目编号：SLGKY10-06）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）22-0088-01
“线性代数”是大学本科数学最重要的基础课之一，是后续专业课和其他数学课不可或缺的基础，其思想和方法己经渗透到数学的各个学科中。随着信息的高速发展，用代数方法解决实际问题也已经渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，尤其在计算机、通讯、电子电气等学科领域，其重要性和实用性日渐显现。学好线性代数，有利于学生提高抽象思维、逻辑推理和归納判断的能力，科学计算和数学建模的能力，用数学语言描述问题和用数学方法解决问题的能力等。
由于课程自身的特征，“线性代数”课程体现出概念多、定理多，内容抽象等特征，学生在学习过程中，普遍感到内容抽象、枯燥乏味及内容不连贯等，学起来难度大，缺乏主动学习的积极性。这种负面效应，直接加剧了学生对数学课程的恐惧感，进而削弱了学生对专业课程的学习。“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”“如果把学生的热情激发出来，那么学校所规定的功课就会被当作一种礼物来领受”，因而，激发学生的学习兴趣，引导和帮助他们顺利入门，尽快掌握学科特点和学习力法，培养自学和独立思考的能力等，一直是“线性代数”教学改革研究的重点内容。下面结合本人多年“线性代数”课程的教学实践，谈谈在教学过程中提高学生学习兴趣的一些认识。
一、因为不同而有兴趣
出于为后续的专业课作铺垫的目的，工科院校大多在学生的大一第二学期或大二第一学期开设“线性代数”课程。虽然有比较漫长的高等数学学习经历，学生还是对线性代数存在一定的好奇心：“线性代数也是一门数学课，它和高等数学有什么不同？线性代数的研究对象是什么，研究方法又是什么？”这些好奇是激发学生学习线性代数兴趣的最好的时机，“好奇的目光常常可以看到比他所希望看到的东西更多。”
在“线性代数”的第一堂课，凸显线性代数和高等数学的一些差异，能有效调动学生的积极性。这些差异包括：研究对象、研究方法、专业应用等的差异。通过对这些差异的介绍，不但让学生了解了线性代数的基本内容，也有助于学生初步掌握学习中的类比法——大学数学学习中重要的方法。
在后续章节的学习中，通过不同内容之间的共性，明确差异，建立联系。即对于要研究的对象，指出其和以往相似研究对象之间的不同，然后建立其和已知的内容或方法之间的联系。比如n元线性方程组的解，方程组的表现形式和中学描述的相同，这是相同点，但是处理的方式要变化，这是差异，而方式或方法又是基于中学时的方程组的解法，在这种“已知—未知—已知”的交替过程中，完成由中学内容到大学内容的自然过渡，形成一种阶梯式的学习过程，保持学生的学习动力，提高学生的学习兴趣。
二、深入浅出激发兴趣
“线性代数”课程存在着诸多比较抽象的概念，比如初等变换、线性相关性、线性空间等，学生一时难以理解，即使学生自己看书预习或复习，往往也是一头雾水。对课程中的重点或难点内容，需要教师循序渐进、深入浅出讲授，引导和帮助学生掌握重点，克服难点，提高学生学习的兴趣。
线性代数的每章节中都包含着多个重点内容，比如，行列式中的行列式的性质及计算、克莱姆法则等内容；矩阵中的逆矩阵、分块矩阵等内容；方程组的解中的初等变换、秩等内容。有些内容具有针对性且目标明确，比如行列式的计算，就主要讨论行列式的计算。有些内容则贯穿于不同的章节甚至整个教材，因讨论对象的变化而具有不同的形式表达，如初等变换应用于行列式的计算，则是行列式的重要性质；应用于矩阵的计算，则是初等方阵；在讨论解的结构时，表现为线性相关性，而线性相关性又构成一个重点内容。
对于目标明确的重点内容，除了阐述其基本思想方法之外，通过列举一定的具有代表性的例题，能够加深学生的理解，从而应用于一般问题的求解中，找到成功的乐趣，并且有兴趣进一步探讨和利用该方法，提高了学生的学习自主能力。
如果重点内容和方法贯穿于各章节或部分章节，往往会根据问题描述的不同而具有不同的表现。限于理解和掌握能力，学生往往疏于将此类重点和不同的内容有机结合，从而导致同一方法以不同的形式出现时，学生不能及时识别，造成新内容众多的幻觉，增加了学习的难度。利用“相同内容、重复教学”的方法能够化解这些问题。“相同内容、重复教学”方法是一种类比教学方法，并不是片面将同一内容通过不同例题反复举证。其涵义是指，在该重点首次提出的时候，适当引导学生了解到该重点可能应用的对象及其变形，在该重点第二次出现的时候，引导并强化学生对其和前一个被解决对象之间的联系的理解，详细分析两个对象间的区别和联系，以及该重点适用于不同对象时的表现或形式要求。通过这种类比教学方法，能够将复杂的问题简单化，增强了知识点之间的联系，完备了知识体系，提高了学生较快掌握跨章节的重点内容的能力及兴趣。
三、掌握体系带动兴趣
虽然不同章节研究的内容可能不同，但从整个的知识体系来看，都是其中的一个环节。各个环节都有一条或几条线索连接，共同构成了整个线性代数的框架。体系的掌握，需要有意识的提醒和逐步的强化。通过不同知识点、不同对象之间的共性，培养学生爱好学问的兴趣，而且在这种兴趣充分增长起来的时候，教授学生以研究学问的方法。
知识体系意在教材内容的联系和发展。从简单问题的提出，到问题的演变，从简单问题的解决方法，到复杂的、不同形式的问题的解决方案。知识体系从内容和方法上带动了整个“线性代数”课程的教与学。知识体系的作用在于纲举目张，有助于帮助学生从总体上把握线性代数的脉络，提高学生的洞察能力，培养学生的抽象思维、逻辑思维能力。
线性代数的知识体系可以分为：全书总的知识体系、各章节的知识体系。线性代数总的知识体系可以大致构建成如下图1所示。
而各章节的知识体系根据讨论内容不同，有不同的具体表现，如行列式的知识体系可简单概括为：二元线性方程组的解—>行列式定义—>行列式的性质和计算—>n元方程组的解。在上述体系中，学生首先通过“二元线性方程组的解”了解到求解线性方程组的Gauss消元法和解的行列式表示，这是两个通用方法，在后续章节的讨论中，经常会用到这种思想方法，本环节无论从本章看还是从全书看，都有着举足轻重的作用和地位。其次，在“行列式定义”环节，了解到为什么要引入n阶行列式及怎么定义n阶行列式，这是直观分析和归纳总结的一个环节，和“二元线性方程组的解”环节紧密相扣，学生从而在“行列式的性质和计算”环节马上会想到“二元线性方程组的解”环节中已经观察到的方法，以至于“n元方程组的解”成为一个水到渠成的环节。
从知识体系建立的时间安排看，在每讲授完一章的内容后，引导学生建立该章节的知识体系，多数学生容易接受。但从效果上看，很难达到教学大纲规定的培养要求。而如果在每章节初就先提出知识体系，由于不涉及到具体的抽象的理论讨论，即使学生可能会一时感到不适应，也还是能够根据体系的提示线索，主动去了解、探索该章的内容，丰满该章的知识体系，从而也培养了学生主动学习的能力和探索未知的能力，激发了学生的学习兴趣。
四、勤思多练磨练兴趣
掌握了重点内容和方法，了解了课程的知识体系，并不意味着学生熟悉和掌握了线性代数，因为这些仅仅停留在“学”的阶段。“习”是检验“学”的程度的一杆标尺！传统的“习”主要指学生完成课后练习或作业的能力，广义的“习”则指学生完成“交叉性”题目或利用数学知识解决日常学习中的问题的能力。所谓的“交叉性”题目是一种扩展性的训练方式，指提前练习后一章中和本章节某方面的内容相关的题目。比如，在讲解了矩阵的运算后，可以适当将“线性方程组的解”中的相关内容提前至“矩阵的运算”部分，在给出了相关的定义后，要求用本章的方法进行计算或求解。“交叉性”题目的要求既能促进新概念的引入，也有助于加强学生对已有知识的理解。“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”广义的“习”要求学生不但在学习中要多练，更要勤于思考，虽然要求较高，一旦学生的主动学习能力得到进一步培养，则其学习的兴趣日浓，从而达到“乐之”的境界。
五、结语
在云计算时代，教学已经不仅仅是“传道、授业、解惑”，教师需要掌握一定的教学艺术，这要求教师在实践中不断归纳总结，不断提高自身的素质。要求教师能够针对每一届学生的特点及学生的专业特点，不断提高教学水平，而提高学生的学习兴趣无疑是最重要的。
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.
（责任编辑：刘辉）