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摘要：对“数学物理方程”课程教学改革进行了试探，从教学内容、教学模式、教学方法、增加试验教学和考核方式几个方面分别进行了讨论，介绍了自己的经验和体会。
关键词：数学物理方程；教学改革；教学手段
作者简介：李芳（1982-），女，河南驻马店人，河南工业大学理学院，讲师；薛波（1980-），男，河南安阳人，郑州大学数学系，讲师。（河南 郑州 450001）
基金项目：本文系2009年河南工业大学教研项目（项目编号：2009GJYJ-A19）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）22-0090-01
“数学物理方程”是理工科很多专业的必修课，以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象，它与其他数学分支以及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，是数学理论与实际问题相联系的一个桥梁。[1]但是这么重要的一门课程，却是公认的教师难教、学生难学，主要原因是在于課程中有很多的数学推导，所得到的结果往往又是复杂的积分或者级数形式，其中还免不了使用三角函数或者特殊函数，让学生产生畏难情绪。所以，在数学物理方程教学中改革以往使用的教学方式和教学手段，提高学生的主观能动性，是一个非常迫切的需求。另外，随着科学的发展和新型学科的兴起，如何在现有的知识体系中适当地融入现代前沿的观点和内容，也是一个急需解决的问题。针对面临的问题，我们在实际的教学实践中，借鉴和学习了他人的教改经验和教学方法，做了以下几个方面的尝试，收到了良好的效果。
一、教学内容
“数学物理方程”作为一门大学基础课，试图通过对一些具有典型意义的模型方程的深入剖析、阐明和介绍偏微分方程的基本理论、解题的典型技巧以及它们的物理背景，把数学理论、解题方法与物理实际这三者有机地、紧密地结合在一起。[1]所以，虽然在很多院校这门课程是由数学老师担任，但它绝不是一门纯粹的数学课程。有的老师在授课过程中只注重解题技巧和繁复的公式推导，淡化定解问题的导出与解的物理分析，这不仅与课程的思想相违背，在某种程度上还导致了学生的疲倦和厌学情绪。在整个教学过程中，我们力求将物理分析贯穿始终，培养学生对于物理问题建立数学模型的能力，并进一步将所得到的数学结论进行物理分析，引导学生自觉地将物理问题和数学方法有机结合起来。而这也让学生感觉这门课程并不是枯燥的理论，有鲜活的物理规律和实际应用在其中，反过来又激发了学生的学习热情。
新时代的大学生应该具备不断更新知识的能力。为了让学生能在其基础上走得更远、看得更广阔，我们觉得有必要在经典内容的基础上融入更多新兴的知识，所以在讲课过程中有意地插入现实生活的例子和科技发展的前沿内容。如在讲对边界条件的依赖性的时候引入蝴蝶效应，在讲线性方程的叠加原理时加入非线性科学如孤子、分形和混沌理论的相关内容，在讲格林函数时顺便提及它在电磁仿真软件中的应用，在讲傅里叶变化和拉普拉斯变化时聊到小波变换等等，这些知识并不会占用多少课堂时间，但在扩展学生视野方面起到很关键的作用。
二、教学模式
以往数学物理方程的讲授多是采用传统的粉笔授课的方法，这种方法优点是公式推导非常直观，学生容易理解。但是随之而来的缺点是，由于推导时公式过多，学生很容易迷失于密密麻麻的黑板。拿弦振动方程的公式推导来说，整个过程需要好几步，每一步又需要很多分析，所以就产生了这种问题：每一步学生都知道是怎么回事，但是不知道为什么这么做，无法从宏观上去把握。另外，如果在例题的讲解中需要调用相关公式，或者是需要调用一些背景知识，往往需要写很长的时间，浪费了大量的课堂时间。但是如果全部用多媒体来进行教学的话，由于信息量大和过程跨度大，学生往往对公式的推导理解困难，也收不到良好的教学效果。
鉴于此，我们采取以传统的教学方法为主，利用多媒体辅助教学。在重难点处仍然使用传统的粉笔授课，通过强调突出重点，可以给学生更多思考的空间和时间，而良好的互动又使学生的理解更加透彻，印象也比较深刻。此同时，利用多媒体翻页方便的特点，公式和背景知识在需要的时候可以立刻调用，节省了很多时间，而且多媒体课件对于从宏观上分析和把握解题思路也起到了良好的作用。此外，在课堂设计的时候，我们利用多媒体的优势，用图片、声音、动画等来丰富课堂，利用物理图像的引导增加学生的学习兴趣和增强对学习内容的理解记忆，也达到了很好的效果。课程中很多抽象的概念或者是复杂的公式利用多媒体课件动态地演示，可以让学生对物理现象有一个更直观、更深刻的认识，对长长的公式和抽象的描述亲切起来。这种传统教学和多媒体课件相结合的教学方法受到了学生的广泛欢迎，让学生觉得这门课程不再枯燥，对提高他们的学习兴趣起到了良好的作用。
三、教学方法
在课堂上，我们不再使用注入式教学，避免上课时老师满堂灌、学生被动接受的状况，而是尽量使用课堂讨论和问答，让学生有参与意识，坚持“以学生为主体，老师为主导”的原则，把课堂从教师一个人的舞台变成师生共同表演的剧场，使学生成为了学习的主人，掌握着学习的主动权，激发了他们学习的积极性。
同时，我们尽量采用引导、展望和类比的方法，变式延伸，让学生自觉思考，打开思路。比如弦振动方程的分离变量法，课本上是对于第一类齐次边界条件进行的分析，[2]在讲完以后就可以引导学生思考：如果边界条件变成第二类会怎样呢？如果是混合边界条件又会怎样呢？学生在思考的过程中，不仅巩固了课堂上的知识，更达到举一反三的效果。
另外，在教学中，我们尽量使用统一的思想，把所有的知识体系串联起来。比如在讲分离变量法、柱函数和球函数时，利用特征函数展开的思想贯穿始终，让学生觉得本来零乱和互不相关的知识是一个系统，更好地从全局上把握课程内容。
还有，重视习题和读书报告。因为课堂上老师讲得再精彩再深入，学生还是在自己动手做题和总结的时候才能发现问题，及时发现学生的问题并将其消灭在萌芽阶段是很重要的，避免问题积累到一定程度学生越来越纠结，影响后面知识的消化和吸收。
除此以外，在教学中我们有意地注重学生能力的培养，训练他们将实际的物理问题“翻译”成数学语言并进行处理的能力，并用导读的方式鼓励学有余力的学生自学更加深入的内容以及相关的前沿知识。
四、增加实验教学
传统的数学物理方程的教学形式是以课堂教学为中心，学生被动地接受知识，这也是为什么很多学生都觉得数学物理方程枯燥乏味的原因之一。我们在实践中，尝试在传统教学之外，适当增加实验教学。这一设计的目标是从眼花缭乱的数学表达式中，将其所表达的物理图像展现出来，让这些看似繁杂的公式“开口说话”。对于课程中很多结论，当我们用图形和动画将其模拟出来时，学生对这些结果无疑会有更深刻的理解，而且对不同章节、不同内容之间的联系也有了切身的体会。所有的这些都给学生一种面貌一新的感觉。它改变了只能用公式符号教学的模式，大大提高了教学效果。例如，有一道研究环形电流的磁场的题，可以用三种不同的方法计算，所得结果分别用连带勒让德函数的广义傅里叶级数表示，用椭圆函数的积分表示或者直接用数值积分表示，那么这些形式各异的结果是一致的吗？它跟实验的结果相同吗？谁都会对这个问题感到好奇，可是又觉得难以定论。但是，当我们画出它们的电力线以后，就会看到什么叫殊途同归。[3]这一切对初学本课程的学生来说，留给他们的影响是极其深刻的。一旦学生的学习兴趣被激起，学习的潜力将是无限的。
五、考核方式
考试的主要目的是检测学生对所学知识的掌握程度，但同时又是一个很好的促进学生学习的方法。平时的学习是一个积累的过程，在期末考试前学生通过集中复习，能够更好地对课程有一个全面的把握和理解。但是总有不少学生不注重平时的学习，仅仅依靠考试前一个月的突击，这样非常不利于对课程的真正掌握。尤其是像数学物理方程这一类的课，考试前靠突击记几个公式希望能蒙混过关，考试过后一眨眼全部忘完，对整个课程的精髓根本无法体会。所以我们采取的考核方式是，期末考试成绩占60%，平时表现和作业情况占20%，课程论文或者读书报告占20%。通过这种形式让学生对平时的学习注重起来，又通过写课程论文的方式，让学生自己思考和总结课程中的基本内容、重难点和方法技巧，有效地提高了学生学习的积极性和学习效果。
以上是我们对数学物理方程课程改革的一些试探，目的是培养学生深入思考的能力，更高效和自觉地学习，同时为他们打下更宽的基础。随着新世纪高等教育人才培养目标的不断变化和教育体制改革的不断深化，相信这门课程的教学模式和内容体系会更加丰富，更适应新时代的需要。
参考文献：
[1]姜礼尚,等.数学物理方程讲义[M].北京:高等教育出版社,1996.
[2]戴嘉尊.数学物理方程[M].南京:东南大学出版,2008.
[3]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京:清华大学出版社,2004.
（责任编辑：刘辉）
关键词：数学物理方程；教学改革；教学手段
作者简介：李芳（1982-），女，河南驻马店人，河南工业大学理学院，讲师；薛波（1980-），男，河南安阳人，郑州大学数学系，讲师。（河南 郑州 450001）
基金项目：本文系2009年河南工业大学教研项目（项目编号：2009GJYJ-A19）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）22-0090-01
“数学物理方程”是理工科很多专业的必修课，以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象，它与其他数学分支以及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，是数学理论与实际问题相联系的一个桥梁。[1]但是这么重要的一门课程，却是公认的教师难教、学生难学，主要原因是在于課程中有很多的数学推导，所得到的结果往往又是复杂的积分或者级数形式，其中还免不了使用三角函数或者特殊函数，让学生产生畏难情绪。所以，在数学物理方程教学中改革以往使用的教学方式和教学手段，提高学生的主观能动性，是一个非常迫切的需求。另外，随着科学的发展和新型学科的兴起，如何在现有的知识体系中适当地融入现代前沿的观点和内容，也是一个急需解决的问题。针对面临的问题，我们在实际的教学实践中，借鉴和学习了他人的教改经验和教学方法，做了以下几个方面的尝试，收到了良好的效果。
一、教学内容
“数学物理方程”作为一门大学基础课，试图通过对一些具有典型意义的模型方程的深入剖析、阐明和介绍偏微分方程的基本理论、解题的典型技巧以及它们的物理背景，把数学理论、解题方法与物理实际这三者有机地、紧密地结合在一起。[1]所以，虽然在很多院校这门课程是由数学老师担任，但它绝不是一门纯粹的数学课程。有的老师在授课过程中只注重解题技巧和繁复的公式推导，淡化定解问题的导出与解的物理分析，这不仅与课程的思想相违背，在某种程度上还导致了学生的疲倦和厌学情绪。在整个教学过程中，我们力求将物理分析贯穿始终，培养学生对于物理问题建立数学模型的能力，并进一步将所得到的数学结论进行物理分析，引导学生自觉地将物理问题和数学方法有机结合起来。而这也让学生感觉这门课程并不是枯燥的理论，有鲜活的物理规律和实际应用在其中，反过来又激发了学生的学习热情。
新时代的大学生应该具备不断更新知识的能力。为了让学生能在其基础上走得更远、看得更广阔，我们觉得有必要在经典内容的基础上融入更多新兴的知识，所以在讲课过程中有意地插入现实生活的例子和科技发展的前沿内容。如在讲对边界条件的依赖性的时候引入蝴蝶效应，在讲线性方程的叠加原理时加入非线性科学如孤子、分形和混沌理论的相关内容，在讲格林函数时顺便提及它在电磁仿真软件中的应用，在讲傅里叶变化和拉普拉斯变化时聊到小波变换等等，这些知识并不会占用多少课堂时间，但在扩展学生视野方面起到很关键的作用。
二、教学模式
以往数学物理方程的讲授多是采用传统的粉笔授课的方法，这种方法优点是公式推导非常直观，学生容易理解。但是随之而来的缺点是，由于推导时公式过多，学生很容易迷失于密密麻麻的黑板。拿弦振动方程的公式推导来说，整个过程需要好几步，每一步又需要很多分析，所以就产生了这种问题：每一步学生都知道是怎么回事，但是不知道为什么这么做，无法从宏观上去把握。另外，如果在例题的讲解中需要调用相关公式，或者是需要调用一些背景知识，往往需要写很长的时间，浪费了大量的课堂时间。但是如果全部用多媒体来进行教学的话，由于信息量大和过程跨度大，学生往往对公式的推导理解困难，也收不到良好的教学效果。
鉴于此，我们采取以传统的教学方法为主，利用多媒体辅助教学。在重难点处仍然使用传统的粉笔授课，通过强调突出重点，可以给学生更多思考的空间和时间，而良好的互动又使学生的理解更加透彻，印象也比较深刻。此同时，利用多媒体翻页方便的特点，公式和背景知识在需要的时候可以立刻调用，节省了很多时间，而且多媒体课件对于从宏观上分析和把握解题思路也起到了良好的作用。此外，在课堂设计的时候，我们利用多媒体的优势，用图片、声音、动画等来丰富课堂，利用物理图像的引导增加学生的学习兴趣和增强对学习内容的理解记忆，也达到了很好的效果。课程中很多抽象的概念或者是复杂的公式利用多媒体课件动态地演示，可以让学生对物理现象有一个更直观、更深刻的认识，对长长的公式和抽象的描述亲切起来。这种传统教学和多媒体课件相结合的教学方法受到了学生的广泛欢迎，让学生觉得这门课程不再枯燥，对提高他们的学习兴趣起到了良好的作用。
三、教学方法
在课堂上，我们不再使用注入式教学，避免上课时老师满堂灌、学生被动接受的状况，而是尽量使用课堂讨论和问答，让学生有参与意识，坚持“以学生为主体，老师为主导”的原则，把课堂从教师一个人的舞台变成师生共同表演的剧场，使学生成为了学习的主人，掌握着学习的主动权，激发了他们学习的积极性。
同时，我们尽量采用引导、展望和类比的方法，变式延伸，让学生自觉思考，打开思路。比如弦振动方程的分离变量法，课本上是对于第一类齐次边界条件进行的分析，[2]在讲完以后就可以引导学生思考：如果边界条件变成第二类会怎样呢？如果是混合边界条件又会怎样呢？学生在思考的过程中，不仅巩固了课堂上的知识，更达到举一反三的效果。
另外，在教学中，我们尽量使用统一的思想，把所有的知识体系串联起来。比如在讲分离变量法、柱函数和球函数时，利用特征函数展开的思想贯穿始终，让学生觉得本来零乱和互不相关的知识是一个系统，更好地从全局上把握课程内容。
还有，重视习题和读书报告。因为课堂上老师讲得再精彩再深入，学生还是在自己动手做题和总结的时候才能发现问题，及时发现学生的问题并将其消灭在萌芽阶段是很重要的，避免问题积累到一定程度学生越来越纠结，影响后面知识的消化和吸收。
除此以外，在教学中我们有意地注重学生能力的培养，训练他们将实际的物理问题“翻译”成数学语言并进行处理的能力，并用导读的方式鼓励学有余力的学生自学更加深入的内容以及相关的前沿知识。
四、增加实验教学
传统的数学物理方程的教学形式是以课堂教学为中心，学生被动地接受知识，这也是为什么很多学生都觉得数学物理方程枯燥乏味的原因之一。我们在实践中，尝试在传统教学之外，适当增加实验教学。这一设计的目标是从眼花缭乱的数学表达式中，将其所表达的物理图像展现出来，让这些看似繁杂的公式“开口说话”。对于课程中很多结论，当我们用图形和动画将其模拟出来时，学生对这些结果无疑会有更深刻的理解，而且对不同章节、不同内容之间的联系也有了切身的体会。所有的这些都给学生一种面貌一新的感觉。它改变了只能用公式符号教学的模式，大大提高了教学效果。例如，有一道研究环形电流的磁场的题，可以用三种不同的方法计算，所得结果分别用连带勒让德函数的广义傅里叶级数表示，用椭圆函数的积分表示或者直接用数值积分表示，那么这些形式各异的结果是一致的吗？它跟实验的结果相同吗？谁都会对这个问题感到好奇，可是又觉得难以定论。但是，当我们画出它们的电力线以后，就会看到什么叫殊途同归。[3]这一切对初学本课程的学生来说，留给他们的影响是极其深刻的。一旦学生的学习兴趣被激起，学习的潜力将是无限的。
五、考核方式
考试的主要目的是检测学生对所学知识的掌握程度，但同时又是一个很好的促进学生学习的方法。平时的学习是一个积累的过程，在期末考试前学生通过集中复习，能够更好地对课程有一个全面的把握和理解。但是总有不少学生不注重平时的学习，仅仅依靠考试前一个月的突击，这样非常不利于对课程的真正掌握。尤其是像数学物理方程这一类的课，考试前靠突击记几个公式希望能蒙混过关，考试过后一眨眼全部忘完，对整个课程的精髓根本无法体会。所以我们采取的考核方式是，期末考试成绩占60%，平时表现和作业情况占20%，课程论文或者读书报告占20%。通过这种形式让学生对平时的学习注重起来，又通过写课程论文的方式，让学生自己思考和总结课程中的基本内容、重难点和方法技巧，有效地提高了学生学习的积极性和学习效果。
以上是我们对数学物理方程课程改革的一些试探，目的是培养学生深入思考的能力，更高效和自觉地学习，同时为他们打下更宽的基础。随着新世纪高等教育人才培养目标的不断变化和教育体制改革的不断深化，相信这门课程的教学模式和内容体系会更加丰富，更适应新时代的需要。
参考文献：
[1]姜礼尚,等.数学物理方程讲义[M].北京:高等教育出版社,1996.
[2]戴嘉尊.数学物理方程[M].南京:东南大学出版,2008.
[3]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京:清华大学出版社,2004.
（责任编辑：刘辉）