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摘要： 圆锥曲线向来是数学教学中的重点、难点，几何性质多而复杂，并且可以与其它内容相结合，组成难度较大的综合题，运用图形对称性解题是其中的一种比较简洁、可行的办法。
关键词： 圆锥曲线 对称性 图形对称 数形结合
在圆锥曲线的教学过程中，我们常常把教学的重心放在圆锥曲线的定义、标准方程、焦点位置、焦半径等问题上，而比较容易忽略圆锥曲线图像本身的特征，其实圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线的图像都具有很好的对称性。例如：椭圆、双曲线既有轴对称，又有中心对称，抛物线也有轴对称的性质。在实际的解题过程中，这样的对称性应该被好好地利用，决不能忽视它们，正确地运用对称性质可以简化解题步骤，找到一条解决问题的捷径。作为教师要引导学生发现这种对称的性质，利用这些对称解决一些实际问题，体验到对称的美，这也是数学美学的一个很好的体现。
本人所教的职业中学数学课本第三册（第63页）中有这样的一道例题：
例1.如图14—15，椭圆 + =1的焦点分别是F 和F ，过中心O作直线与椭圆相交于A、B两点，若△ABF 的面积是20，求直线AB的方程。
分析：设A（x ，y ），B（x ，y ），则有
S =S +S = （|y |+|y |）OF 。
又OF =半焦距，所以只需求出y 、y 。又因为交点A、B的坐标取决于直线AB的斜率k，因此由上式中y 、y 与k之间的关系可求得k。
解：由椭圆方程可知，a =45，b =20，c =a -b =25，所以OF =c=5。
设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx。设点A、B的坐标分别为A（x ，y ）、B（x ，y ）。
从联立方程组 + =1y=kx中消去x，得（9k +4）y ＝180k
解出：|y |=|y |= = 。
又S =S +S = （|y |+|y |）OF =20，即
5× =20，
解得：k=± 。
所以所求的直线方程为y=± x。
以上是课本上的解题过程，其实这并非是最好的方法，编者忽略了椭圆具有中心对称的性质，过中心O的弦AB，点A与点B是关于原点对称的，它们的横坐标、纵坐标的绝对值是相同的，即S =2S ，所以可以用以下这个方法来解决这道题目。
解：由椭圆方程可知，a =45，b =20，c =a -b =25。
所以OF =c=5。
设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx。设点A、B的坐标分别为A（x ，y ）、B（x ，y ）。由于对称性得|y |=|y |
∴S =2S =2× |y ||OF |=20
即|y |=4，代入椭圆方程可得x=±3
∴k=±
所以所求的直线方程为y=± x
在圆锥曲线的教学中我们常常关注圆锥曲线的方程以及几何性质中的焦点、离心率、焦半径等，而图形本身是比较直观的，我们在观察图像的时候，容易忽略图形本身的特性，对称性就是其中之一。下面我们来看看这道题目：
1.如图1所示，线段AB是椭圆 + =1（a＞b＞0）的长轴，把AB五等分，过四个分点分别作AB的垂线，交椭圆上半部于P ，P ，P ，P 四点，F是椭圆的右焦点，则|P F|+|P F|+|P F|+|P F|的值为多少？
图１
分析：由于将AB五等分，过四个分点分别作AB的垂线，所以P 与P 对称，P 与P 对称，设椭圆的左焦点为F ，|P F |=|P F|，|P F |=|P F|。
解：设椭圆的左焦点为F ，显然P 与P ，P 与P 关于y轴对称，
因此，|P F |=|P F|，|P F |=|P F|
所以|P F|+|P F|+|P F|+|P F|=|P F|+|P F |+|P F|+|P F |=2a+2a=4a
点评：本题所运用的图形对称是圆锥曲线中的几个点关于短轴对称，诸如此类的题目很多，在有些参考书上还有将长轴17等分，但总的方法是相同的，都用到了图形本身的对称性质。
在有些情况下，利用圆锥曲线图形的对称性还可以解决圆锥曲线中其他的一些具体问题，下面我们来看这道题目：
2.已知椭圆方程为 + =1（a＞b＞0），则椭圆的内接矩形的面积的最大值是多少？
分析：椭圆的内接矩形应该关于x，y轴对称，可以分成四个全等的小矩形，求出即可。
解：根据椭圆的对称性，矩形的四个顶点关于中心对称，且边分别和x轴，y轴平行。
设：A（acosθ,bsinθ）为其一个顶点
∵x轴，y轴把矩形平分成四个全等的小矩形
∴一个小矩形的面积S=acosθ•bsinθ= absin2θ
∴S = ab，当sin2θ=1时，则最大值为4S =4× ab=2ab。
利用圆锥曲线图形的对称性解题往往能起到意想不到的结果，以上两道题目都属于选择题、填空题范畴，运用图形对称性解题能起到简化运算过程，提高解题速度。在2003年高考江苏卷中选择题第9题就是一道典型的利用圆锥曲线图形对称性质的题目，下面我们一起来看一下：
3.（9）已知方程（x -2x+m）（x -2x+n）=0的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|m-n|=（）。
A. 1B.C.D.
分析：这道选择题看似是一道函数与数列的综合题，其实可以看成是两个抛物线与x轴的四个交点的横坐标，其中之一就是 ，根据抛物线的轴对称性质和等差数列性质就能求出其余三个根，再求出m，n即可。
解：令y =x -2x+m，y =x -2x+n，则y y =0的四个根可以看作是两条抛物线与x轴的四个交点的横坐标，设x -2x+m=0的两个根为x ，x ；x -2x+n=0的两个根为x ，x 。由已知得x = ，又因为两条抛物线都关于对称轴x=1对称，所以x = ，又因为四个根成等差数列，所以x = ，x = ，分别代入x -2x+m=0，x -2x+n=0得到m= ，n= ，|m-n|= ，因此本题选（C）。
从本题可以看出有些题目从表面上并非是属于圆锥曲线中的问题，但通过分析我们可以将实际题目进行分割转化，数形结合，运用抛物线的对称性解题，这个绝妙的解题思路对于本题能够起到化繁为简的作用，找到解题的最短路径，大大提高解题效率。
圆锥曲线向来是数学教学中的重点、难点，几何性质比较多，综合运用也比较复杂，可以与其它部分相结合，组成难度较大的综合题，运用图形对称性解题只是其中的一种比较简洁、可行的办法。在平时的教学过程中要培养学生对图形的观察能力，因为数学观察就是人们对数学问题在客观情况下考察其数量关系及其图形性质的方法。学生的观察能力直接影响到学生的解决问题的能力，这对于学生将来面向社会，观察社会事物有一定的影响。解析几何本质上就是一种数形结合，两者有一定的独立性，又互相依赖，过去我们偏重于对“数”进行研究，“形”只是起到一定的辅助作用，其实图形也很重要，它与我们的实际生活联系最为紧密，数学归根到底不仅要锻炼人们的思维，还要为社会生产活动服务，图形特征是最基本的，数学中的对称是一种美的享受，在实际教学中应融入这种“美”的教育。
参考文献：
［1］李盘喜主编.高中数学解题题典.
［2］章士藻著.中学数学教育学.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 圆锥曲线 对称性 图形对称 数形结合
在圆锥曲线的教学过程中，我们常常把教学的重心放在圆锥曲线的定义、标准方程、焦点位置、焦半径等问题上，而比较容易忽略圆锥曲线图像本身的特征，其实圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线的图像都具有很好的对称性。例如：椭圆、双曲线既有轴对称，又有中心对称，抛物线也有轴对称的性质。在实际的解题过程中，这样的对称性应该被好好地利用，决不能忽视它们，正确地运用对称性质可以简化解题步骤，找到一条解决问题的捷径。作为教师要引导学生发现这种对称的性质，利用这些对称解决一些实际问题，体验到对称的美，这也是数学美学的一个很好的体现。
本人所教的职业中学数学课本第三册（第63页）中有这样的一道例题：
例1.如图14—15，椭圆 + =1的焦点分别是F 和F ，过中心O作直线与椭圆相交于A、B两点，若△ABF 的面积是20，求直线AB的方程。
分析：设A（x ，y ），B（x ，y ），则有
S =S +S = （|y |+|y |）OF 。
又OF =半焦距，所以只需求出y 、y 。又因为交点A、B的坐标取决于直线AB的斜率k，因此由上式中y 、y 与k之间的关系可求得k。
解：由椭圆方程可知，a =45，b =20，c =a -b =25，所以OF =c=5。
设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx。设点A、B的坐标分别为A（x ，y ）、B（x ，y ）。
从联立方程组 + =1y=kx中消去x，得（9k +4）y ＝180k
解出：|y |=|y |= = 。
又S =S +S = （|y |+|y |）OF =20，即
5× =20，
解得：k=± 。
所以所求的直线方程为y=± x。
以上是课本上的解题过程，其实这并非是最好的方法，编者忽略了椭圆具有中心对称的性质，过中心O的弦AB，点A与点B是关于原点对称的，它们的横坐标、纵坐标的绝对值是相同的，即S =2S ，所以可以用以下这个方法来解决这道题目。
解：由椭圆方程可知，a =45，b =20，c =a -b =25。
所以OF =c=5。
设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx。设点A、B的坐标分别为A（x ，y ）、B（x ，y ）。由于对称性得|y |=|y |
∴S =2S =2× |y ||OF |=20
即|y |=4，代入椭圆方程可得x=±3
∴k=±
所以所求的直线方程为y=± x
在圆锥曲线的教学中我们常常关注圆锥曲线的方程以及几何性质中的焦点、离心率、焦半径等，而图形本身是比较直观的，我们在观察图像的时候，容易忽略图形本身的特性，对称性就是其中之一。下面我们来看看这道题目：
1.如图1所示，线段AB是椭圆 + =1（a＞b＞0）的长轴，把AB五等分，过四个分点分别作AB的垂线，交椭圆上半部于P ，P ，P ，P 四点，F是椭圆的右焦点，则|P F|+|P F|+|P F|+|P F|的值为多少？
图１
分析：由于将AB五等分，过四个分点分别作AB的垂线，所以P 与P 对称，P 与P 对称，设椭圆的左焦点为F ，|P F |=|P F|，|P F |=|P F|。
解：设椭圆的左焦点为F ，显然P 与P ，P 与P 关于y轴对称，
因此，|P F |=|P F|，|P F |=|P F|
所以|P F|+|P F|+|P F|+|P F|=|P F|+|P F |+|P F|+|P F |=2a+2a=4a
点评：本题所运用的图形对称是圆锥曲线中的几个点关于短轴对称，诸如此类的题目很多，在有些参考书上还有将长轴17等分，但总的方法是相同的，都用到了图形本身的对称性质。
在有些情况下，利用圆锥曲线图形的对称性还可以解决圆锥曲线中其他的一些具体问题，下面我们来看这道题目：
2.已知椭圆方程为 + =1（a＞b＞0），则椭圆的内接矩形的面积的最大值是多少？
分析：椭圆的内接矩形应该关于x，y轴对称，可以分成四个全等的小矩形，求出即可。
解：根据椭圆的对称性，矩形的四个顶点关于中心对称，且边分别和x轴，y轴平行。
设：A（acosθ,bsinθ）为其一个顶点
∵x轴，y轴把矩形平分成四个全等的小矩形
∴一个小矩形的面积S=acosθ•bsinθ= absin2θ
∴S = ab，当sin2θ=1时，则最大值为4S =4× ab=2ab。
利用圆锥曲线图形的对称性解题往往能起到意想不到的结果，以上两道题目都属于选择题、填空题范畴，运用图形对称性解题能起到简化运算过程，提高解题速度。在2003年高考江苏卷中选择题第9题就是一道典型的利用圆锥曲线图形对称性质的题目，下面我们一起来看一下：
3.（9）已知方程（x -2x+m）（x -2x+n）=0的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|m-n|=（）。
A. 1B.C.D.
分析：这道选择题看似是一道函数与数列的综合题，其实可以看成是两个抛物线与x轴的四个交点的横坐标，其中之一就是 ，根据抛物线的轴对称性质和等差数列性质就能求出其余三个根，再求出m，n即可。
解：令y =x -2x+m，y =x -2x+n，则y y =0的四个根可以看作是两条抛物线与x轴的四个交点的横坐标，设x -2x+m=0的两个根为x ，x ；x -2x+n=0的两个根为x ，x 。由已知得x = ，又因为两条抛物线都关于对称轴x=1对称，所以x = ，又因为四个根成等差数列，所以x = ，x = ，分别代入x -2x+m=0，x -2x+n=0得到m= ，n= ，|m-n|= ，因此本题选（C）。
从本题可以看出有些题目从表面上并非是属于圆锥曲线中的问题，但通过分析我们可以将实际题目进行分割转化，数形结合，运用抛物线的对称性解题，这个绝妙的解题思路对于本题能够起到化繁为简的作用，找到解题的最短路径，大大提高解题效率。
圆锥曲线向来是数学教学中的重点、难点，几何性质比较多，综合运用也比较复杂，可以与其它部分相结合，组成难度较大的综合题，运用图形对称性解题只是其中的一种比较简洁、可行的办法。在平时的教学过程中要培养学生对图形的观察能力，因为数学观察就是人们对数学问题在客观情况下考察其数量关系及其图形性质的方法。学生的观察能力直接影响到学生的解决问题的能力，这对于学生将来面向社会，观察社会事物有一定的影响。解析几何本质上就是一种数形结合，两者有一定的独立性，又互相依赖，过去我们偏重于对“数”进行研究，“形”只是起到一定的辅助作用，其实图形也很重要，它与我们的实际生活联系最为紧密，数学归根到底不仅要锻炼人们的思维，还要为社会生产活动服务，图形特征是最基本的，数学中的对称是一种美的享受，在实际教学中应融入这种“美”的教育。
参考文献：
［1］李盘喜主编.高中数学解题题典.
［2］章士藻著.中学数学教育学.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”