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数学问题千变万化，要想既快又准的解决，必须寻求简捷的方法.有时所遇见的数学问题看似很难，但只要我们“脑筋急转弯”，就能巧夺天工.所谓由特殊到一般的思维策略，就是说在解决数学问题时，选取一个或几个特殊值或利用特殊图形进行分析，发现问题的一般规律，从而获得解题途径的方法.由特殊到一般是归纳思想在解题中的具体体现.本文谈谈如何运用由特殊到一般来快速探求解决问题的思路.
一、通过条件特殊化，直接求得结论
在处理填空题时，我们常常会遇到一些已知条件在一般情形下，探讨结论确定的问题.如果从一般情形出发，运算量较大，有时候运算还较为繁琐，对于这些问题我们可以将条件特殊化来求解.
例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则cosA cosC1 cosAcosC=.
分析：由2b=a c，取a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形，cosA=45，cosC=0，代入求得45.或取a=b=c，则△ABC为等边三角形，cosA=cosC=12，求得45.
例2已知等差数列{an}的公差d≠0，a1，a3，a9成等比数列，则a1 a3 a9a2 a4 a10的值为.
分析：依据a1，a3，a9成等比数列，将数列特殊化，取数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则a1 a3 a9a2 a4 a10=1 3 92 4 10=1316.
小结：题设中的条件，对于一般情况都能成立，而求解的结论是定值.我们可以对一般情形赋特殊值，通过特殊值，得到一般结论.当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出结论.
二、通过特殊函数值，缩小字母参数的范围
在求解含有字母参数的函数问题时，我们往往需要对字母变量进行分类讨论，有时候分类讨论的次数较多，在求解时很容易面临多解或漏解的情形.若采取特殊化方法，可以缩小参数范围，减少分类讨论的次数，增强学生的信心.
例3已知函数f（x）=ax3-3x 1（x∈R），若对任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，则实数a的值为.
分析：根据题意，即求函数f（x）的最小值大于等于0，而求函数的最小值需要对参数a进行分类讨论.事实上，由f（x）min≥0，一般情况下求得参数a是在某个范围上，而结果是a的值.所以依据任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，对x赋值，由f（-1）≥0，f（12）≥0，解得a≤4，a≥4，故a=4.
例4已知函数f（x）=（m-3）x3 9x在[1，2]上的最大值为4，求实数m的值.
分析：思路1：由f′（x）=3（m-3）x2 9，则当m≥3时，f（x）在[1，2]上是增函数，所以f（x）max=f（2）=8（m-3） 18=4，解得m=54<3，不合题意，舍去.
当m<3时，f′（x）=3（m-3）x2 9=0，
得x=±33-m.
所以f（x）的单调区间为：（-∞，-33-m）单调减，（-33-m，33-m）单调增，（33-m， ∞）单调减.
①当33-m≥2，即94≤m<3时，[1，2]∈（-33-m，33-m），所以f（x）在区间[1，2]上单调增，f（x）max=f（2）=8（m-3） 18=4，m=54，不满足题设要求.
②当1<33-m<2，即0 ③当33-m≤1，即m≤0时，则[1，2][33-m， ∞），所以f（x）在区间[1，2]上单调减，f（x）max=f（1）=m 6=4，m=-2.综上所述：m=-2.
思路2：由已知可得f（1）≤4，f（2）≤4，则m 6≤4，8（m-3） 18≤4，解得m≤-2.
又f′（x）=3（m-3）x2 9，当m≤-2时，f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，所以f（x）在区间[1，2]上单调减，f（x）max=f（1）=m 6=4，m=-2.综上所述：m=-2.
小结：在处理含有参数的相关问题时，要善于挖掘题设中的隐含条件，通过特殊化的方法缩小参数的范围，从而减少分类讨论的次数或者避免分类讨论.
变题已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）在[1，e]上的最小值为4，则实数m的值为.
分析：根据题意知f（1）≥4，即m≤-4，又f′（x）=1x mx2=m xx2，则f′（x）<0在[1，e]上恒成立，函数f（x）在[1，e]上单调递减，根据题意有f（e）=4，得m=-3e.
三、通过图形位置特殊化，猜想运算结果
在立体几何、解析几何、向量等问题中，我们会经常遇到与图形有关的探究性问题，对于这些图形类问题，我们要探求一般结论，要善于多途设计，寻求最优的解题思路.在这个探求过程中，要确定解题的方向.
例5如果三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分为体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=.
分析：本题是研究的任意三棱锥，二结论是一个确定的值，也即结论与三棱柱具体形状无关，构造一个特殊的正三棱柱其底面积为4，高为1，则V=4，V1=13×1×（1 1×4 4）=73，V2=V-V1=4-73=53，∴V1∶V2=7∶5.
例6设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为. 分析：如果我们动态地思考这个问题，让点P无限逼近点A，则点Q必无限逼近于点C1，此时四棱锥BAPQC质变成了三棱锥BACC1，VBACC1=VC1ABC，所以四棱锥BAPQC的体积为13V.
例7如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），离心率为22.分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C，两点），且OE=EF.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求k1 k2.
分析：思路一：（1）由已知可得c=1，e=ca=22，则a=2，b=1，故椭圆方程为x22 y2=1.
（2）设直线OE：y=kx，则由OE=EF可知直线
CD与OE斜率一定存在且互为相反数，设直线CD：y=-k（x-1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x2=-x1，
联立y=kxx22 y2=1，
得（1 2k2）x2=2，x21=21 2k2，
联立y=-k（x-1）x22 y2=1，得（1 2k2）x2-4k2x 2k2-2=0，x3，4=2k2±2（k2 1）1 2k2，
故k1 k2=kx1 k（x3-1）x1-x3 kx2 k（x4-1）x2-x4
=kx1 k（x3-1）x1-x3 -kx1 k（x4-1）-x1-x4
=k[x1 （x3-1）]（x1 x4） k[x1-（x4-1）]（x1-x3）（x1-x3）（x1 x4）
=k（2x21 2x3x4-x3-x4）（x1-x3）（x1 x4）
=k（42k2 1 4k2-42k2 1-4k22k2 1）（x1-x3）（x1 x4）
=0.
思路二：观察图形，可知A，B关于原点对称，且直线AB和直线CD的倾斜角互补，将直线AB进行旋转可发现AC和BD的倾斜角也互补.
思路三：取特殊位置.当直线AB倾斜角为π4时，求得k1 k2=0，再进行一般的检验.
此题运算过程中同学们的难点一是刻画两条动弦AB，CD的时候选择的量特别多，无法消元，做不下去；二是运算过程中忙中出乱，无法坚持.若养成求解中善于挖掘题中的隐含条件：一是OE=EF隐含了直线AB，CD斜率一定存在且互为相反数；二是从图形和表达式的结构特征猜想隐含了k1，k2的和为定值，通过直觉或者特殊位置可以猜想该定值为0.这样运算的目标明确，也就不容易出错了.
小结：在处理图形类问题时，我们可以通过点或图形在特殊位置，先猜想一般结论，再对一般情形进行论证，尤其是针对定点、定值类问题，由特殊情况求得结论，再由特殊情况去猜想结论.
四、通过取特殊项，探求一般规律
对于一些数列类问题，我们要善于从特殊项入手，探求猜想一般规律，再进行检验论证.在探求中要善于观察、归纳、猜想.由于共性寓于事物的个性之中，所以对于有些较复杂的问题只要把特殊情况讨论清楚了，一般情况就容易化归为特殊情况.
例8已知等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3=45，a1 a5=18.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=Snn c（n∈N），是否存在一个非零常数c，使得数列{bn}也是等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由.
分析：（1）知an=4n-3；（2）由（1）可得Sn=2n2-n，则bn=2n2-nn c.
思路一：若存在一个非零常数c，使得数列{bn}也是等差数列，则可设bn=an b，则an b=2n2-nn c对任意n∈N恒成立，展开后利用恒成立的条件求解.
思路二：特殊化.若存在一个非零常数c，使得数列{bn}也是等差数列，则b1，b2，b3成等差数列，故2b2=b1 b3，解得c=-12，再代入bn=2n2-nn c，得bn=2n，所以数列{bn}是等差数列.
例9设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和.记bn=nSnn2 c，n∈N*，其中c为实数.
（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0.
分析：（1）an=a （n-1）d（d≠0），Sn=na n2-n2d，当c=0时，bn=Snn，
则b1=S11=a，b2=S22=a d2，b4=S44=a 3d2，由b1，b2，b4成等比数列，则b1b4=b22，
代入得a·（a 3d2）=（a d2）2，化简得d2=2ad，又d≠0，故d=2a，Sn=n2a，Snk=n2k2a，n2Sk=n2k2a，则Snk=n2Sk.
（2）由已知bn=nSnn2 c=2n2a n3d-n2d2n2 2c是等差数列，故可设bn=kn b（k，b为常数）则有（2k-d）n3 （2b d-2a）n2 2ckn 2bc=0对任意n∈N 恒成立.在此式中分别取n=1，2，3，4，则由d≠0，k≠0，得c=0，此时k=d2，b=2a-d2.再代入原式知c=0时，原等式恒成立.
小结：在解决数列类问题时，我们可以通过前面几项发现规律，再针对一般情况进行验证.
由特殊到一般的思维策略的多方面运用，不仅说明它在解决数学问题时的广泛性和重要性，更主要的是说明它应该是同学们必须掌握的一种数学思维方法.利用特值、特形解题，增强同学们的数学应用意识，在众多的信息面前，注重培养挖掘一批有用或关键信息的那种数学素养.
（作者：王小青，江苏省如皋中学）
一、通过条件特殊化，直接求得结论
在处理填空题时，我们常常会遇到一些已知条件在一般情形下，探讨结论确定的问题.如果从一般情形出发，运算量较大，有时候运算还较为繁琐，对于这些问题我们可以将条件特殊化来求解.
例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则cosA cosC1 cosAcosC=.
分析：由2b=a c，取a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形，cosA=45，cosC=0，代入求得45.或取a=b=c，则△ABC为等边三角形，cosA=cosC=12，求得45.
例2已知等差数列{an}的公差d≠0，a1，a3，a9成等比数列，则a1 a3 a9a2 a4 a10的值为.
分析：依据a1，a3，a9成等比数列，将数列特殊化，取数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则a1 a3 a9a2 a4 a10=1 3 92 4 10=1316.
小结：题设中的条件，对于一般情况都能成立，而求解的结论是定值.我们可以对一般情形赋特殊值，通过特殊值，得到一般结论.当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出结论.
二、通过特殊函数值，缩小字母参数的范围
在求解含有字母参数的函数问题时，我们往往需要对字母变量进行分类讨论，有时候分类讨论的次数较多，在求解时很容易面临多解或漏解的情形.若采取特殊化方法，可以缩小参数范围，减少分类讨论的次数，增强学生的信心.
例3已知函数f（x）=ax3-3x 1（x∈R），若对任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，则实数a的值为.
分析：根据题意，即求函数f（x）的最小值大于等于0，而求函数的最小值需要对参数a进行分类讨论.事实上，由f（x）min≥0，一般情况下求得参数a是在某个范围上，而结果是a的值.所以依据任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，对x赋值，由f（-1）≥0，f（12）≥0，解得a≤4，a≥4，故a=4.
例4已知函数f（x）=（m-3）x3 9x在[1，2]上的最大值为4，求实数m的值.
分析：思路1：由f′（x）=3（m-3）x2 9，则当m≥3时，f（x）在[1，2]上是增函数，所以f（x）max=f（2）=8（m-3） 18=4，解得m=54<3，不合题意，舍去.
当m<3时，f′（x）=3（m-3）x2 9=0，
得x=±33-m.
所以f（x）的单调区间为：（-∞，-33-m）单调减，（-33-m，33-m）单调增，（33-m， ∞）单调减.
①当33-m≥2，即94≤m<3时，[1，2]∈（-33-m，33-m），所以f（x）在区间[1，2]上单调增，f（x）max=f（2）=8（m-3） 18=4，m=54，不满足题设要求.
②当1<33-m<2，即0
思路2：由已知可得f（1）≤4，f（2）≤4，则m 6≤4，8（m-3） 18≤4，解得m≤-2.
又f′（x）=3（m-3）x2 9，当m≤-2时，f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，所以f（x）在区间[1，2]上单调减，f（x）max=f（1）=m 6=4，m=-2.综上所述：m=-2.
小结：在处理含有参数的相关问题时，要善于挖掘题设中的隐含条件，通过特殊化的方法缩小参数的范围，从而减少分类讨论的次数或者避免分类讨论.
变题已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）在[1，e]上的最小值为4，则实数m的值为.
分析：根据题意知f（1）≥4，即m≤-4，又f′（x）=1x mx2=m xx2，则f′（x）<0在[1，e]上恒成立，函数f（x）在[1，e]上单调递减，根据题意有f（e）=4，得m=-3e.
三、通过图形位置特殊化，猜想运算结果
在立体几何、解析几何、向量等问题中，我们会经常遇到与图形有关的探究性问题，对于这些图形类问题，我们要探求一般结论，要善于多途设计，寻求最优的解题思路.在这个探求过程中，要确定解题的方向.
例5如果三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分为体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=.
分析：本题是研究的任意三棱锥，二结论是一个确定的值，也即结论与三棱柱具体形状无关，构造一个特殊的正三棱柱其底面积为4，高为1，则V=4，V1=13×1×（1 1×4 4）=73，V2=V-V1=4-73=53，∴V1∶V2=7∶5.
例6设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为. 分析：如果我们动态地思考这个问题，让点P无限逼近点A，则点Q必无限逼近于点C1，此时四棱锥BAPQC质变成了三棱锥BACC1，VBACC1=VC1ABC，所以四棱锥BAPQC的体积为13V.
例7如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），离心率为22.分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C，两点），且OE=EF.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求k1 k2.
分析：思路一：（1）由已知可得c=1，e=ca=22，则a=2，b=1，故椭圆方程为x22 y2=1.
（2）设直线OE：y=kx，则由OE=EF可知直线
CD与OE斜率一定存在且互为相反数，设直线CD：y=-k（x-1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x2=-x1，
联立y=kxx22 y2=1，
得（1 2k2）x2=2，x21=21 2k2，
联立y=-k（x-1）x22 y2=1，得（1 2k2）x2-4k2x 2k2-2=0，x3，4=2k2±2（k2 1）1 2k2，
故k1 k2=kx1 k（x3-1）x1-x3 kx2 k（x4-1）x2-x4
=kx1 k（x3-1）x1-x3 -kx1 k（x4-1）-x1-x4
=k[x1 （x3-1）]（x1 x4） k[x1-（x4-1）]（x1-x3）（x1-x3）（x1 x4）
=k（2x21 2x3x4-x3-x4）（x1-x3）（x1 x4）
=k（42k2 1 4k2-42k2 1-4k22k2 1）（x1-x3）（x1 x4）
=0.
思路二：观察图形，可知A，B关于原点对称，且直线AB和直线CD的倾斜角互补，将直线AB进行旋转可发现AC和BD的倾斜角也互补.
思路三：取特殊位置.当直线AB倾斜角为π4时，求得k1 k2=0，再进行一般的检验.
此题运算过程中同学们的难点一是刻画两条动弦AB，CD的时候选择的量特别多，无法消元，做不下去；二是运算过程中忙中出乱，无法坚持.若养成求解中善于挖掘题中的隐含条件：一是OE=EF隐含了直线AB，CD斜率一定存在且互为相反数；二是从图形和表达式的结构特征猜想隐含了k1，k2的和为定值，通过直觉或者特殊位置可以猜想该定值为0.这样运算的目标明确，也就不容易出错了.
小结：在处理图形类问题时，我们可以通过点或图形在特殊位置，先猜想一般结论，再对一般情形进行论证，尤其是针对定点、定值类问题，由特殊情况求得结论，再由特殊情况去猜想结论.
四、通过取特殊项，探求一般规律
对于一些数列类问题，我们要善于从特殊项入手，探求猜想一般规律，再进行检验论证.在探求中要善于观察、归纳、猜想.由于共性寓于事物的个性之中，所以对于有些较复杂的问题只要把特殊情况讨论清楚了，一般情况就容易化归为特殊情况.
例8已知等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3=45，a1 a5=18.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=Snn c（n∈N），是否存在一个非零常数c，使得数列{bn}也是等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由.
分析：（1）知an=4n-3；（2）由（1）可得Sn=2n2-n，则bn=2n2-nn c.
思路一：若存在一个非零常数c，使得数列{bn}也是等差数列，则可设bn=an b，则an b=2n2-nn c对任意n∈N恒成立，展开后利用恒成立的条件求解.
思路二：特殊化.若存在一个非零常数c，使得数列{bn}也是等差数列，则b1，b2，b3成等差数列，故2b2=b1 b3，解得c=-12，再代入bn=2n2-nn c，得bn=2n，所以数列{bn}是等差数列.
例9设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和.记bn=nSnn2 c，n∈N*，其中c为实数.
（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0.
分析：（1）an=a （n-1）d（d≠0），Sn=na n2-n2d，当c=0时，bn=Snn，
则b1=S11=a，b2=S22=a d2，b4=S44=a 3d2，由b1，b2，b4成等比数列，则b1b4=b22，
代入得a·（a 3d2）=（a d2）2，化简得d2=2ad，又d≠0，故d=2a，Sn=n2a，Snk=n2k2a，n2Sk=n2k2a，则Snk=n2Sk.
（2）由已知bn=nSnn2 c=2n2a n3d-n2d2n2 2c是等差数列，故可设bn=kn b（k，b为常数）则有（2k-d）n3 （2b d-2a）n2 2ckn 2bc=0对任意n∈N 恒成立.在此式中分别取n=1，2，3，4，则由d≠0，k≠0，得c=0，此时k=d2，b=2a-d2.再代入原式知c=0时，原等式恒成立.
小结：在解决数列类问题时，我们可以通过前面几项发现规律，再针对一般情况进行验证.
由特殊到一般的思维策略的多方面运用，不仅说明它在解决数学问题时的广泛性和重要性，更主要的是说明它应该是同学们必须掌握的一种数学思维方法.利用特值、特形解题，增强同学们的数学应用意识，在众多的信息面前，注重培养挖掘一批有用或关键信息的那种数学素养.
（作者：王小青，江苏省如皋中学）