尊重生命，尊重规律，尊重差异是绿色课堂的基本理念。如何结合数学学科的特点，在概念教学中落实绿色课堂的基本理念，结合小学数学“倍概念”知识单元的教学，笔者进行了一些研究与思考。
　　一、问题的提出
　　“倍”概念是小学数学中一个基本的概念，建立正确的“倍”概念，是解答有关“倍”的应用题的基础与关键。“倍”概念同时也是一个起始概念。这一概念的生长点是乘法的意义，下位知识是有关“倍”数的三类应用题。而除法、分数、百分数、比这些知识分散在不同的年级，这些知识都与“倍”概念有着千丝万缕的联系。
　　1.教师眼中的“倍”
　　怎样建立“倍”概念？有的教师认为用“几个几”来帮助学生建立“倍”的概念。也有教师希望在“份”的基础上建立“倍”概念。还有教师认为不管怎样去讲授，一定要让学生建立一个正确的“倍”的模型，不要见倍就乘。不同年级的教师对“倍”的认识有很大的不同。
　　2.学生眼中的“倍”
　　没学“倍”的学生对“倍”的概念很茫然。学完“倍”的学生认为倍就是乘。当问及二年级学生“倍”在解题过程中是否有用时，学生认为“有时候有用”。再追问生活中“倍”的问题时，能回答出来的学生少之又少。这就是学生眼里的“倍”，从学生话语中可以看出他们对“倍”概念的认识有所欠缺。
　　基于以上分析，笔者试图从三个方面对“倍”概念知识教学进行研究：什么是“倍”，学生对“倍”的认知水平以及关于“倍”概念的教学对策。
　　二、什么是“倍”
　　1.“倍”的定义
　　“倍”的概念实质上体现了两个量之间的比较关系，它是建立在乘法概念基础上的，是在实际教学中从“几个几”逐步抽象出来的数学概念。“倍”的概念更多地应用在解决问题方面，在解决有关倍、分数、百分数、比的实际问题时强调的是比较关系。比较的关键是确定标准，将标准量看作一个单位，通过确定比较量有几个单位或者是几分之几个单位来确定两者之间的倍比关系。在比较中“比较量”除以“标准量”等于“比率”，这是比较量和标准量的基本数量关系。围绕着这一关系还存在着两个变式，一个是“标准量”乘“比率”等于“比较量”，另一个是“比较量”除以“比率”等于“标准量”。因此，笔者认为“倍”表示的是两个数的比率，描述的是两个数量间一种比的关系。带着这样的一些思考，笔者对人教版教材进行了梳理。
　　2.教材梳理
　　（1）“倍”的认识
　　“倍”的第一次呈现是在人教版二上第六单元“表内乘法（二）”，在学生学习完7的乘法口诀后学习“倍”。
　　“倍”对学生而言是抽象的、陌生的。“倍”的第一次呈现实际上是对乘法结构的一次处理，根据2个4根、3个4根与1个4根的关系，引出“一个数的几倍”的含义。在这样的基础上去认识“倍”这个名词，去理解“倍”的意思，学生是以乘法为认识的载体，是在“几个几”的基础上理解和认识“倍”这个概念的。
　　“倍”的第二次呈现是在人教版二下学生学习了用7、8、9的乘法口诀求商后，安排了“求一个数是另一个数的几倍”的除法应用题。
　　学生学习到这里时，已经开始认识到“一个数是另一个数的几倍”的核心结构，是真正的两个数量在相互比较，即用其中的一个量作为标准，另一个量包含了几个标准量就是标准量的几倍。
　　通过对前面教材的梳理，笔者有了一种设想，在后续的学习中会出现“求一倍量”的教学。但是人教版教材在二下安排了求一个数是另一个数的几倍后，对“倍”的知识就不再研究了，教材上没有专门设计“求一倍量”的例题，只是在三年级下安排了一道练习。
　　通过梳理苏教版、西师版教材，笔者发现这两个版本的教材也没有专门设计“求一倍量”的例题。这是编写者的有意为之。那么编写者为什么这样考虑呢，是不是这部分内容学生不用学就会了？为此笔者对学生的学习状况展开了调查研究。
　　调研发现：单从解决问题的角度看，倍数关系和份总关系在结构上有很多相似之处，都是一乘两除的模型。教材中对于份总关系的研究提供的素材很多，学生在遇到求一倍量的问题时可以借助份总关系的模型以及除法的意义和倍数的三量关系来解决。就解决问题的方法来说，学生没有太大的困难。编者可能基于这个角度考虑，没有将“求一倍量”的例题编入教材。
　　但笔者认为从比较关系的角度来看，加入“求一倍量”的学习很有必要。从高年级学生的情况来看，学生进入高年级后，学习分数、百分数、比等应用问题时就存在一定困难，错误较多，主要表现在找不准比较的“标准”，因为他们没有掌握比较的方法。
　　（2）“倍”与分数、百分数、比的关系
　　“倍”概念的后续学习还有分数、百分数、比的概念，与“倍”的概念有着密切联系。
　　分数既可以表示一个具体的数，也可以表示两个数之间的关系。分数可以表示率也可以表示量。百分数与分数的区别就在于，百分数只表示两个数之间的关系，并且只表示率。在小学阶段，一般当商大于1时，习惯说被除数是除数的多少倍，而当商小于1时，习惯说被除数是除数的几分之几或百分之几。比也是两个数量之间进行比较，比的前项与后项之间存在着的关系就是倍数关系。因此，笔者认为分数、百分数、比都是对整数“倍”的扩展，其本质是“倍”的概念，所以“倍”概念的建立至关重要。
　　（3）不同版本“倍”的出现形式
　　在梳理教材的过程中笔者发现，人教、苏教两套不同版本教材中的“倍”都有四种外显的形式，可以将它称为对“倍”的认识的四种表征，即情境表征、图形表征、语言表征和算式表征。学生可以从以上四种表征入手，学习“倍”的概念。
　　3.“倍”的核心思想
　　“倍”概念实质上体现了两个量之间的比较关系，所以“比较”就是“倍”概念的核心思想。那么，什么是比较呢？通过收集查看相关的资料，可得出：比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。数学中的比较是多方面的，包括量的大小比较、结构和关系比较、数学性质比较等。在小学阶段涉及的主要是量的大小比较、结构和关系的比较。 　　比较关系从知识点的角度说可以分为这样几个层次（见图1）：首先是一年级出现的相差关系；之后是二年级开始出现的倍比关系（倍）；再往后是高年级出现的比率关系（分数、百分数、比）。
　　从比较的方法上来看，相差关系是两个量之间在“比多比少”；倍比关系是两个量之间用其中一个量作为标准，另一个量包含了几个它就是它的几倍。比较中的关键是要确定标准，其次就要把“比较量”按照“标准”去分。在高年级的比率关系中出现了比较量小于标准量的情况，这时也就出现了分率。只有当学生清楚地了解了比较的核心、比较的方法、比较的步骤时才能真正理解“倍”的概念，真正体会到比较中“标准”的价值。
　　三、学生认知情况研究
　　为了了解学生对“倍”概念的理解掌握情况，依据四种表征方式（情境表征、图形表征、语言表征、算式表征），笔者对学生进行了前期的调研与分析。
　　通过对三年级学生的前测发现：
　　首先，学生对于“倍”这一概念的认识，在四种表征形式中对算式表征的使用的正确率最高，而用图形表征的正确率最低。图形本应是最具体生动的，最能够直观体现“倍”概念的形式，那为什么这种表征的正确率却最低呢？这表明教师在平时的教学中把教学重点放在了解决问题的方法上，注重了对算式的训练，而忽视了对“倍”的本质概念的教学。
　　其次，从情境表征向其他表征转换的正确率比较高，而从其他表征返回到情境表征就比较困难了，学生的正确率较低。因此，教师要注重培养学生对多种表征方式之间的联系的理解，从多种角度认识“倍概念”，达成对“倍”的深度认知。
　　最后，从学生的错误中不难发现，多数出错的学生对于一倍数、倍数和几倍数三量的关系不是很清楚，他们不能够用正确的比较方法找出标准量和比较量，更别提用图来表示两个量之间的倍数关系。
　　综上所述，“倍”的概念对于学生来说，是一个数学中的概念、抽象的概念，“倍”概念建立的过程缺乏与学生的生活经验的联系。调研中发现，在建立“倍”的概念过程中，数量及其他客观因素影响了学生对“倍”概念的建立与理解；在现有教材的编排下建立“倍”的概念，容易使学生形成见“倍”就乘的思维定势。在学习过程中，学生对“倍”的概念的掌握不够牢固。学生建立和理解“倍”的概念，需要一个反复、持续的过程，因此对“倍”的再认识以及整个知识单元概念的建立需要常抓不懈。
　　四、思考与建议
　　根据学生的认知水平，我们该如何结合绿色课堂理念设计“倍的再认识”的课堂教学呢？
　　（1）通过对学生的前期调研与教材梳理，不难发现，学生的“会”其实不是真的“会”。学生并不是真正的对三量关系有感受，也不能正确地用图示表示三量关系。所以，从比较关系的角度对“倍”这一抽象概念进行再认识是很有必要的。
　　（2）数据分析的结果表明，在教学设计时，应该充分利用多种表征之间的转化，从多个角度帮助学生去认识“倍”，以达成他们对“倍”的深度理解。教师应该让学生理解确定“标准”的重要性，并感受到“标准”就像一把尺子，用这把尺子去衡量“比较量”，从而深刻地理解三量关系，为今后学习分数、百分数等问题奠定扎实的基础。
　　（3）结合学生生活经验巩固他们对“倍”的概念的理解。通过“倍”的再认识的教学，使学生能够掌握一定的比较方法，在解决与“倍”有关的实际问题时能够主动运用这种方法，在应用中真正感受“标准”的价值。
　　（作者单位：北京市石景山区银河小学）
　　（责任编辑：马赞 龚道娣）