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解题活动离不开观察。敏锐的观察能力能使学生抓住本质，产生联想，发现解题捷径；能启发学生辨证思考，展开创造性思维活动。因此，观察能力的培养，在教学过程中越来越引起人们的注意和重视，也成为我们在教学活动中所追求的一个重要目标。那么，在解题过程中如何培养学生的观察能力呢？
一、引导学生观察数量关系
某些命题中的某些表面上的数量关系就反映了内在结构之间的变换关系，抓住它，往往能找到解题思路。
例1：求证：sin3A·sin3A＋cos3A·cos3A＝cos32A
仔细观察等式两边的结构特征，发现左边的角为3A和A，而右边的角只有2A，根据这一特征，抓住“角不同化角”，逐步选择适当的公式，将左边化为2A的三角函数。
证明：左边＝sin3A·sinA·＋cos3A·cosA·
＝（cos3A·cosA＋sin3A·sinA）＋cos2A（cos3A·cosA－sin3A·sinA）
＝cos2A＋cos2A·cos4A
＝cos2A（1＋cos4A）
＝cos2A·2cos22A
＝cos32A
例2：a，b，c是三个连续的自然数，且a2＝17689，c2＝18225，则b2等 于（ ）
A、17991 B、18022 C、17956 D、17900
观察所给数据，可知a＜b＜c，又c2的个位数字是5，故c的个位数字也是5，从而b的个位数字是4，b2的个位数是6。故选C。
二、引导学生观察式子特征
有些数学问题，其外形特征需要我们进行全面、细致、深入的观察，展开丰富联想，并以此转化命题，这样常可出奇制胜，收到意想不到的解题效果。
例3：（1991年加拿大第7届中学生竞赛题）设x，y，z是满足x+y+z＝5，xy+yz+zx＝3的实数，试求z的最大值。
初看这道题，我们感到非常陌生，有无从下手的感觉，但通过仔细观察已知条件x＋y＋z＝5，可将其形式变化为x＋y＝2·，由此可联想到x，，y成等差数列，从而可把这个问题转化为等差数列的有关问题。再结合解方程，使问题得解。
解：由x＋y＋z＝5，可得x＋y＝2·
故x，，y成等差数列。设公差为d，则x＝－d，y＝＋d。将它们代入xy＋yz＋zx＝3中，整理得：
3z2－10z－13＝-4d2≤0
解得：-1≤z≤
又当z＝，x＝y＝时满足条件，所以zmax＝
三、引导学生观察问题能否用已知整体代入
有些题目，只需将已知和要求的问题稍作变形，就会发现已知和问题之间有个共同的“整体”，采用整体代入的方法，常可找到解题的捷径。
例4：已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝9，a4＋a5＋a6＝-3，Sn为数列{an}的前n项和，求Sn。
解：由题设条件有
a1＋a2＋a3＝9 ①
a4＋a5＋a6＝（a1＋a2＋a3）q3＝-3 ②
②÷①得
q3＝-
又由①知
a1＋a2＋a3＝＝9
即：＝
从而Sn＝＝＝
四、引导学生观察命题中是否具有隐含条件
有些命题中常含有隐蔽条件。要善于引导学生透过现象，深入观察，提高学生观察发现隐含条件的能力。
例5：方程＝|x－y－1|表示的曲线是（ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、两条直线
如果不注意深入观察，易错选B。事实上，只要观察到点（1，0）在直线x－y－1＝0上，就能发现，曲线不满足双曲线的定义。正确答案应选D。
例6：如果f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（-2）＝10，那么f（2）等于（ ）
A、-26 B、-18 C、-10 D、10
解此类题的常规思路是根据已知求出表达式中的系数a、b，从而求出f（2）。事实上，要求a、b还缺少一个条件，但仔细观察，已知f（-2）的值求f（2）似乎与奇函数有某种内在的联系，进一步观察，f（x）与奇函数F（x）＝x5＋ax3＋bx联系十分密切。
解：设F（x）＝f（x）＋8，则F（x）是奇函数，由f（x）＝F（x）－8得
f（2）＝F（2）－8＝-F（-2）－8＝-[f（-2）＋8]－8＝-f（-2）－16＝-10－16＝-26
故选A。
五、引导学生观察式子中数与形的联系
有些数学问题单从撌龜的运算方面去考虑，很难达到目的。如果能观察出相应的撔螖，则问题可以迎刃而解。
例7：已知实数x，y满足＋＝1，求u＝的取值范围。
这类问题初看起来，感到没有头绪，不知从何下手，但仔细观察，则可发现函数u＝的表达式好象是某条直线的斜率。于是，只要将其稍作变形棗u＝，再结合已知条件进一观察，就可发现上式可看成椭圆＋＝1上的动点（x，y）与定点P（0，-4）的连线的斜率，过点P引椭圆的两条切线PA、PB。切线PA的斜率是k1＝，切线的斜率是k2＝-（如图）。
故函数的值域为（-∞，-]∪[，+∞）。
通过上述讨论，我们充分看到，使学生掌握观察的方法，形成较强的观察力。对正确解题是有很大的益处的。
一、引导学生观察数量关系
某些命题中的某些表面上的数量关系就反映了内在结构之间的变换关系，抓住它，往往能找到解题思路。
例1：求证：sin3A·sin3A＋cos3A·cos3A＝cos32A
仔细观察等式两边的结构特征，发现左边的角为3A和A，而右边的角只有2A，根据这一特征，抓住“角不同化角”，逐步选择适当的公式，将左边化为2A的三角函数。
证明：左边＝sin3A·sinA·＋cos3A·cosA·
＝（cos3A·cosA＋sin3A·sinA）＋cos2A（cos3A·cosA－sin3A·sinA）
＝cos2A＋cos2A·cos4A
＝cos2A（1＋cos4A）
＝cos2A·2cos22A
＝cos32A
例2：a，b，c是三个连续的自然数，且a2＝17689，c2＝18225，则b2等 于（ ）
A、17991 B、18022 C、17956 D、17900
观察所给数据，可知a＜b＜c，又c2的个位数字是5，故c的个位数字也是5，从而b的个位数字是4，b2的个位数是6。故选C。
二、引导学生观察式子特征
有些数学问题，其外形特征需要我们进行全面、细致、深入的观察，展开丰富联想，并以此转化命题，这样常可出奇制胜，收到意想不到的解题效果。
例3：（1991年加拿大第7届中学生竞赛题）设x，y，z是满足x+y+z＝5，xy+yz+zx＝3的实数，试求z的最大值。
初看这道题，我们感到非常陌生，有无从下手的感觉，但通过仔细观察已知条件x＋y＋z＝5，可将其形式变化为x＋y＝2·，由此可联想到x，，y成等差数列，从而可把这个问题转化为等差数列的有关问题。再结合解方程，使问题得解。
解：由x＋y＋z＝5，可得x＋y＝2·
故x，，y成等差数列。设公差为d，则x＝－d，y＝＋d。将它们代入xy＋yz＋zx＝3中，整理得：
3z2－10z－13＝-4d2≤0
解得：-1≤z≤
又当z＝，x＝y＝时满足条件，所以zmax＝
三、引导学生观察问题能否用已知整体代入
有些题目，只需将已知和要求的问题稍作变形，就会发现已知和问题之间有个共同的“整体”，采用整体代入的方法，常可找到解题的捷径。
例4：已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝9，a4＋a5＋a6＝-3，Sn为数列{an}的前n项和，求Sn。
解：由题设条件有
a1＋a2＋a3＝9 ①
a4＋a5＋a6＝（a1＋a2＋a3）q3＝-3 ②
②÷①得
q3＝-
又由①知
a1＋a2＋a3＝＝9
即：＝
从而Sn＝＝＝
四、引导学生观察命题中是否具有隐含条件
有些命题中常含有隐蔽条件。要善于引导学生透过现象，深入观察，提高学生观察发现隐含条件的能力。
例5：方程＝|x－y－1|表示的曲线是（ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、两条直线
如果不注意深入观察，易错选B。事实上，只要观察到点（1，0）在直线x－y－1＝0上，就能发现，曲线不满足双曲线的定义。正确答案应选D。
例6：如果f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（-2）＝10，那么f（2）等于（ ）
A、-26 B、-18 C、-10 D、10
解此类题的常规思路是根据已知求出表达式中的系数a、b，从而求出f（2）。事实上，要求a、b还缺少一个条件，但仔细观察，已知f（-2）的值求f（2）似乎与奇函数有某种内在的联系，进一步观察，f（x）与奇函数F（x）＝x5＋ax3＋bx联系十分密切。
解：设F（x）＝f（x）＋8，则F（x）是奇函数，由f（x）＝F（x）－8得
f（2）＝F（2）－8＝-F（-2）－8＝-[f（-2）＋8]－8＝-f（-2）－16＝-10－16＝-26
故选A。
五、引导学生观察式子中数与形的联系
有些数学问题单从撌龜的运算方面去考虑，很难达到目的。如果能观察出相应的撔螖，则问题可以迎刃而解。
例7：已知实数x，y满足＋＝1，求u＝的取值范围。
这类问题初看起来，感到没有头绪，不知从何下手，但仔细观察，则可发现函数u＝的表达式好象是某条直线的斜率。于是，只要将其稍作变形棗u＝，再结合已知条件进一观察，就可发现上式可看成椭圆＋＝1上的动点（x，y）与定点P（0，-4）的连线的斜率，过点P引椭圆的两条切线PA、PB。切线PA的斜率是k1＝，切线的斜率是k2＝-（如图）。
故函数的值域为（-∞，-]∪[，+∞）。
通过上述讨论，我们充分看到，使学生掌握观察的方法，形成较强的观察力。对正确解题是有很大的益处的。