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摘 要：植树问题包括在不封闭的路线上植树和在封闭的路线上植树，前者是指植树的路线是一条线段；后者是指植树的路线是一条首尾相连的封闭曲线，利用画线段图的方法找出解题的规律，总结出解题的数量关系，根据不同的情况，归纳了六种不同的植树问题的数量关系，利用发现的规律去解决现实生活中较复杂的植树问题。将“复杂问题简单化”，渗透复杂问题从简单入手的思想，学生经过画线段图的方法，形成“数形结合”的教学方法，培养学生解决实际问题的能力。
关键词：间隔数；株距；总距离；棵数；数量关系；基本公式；数形结合；封闭曲线；两端栽；一端栽；中间栽。
小学数学课程标准中提出，教学应把教学重点放在探索和建立数学模型上，注意数学教学方法的培养，使学生掌握了行之有效的学习方法，应用了这种学习方法在解决实际问题时，让学生在解决这些问题的过程中，能主动尝试从数学的角度应用所学知识和方法寻找解决问题的策略，从而培养了学生解决实际问题的实践经验和能力，能归纳总结出解决数学问题的规律，及其它的数量关系。特别是《植树问题》这节内容较抽象，较切合实际，更要注重于实践，所以，教师在这方面应该怎样去引导学生寻找解决问题的方法呢？
本人经过多年的教学经验总结，要想让学生把握好植树问题的解决方法，无非是采取猜想、实验、推理等数学的探索过程，特别是画线段图进行植树问题的教学，通过画线段图帮助学生理出解题的数量关系，激发了学生对数学产生好奇心和求知欲，学生从思想上有想把植树问题学懂的思想准备。同时，能增强学生学习数学的兴趣。
但在偏远落后的农村小学，多数留守儿童都是跟爷爷、奶奶、外公、外婆等亲戚居住，这些年逾古稀的老人精力有限，自己还要别人照顾，特别是少数民族地区的老人，汉话都不懂多少，无法辅导学生的学习情况，学生的基础较差，难以理解植树问题的教学。教师要想使学生学懂植树问题这节的内容，一是要使学生投入到四十分钟的课堂上来，二是授课的教师要采取行之有效的教学方法进行教学，否则是“天方夜谭”“天马行空”，现就《植树问题》的教学做出肤浅的阐述：
对于这个问题的教学，本人觉得用画线段图的方法较适合农村小学的学生，能直观帮助学生理解植树问题的数学模型，如：公共汽车站、架设电线杆、敲钟问题、设置饮水点、锯木头、上楼层等问题，可以引导学生借助线段图进行分析，在直观理解的基础上知道了它们的数量关系，利用这个关系解答实际问题。《植树问题》可以归纳成“两端都栽”、“两端都不栽”、“一端栽另一端不栽”三个方面进行教学。
一、在一条线段上植树（两端都栽）的问题
如：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵？
分析：在小路的一边植树（两端都栽），这样的问题是在一条线段上的两端都植树的问题，如果不画线段图，学生会得到错误的结论，100÷5=20（棵） ，针对这个结论，以20米为例教学验证，画出线段图 帮助思考，通过观察两端都栽的线段图，把分割点和栽树的棵树一一对应起来，教师引导学生理解以下几个名词：
“间隔数”是指树与树之间相隔的个数，即段数；“总距离”是指要栽树的路的总长度；“株距”是指一棵树与另一棵树间的距离；“棵数”是指这条路所要栽树的总棵数。知道这些概念之后，请不同程度的学生上来数一数，知道“总距离”是20米；“株距”是5米；“棵数”是5棵；“间隔数”是4段。从而得出数量关系：
间隔数=总距离÷株距，棵数=间隔数+1.
经过这样的观察和尝试，验证了棵数=总距离÷株距的错误结论的道理。从而得出了本题的正确结论应是100÷5+1=21（棵）
二、在一条线段上植树（两端都不栽）的问题
例如：两棵大树之间相距20米，王叔叔计划在两棵大树之间均匀补栽树，相邻两棵树之间的距离是5米，一共要栽多少棵树？
根据题目中给出的条件，只栽中间，两端不栽。要求学生画出线段图，实物图中是30米两棵树之间栽树 虚线图 仍然由两种不同程度的学生上来数一数两个图形，鼓励学生用自己的方法探索这种情况的规律。图1中5棵树对应6个间隔；图2中有3棵树对应 4个间隔，从而发现当两端都不栽树时的解题思路：
总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数-1.
然后利用发现的规律解决例题的问题，30÷5-1=5（棵）；20÷5-1=3（棵）这样，让学生在知识的迁移和转化中学习解决问题的方法，并且利用这种数量关系去解决日常生活中的实际问题。
三、在一条首尾相连的封闭曲线上植树问题
这类问题是“一端栽另一端不栽”的植树问题，如，一个圆形花坛，周长是40米，每5米之间摆一盆兰花，一个要摆多少盆兰花？
此题是在圆形花坛周围栽树，属于在封闭路线上植树的问题，根据题目的内容画出线段图，理清棵数与间隔数之间的关系，如图， 全班学生数一数，图中有8盆花，8个间隔数，总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数。所以，本题的问题解答是：
40÷5=8（盆）。“一端栽另一端不栽”的植树问题与封闭曲线的植树问题相似，所用的数量关系也相同。
综合上述，植树问题包括在不封闭的路线上植树和在封闭的路线上植树，前者是指植树的路线是一条线段；后者是指植树的路线是一条首尾相连的封闭曲线，如正方形、长方形、圆等，利用画线段图的方法找出解题的规律，利用发现的规律去解决如同某班学生进行站方阵训练，要求这个方阵中有多少学生参加等较复杂的植树问题。归纳如下：
1、在一条线段上植树（两端都要栽）的解题方法：
基本公式：间隔数=总距离÷株距，棵数=间隔数+1.
2、在一条线段上植树（两端都不栽）的解题方法：
基本公式：总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数-1.
3、在一条首尾相连的封闭曲线上（包括一端栽树另一端不栽）的植树问题的解题方法：
基本公式：总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数。
4、方形植树的解题方法：
基本公式：棵树=总距离÷株距-4
5、三角形植树的解题方法：
基本公式：棵树=总距离÷株距-3
6、面积植树问题的解题方法：
基本方法：棵树=面积÷（株距×行距）
在现实生活中，类似“植树问题”的情况还很多，唯一的解决的办法就是找准题目中的已知条件，辨认出谁是“间隔数、株距、棵数和总距离”，再利用植树问题中归纳出的六种情况“对症下药”。选用其中的其一良方，药到病自然除了。
总之，教学植树问题时，应从实际问题入手，引导学生在分析和思考问题的过程中，得到解题的数量关系，牢记这些数量关系，逐步发现隐含于不同的情形中的規律。利用这些规律解决实际生活中的植树问题，渗透复杂问题从简单入手的思想，在“复杂问题简单化”的解题过程同时，学生经过画线段图的方法，即使用了“数形结合”的教学方法，植树中棵数和间隔数之间的关系便迎刃而解，且容易理解。这样，经历了抽取出数学模型的过程，体验数学的思想方法在解决实际问题中的应用，从而提高学生学习数学的兴趣，产生共鸣，增强学生学好数学的信心，使学生养成良好的学习习惯，培养学生具有初步的创新意识，增强了学生分析和解决问题的能力。
参考文献
[1]教材解析和教师用书。
（作者单位：贵州省晴隆县光照镇规模小学）
关键词：间隔数；株距；总距离；棵数；数量关系；基本公式；数形结合；封闭曲线；两端栽；一端栽；中间栽。
小学数学课程标准中提出，教学应把教学重点放在探索和建立数学模型上，注意数学教学方法的培养，使学生掌握了行之有效的学习方法，应用了这种学习方法在解决实际问题时，让学生在解决这些问题的过程中，能主动尝试从数学的角度应用所学知识和方法寻找解决问题的策略，从而培养了学生解决实际问题的实践经验和能力，能归纳总结出解决数学问题的规律，及其它的数量关系。特别是《植树问题》这节内容较抽象，较切合实际，更要注重于实践，所以，教师在这方面应该怎样去引导学生寻找解决问题的方法呢？
本人经过多年的教学经验总结，要想让学生把握好植树问题的解决方法，无非是采取猜想、实验、推理等数学的探索过程，特别是画线段图进行植树问题的教学，通过画线段图帮助学生理出解题的数量关系，激发了学生对数学产生好奇心和求知欲，学生从思想上有想把植树问题学懂的思想准备。同时，能增强学生学习数学的兴趣。
但在偏远落后的农村小学，多数留守儿童都是跟爷爷、奶奶、外公、外婆等亲戚居住，这些年逾古稀的老人精力有限，自己还要别人照顾，特别是少数民族地区的老人，汉话都不懂多少，无法辅导学生的学习情况，学生的基础较差，难以理解植树问题的教学。教师要想使学生学懂植树问题这节的内容，一是要使学生投入到四十分钟的课堂上来，二是授课的教师要采取行之有效的教学方法进行教学，否则是“天方夜谭”“天马行空”，现就《植树问题》的教学做出肤浅的阐述：
对于这个问题的教学，本人觉得用画线段图的方法较适合农村小学的学生，能直观帮助学生理解植树问题的数学模型，如：公共汽车站、架设电线杆、敲钟问题、设置饮水点、锯木头、上楼层等问题，可以引导学生借助线段图进行分析，在直观理解的基础上知道了它们的数量关系，利用这个关系解答实际问题。《植树问题》可以归纳成“两端都栽”、“两端都不栽”、“一端栽另一端不栽”三个方面进行教学。
一、在一条线段上植树（两端都栽）的问题
如：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵？
分析：在小路的一边植树（两端都栽），这样的问题是在一条线段上的两端都植树的问题，如果不画线段图，学生会得到错误的结论，100÷5=20（棵） ，针对这个结论，以20米为例教学验证，画出线段图 帮助思考，通过观察两端都栽的线段图，把分割点和栽树的棵树一一对应起来，教师引导学生理解以下几个名词：
“间隔数”是指树与树之间相隔的个数，即段数；“总距离”是指要栽树的路的总长度；“株距”是指一棵树与另一棵树间的距离；“棵数”是指这条路所要栽树的总棵数。知道这些概念之后，请不同程度的学生上来数一数，知道“总距离”是20米；“株距”是5米；“棵数”是5棵；“间隔数”是4段。从而得出数量关系：
间隔数=总距离÷株距，棵数=间隔数+1.
经过这样的观察和尝试，验证了棵数=总距离÷株距的错误结论的道理。从而得出了本题的正确结论应是100÷5+1=21（棵）
二、在一条线段上植树（两端都不栽）的问题
例如：两棵大树之间相距20米，王叔叔计划在两棵大树之间均匀补栽树，相邻两棵树之间的距离是5米，一共要栽多少棵树？
根据题目中给出的条件，只栽中间，两端不栽。要求学生画出线段图，实物图中是30米两棵树之间栽树 虚线图 仍然由两种不同程度的学生上来数一数两个图形，鼓励学生用自己的方法探索这种情况的规律。图1中5棵树对应6个间隔；图2中有3棵树对应 4个间隔，从而发现当两端都不栽树时的解题思路：
总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数-1.
然后利用发现的规律解决例题的问题，30÷5-1=5（棵）；20÷5-1=3（棵）这样，让学生在知识的迁移和转化中学习解决问题的方法，并且利用这种数量关系去解决日常生活中的实际问题。
三、在一条首尾相连的封闭曲线上植树问题
这类问题是“一端栽另一端不栽”的植树问题，如，一个圆形花坛，周长是40米，每5米之间摆一盆兰花，一个要摆多少盆兰花？
此题是在圆形花坛周围栽树，属于在封闭路线上植树的问题，根据题目的内容画出线段图，理清棵数与间隔数之间的关系，如图， 全班学生数一数，图中有8盆花，8个间隔数，总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数。所以，本题的问题解答是：
40÷5=8（盆）。“一端栽另一端不栽”的植树问题与封闭曲线的植树问题相似，所用的数量关系也相同。
综合上述，植树问题包括在不封闭的路线上植树和在封闭的路线上植树，前者是指植树的路线是一条线段；后者是指植树的路线是一条首尾相连的封闭曲线，如正方形、长方形、圆等，利用画线段图的方法找出解题的规律，利用发现的规律去解决如同某班学生进行站方阵训练，要求这个方阵中有多少学生参加等较复杂的植树问题。归纳如下：
1、在一条线段上植树（两端都要栽）的解题方法：
基本公式：间隔数=总距离÷株距，棵数=间隔数+1.
2、在一条线段上植树（两端都不栽）的解题方法：
基本公式：总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数-1.
3、在一条首尾相连的封闭曲线上（包括一端栽树另一端不栽）的植树问题的解题方法：
基本公式：总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数。
4、方形植树的解题方法：
基本公式：棵树=总距离÷株距-4
5、三角形植树的解题方法：
基本公式：棵树=总距离÷株距-3
6、面积植树问题的解题方法：
基本方法：棵树=面积÷（株距×行距）
在现实生活中，类似“植树问题”的情况还很多，唯一的解决的办法就是找准题目中的已知条件，辨认出谁是“间隔数、株距、棵数和总距离”，再利用植树问题中归纳出的六种情况“对症下药”。选用其中的其一良方，药到病自然除了。
总之，教学植树问题时，应从实际问题入手，引导学生在分析和思考问题的过程中，得到解题的数量关系，牢记这些数量关系，逐步发现隐含于不同的情形中的規律。利用这些规律解决实际生活中的植树问题，渗透复杂问题从简单入手的思想，在“复杂问题简单化”的解题过程同时，学生经过画线段图的方法，即使用了“数形结合”的教学方法，植树中棵数和间隔数之间的关系便迎刃而解，且容易理解。这样，经历了抽取出数学模型的过程，体验数学的思想方法在解决实际问题中的应用，从而提高学生学习数学的兴趣，产生共鸣，增强学生学好数学的信心，使学生养成良好的学习习惯，培养学生具有初步的创新意识，增强了学生分析和解决问题的能力。
参考文献
[1]教材解析和教师用书。
（作者单位：贵州省晴隆县光照镇规模小学）