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函数解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立联系的桥梁。在高中数学中有求函数解析式的一类题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性。 现就求解方法例析如下：
一、拼凑法
已知f［g（x）］的解析式，要求f（x）时，可从f［g（x）］的解析式中拼凑出“g（x）”，即用g（x）来表示，再将解析式的两边的g（x）用x代替的方法叫做拼凑法。
例1：已知f（1+）=-3，求f（x）。
分析：∵f（1+）＝-3=（1++）-1--3=（1+）-（1+）-2，（1+≠1）
∴f（x）=x-2x-2（x≠1）。
例2：已知f（-1）=x+2，求f（x）。
分析：∵f（-1）=（-1）+4（-1）+3，而-1≥-1，
∴f（x）=x+4x+3（x≥-1）。
二、换元法
对于已知f［g（x）］的表达式，求f（x）的解析式这类问题，总可以令t=g（x），解出x=φ（t），代入f［g（x）］的表达式，推导出f（t）的解析式，最后将t改写成x得到f（x）的解析式，这种方法即为换元法。
如上例2，还可以如下解：
令t=-1，则t≥-1，且=t+1，
f（t）=（t+1）+2（t+1）=t+4t+3，
故所求函数f（x）=x+4x+3（x≥-1）。
例3：设f（cosx-1）=cosx，求f（x）。
分析：令t=cosx-1，
∴cosx=t+1。
又-1≤cosx≤1，
∴-2≤cosx-1≤0，
即-2≤t≤0。
∴f（t）=（t+1）（-2≤cosx-1≤0），即f（x）=（x+1），x∈［-2，0］。
注：对以上两种方法，在求完解析式后，要注意函数的准确定义域，这是容易忽略的。
三、 定义法
结合函数的结构特征，即利用其对应法则得出解析式。
例4：设f［f（x）］=，求f（x）。
分析：∵f［f（x）］===，
观察其结构特征，
∴f（x）=。
例5：设f（cosx）=cos17x，求f（sinx）。
分析：利用对应法则有f（sinx）=f［cos（-x）］=cos17（-x）
=cos（8π+-17x）=cos（-17x）=sin17x。
四、待定系数法
已知f（x）的函数类型，要求f（x）的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数的方法。
例6：已知函数f（x）是一次函数，且f［f（x）］=4x+3，求f（x）。
分析：依题意可设f（x）=ax+b（a≠0），
则f［f（x）］=a（ax+b）+b=ax+ab+b=4x+3
∴a=4ab+b=3?圯a=2b=1或a=-2b=-3，
∴函数为f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3。
例7：已知f（x-2）=2x-9x+13，求f（x）。
分析：观察条件易知f（x）是一个一元二次函数。
设f（x）=ax+bx+c（a≠0），
则f（x-2）=a（x-2）+b（x-2）+c=ax+（b-4a）x+（4a-2b+c）。
又f（x-2）=2x-9x+13，
比较系数得：a=2b-4a=-94a-2b+c=13，
解得：a=2b=-1c=3，
∴f（x）=2x-x+3。
注：我们学过的函数还有正比例函数y=kx，反比例函数y=（k≠0），以及指数函数y=a，对数函数y=logx，幂函数y=x等，我们都要相应学会应用。
五、解方程组法
一般而言，若条件中同时出现f［φ（x）］与f［ψ（x）］，这里ψ（x）=或ψ（x）=φ（x），可先用换元法，令t=φ（x），解得x=φ（x），再用或-t代替x，得到f（t）和f（）或f（-t）为元的方程组，消去f（）或f（-t），解出f（t）的解析式，最后将t改写成x得到f（x）的解析式，这种方法即为解方程组法。
例8：已知f（x）-2f（）=3x+2，求f（x）。
分析：令t=，则x=，f（）-2f（t）=3+2，
即f（）-2f（x）=+2。
与原式联立，得f（x）-2f（）=3x+2f（）-2f（x）=+2?圯f（x）=-x--2。
故所求函数f（x）=-x--2。
例9：已知2f（x）+f（-x）=3x+2，求f（x）。
分析：2f（x）+f（-x）=3x+2…………（1）
2f（-x）+f（x）=-3x+2…………（2）
由（1），（2）可解得：f（x）=3x+。
六、赋值法（亦称特殊值法）
一般而言，若已知条件是一个含有n个变量的等式，且该等式对变量允许范围内的任何值都成立，则可考虑适当取一些特殊的数值，使等式变得简易或能够用上其他已知条件，并结合换元法，从而求出函数解析式，这种方法即为特殊值法。使用该方法的关键是能够有针对性地、巧妙地选取若干特殊值，从而达到解题的目的。
例10：设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对于任意实数x，y，有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）。
分析：由f（0）=1，f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）。
设x=y，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1），即f（x）=x+x+1。
七、叠加法
例11：若f（1）=lg，且当x≥2时，满足f（x-1）=f（x）-lga（a＞0，x∈N），求f（x）。
分析：∵f（x）=f（x-1）+lga（a＞0，x∈N）
递推得：f（x-1）=f（x-2）+lga
f（x-2）=f（x-3）+lga
…
f（3）=f（2）+lga
f（2）=f（1）+lga
以上（x-1）个等式两边分别相加，
f（x）=f（1）+lga+lga+…+lga+lga
=f（1）+lga
=lg+lga
=lga
=［-1］lga
以上介绍的是几种常见的求解函数解析式的方法，其中有些解法是相互联系的。一个题目可能需要运用多种以上的方法才能获解，因此，我们要多锻炼综合应用所掌握的方法，准确解决相关问题的能力，只有这样，才能做到“对症下药”，使问题迎刃而解。
参考文献：
［1］犁兴平.抽象函数的几种常见解法.
一、拼凑法
已知f［g（x）］的解析式，要求f（x）时，可从f［g（x）］的解析式中拼凑出“g（x）”，即用g（x）来表示，再将解析式的两边的g（x）用x代替的方法叫做拼凑法。
例1：已知f（1+）=-3，求f（x）。
分析：∵f（1+）＝-3=（1++）-1--3=（1+）-（1+）-2，（1+≠1）
∴f（x）=x-2x-2（x≠1）。
例2：已知f（-1）=x+2，求f（x）。
分析：∵f（-1）=（-1）+4（-1）+3，而-1≥-1，
∴f（x）=x+4x+3（x≥-1）。
二、换元法
对于已知f［g（x）］的表达式，求f（x）的解析式这类问题，总可以令t=g（x），解出x=φ（t），代入f［g（x）］的表达式，推导出f（t）的解析式，最后将t改写成x得到f（x）的解析式，这种方法即为换元法。
如上例2，还可以如下解：
令t=-1，则t≥-1，且=t+1，
f（t）=（t+1）+2（t+1）=t+4t+3，
故所求函数f（x）=x+4x+3（x≥-1）。
例3：设f（cosx-1）=cosx，求f（x）。
分析：令t=cosx-1，
∴cosx=t+1。
又-1≤cosx≤1，
∴-2≤cosx-1≤0，
即-2≤t≤0。
∴f（t）=（t+1）（-2≤cosx-1≤0），即f（x）=（x+1），x∈［-2，0］。
注：对以上两种方法，在求完解析式后，要注意函数的准确定义域，这是容易忽略的。
三、 定义法
结合函数的结构特征，即利用其对应法则得出解析式。
例4：设f［f（x）］=，求f（x）。
分析：∵f［f（x）］===，
观察其结构特征，
∴f（x）=。
例5：设f（cosx）=cos17x，求f（sinx）。
分析：利用对应法则有f（sinx）=f［cos（-x）］=cos17（-x）
=cos（8π+-17x）=cos（-17x）=sin17x。
四、待定系数法
已知f（x）的函数类型，要求f（x）的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数的方法。
例6：已知函数f（x）是一次函数，且f［f（x）］=4x+3，求f（x）。
分析：依题意可设f（x）=ax+b（a≠0），
则f［f（x）］=a（ax+b）+b=ax+ab+b=4x+3
∴a=4ab+b=3?圯a=2b=1或a=-2b=-3，
∴函数为f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3。
例7：已知f（x-2）=2x-9x+13，求f（x）。
分析：观察条件易知f（x）是一个一元二次函数。
设f（x）=ax+bx+c（a≠0），
则f（x-2）=a（x-2）+b（x-2）+c=ax+（b-4a）x+（4a-2b+c）。
又f（x-2）=2x-9x+13，
比较系数得：a=2b-4a=-94a-2b+c=13，
解得：a=2b=-1c=3，
∴f（x）=2x-x+3。
注：我们学过的函数还有正比例函数y=kx，反比例函数y=（k≠0），以及指数函数y=a，对数函数y=logx，幂函数y=x等，我们都要相应学会应用。
五、解方程组法
一般而言，若条件中同时出现f［φ（x）］与f［ψ（x）］，这里ψ（x）=或ψ（x）=φ（x），可先用换元法，令t=φ（x），解得x=φ（x），再用或-t代替x，得到f（t）和f（）或f（-t）为元的方程组，消去f（）或f（-t），解出f（t）的解析式，最后将t改写成x得到f（x）的解析式，这种方法即为解方程组法。
例8：已知f（x）-2f（）=3x+2，求f（x）。
分析：令t=，则x=，f（）-2f（t）=3+2，
即f（）-2f（x）=+2。
与原式联立，得f（x）-2f（）=3x+2f（）-2f（x）=+2?圯f（x）=-x--2。
故所求函数f（x）=-x--2。
例9：已知2f（x）+f（-x）=3x+2，求f（x）。
分析：2f（x）+f（-x）=3x+2…………（1）
2f（-x）+f（x）=-3x+2…………（2）
由（1），（2）可解得：f（x）=3x+。
六、赋值法（亦称特殊值法）
一般而言，若已知条件是一个含有n个变量的等式，且该等式对变量允许范围内的任何值都成立，则可考虑适当取一些特殊的数值，使等式变得简易或能够用上其他已知条件，并结合换元法，从而求出函数解析式，这种方法即为特殊值法。使用该方法的关键是能够有针对性地、巧妙地选取若干特殊值，从而达到解题的目的。
例10：设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对于任意实数x，y，有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）。
分析：由f（0）=1，f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）。
设x=y，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1），即f（x）=x+x+1。
七、叠加法
例11：若f（1）=lg，且当x≥2时，满足f（x-1）=f（x）-lga（a＞0，x∈N），求f（x）。
分析：∵f（x）=f（x-1）+lga（a＞0，x∈N）
递推得：f（x-1）=f（x-2）+lga
f（x-2）=f（x-3）+lga
…
f（3）=f（2）+lga
f（2）=f（1）+lga
以上（x-1）个等式两边分别相加，
f（x）=f（1）+lga+lga+…+lga+lga
=f（1）+lga
=lg+lga
=lga
=［-1］lga
以上介绍的是几种常见的求解函数解析式的方法，其中有些解法是相互联系的。一个题目可能需要运用多种以上的方法才能获解，因此，我们要多锻炼综合应用所掌握的方法，准确解决相关问题的能力，只有这样，才能做到“对症下药”，使问题迎刃而解。
参考文献：
［1］犁兴平.抽象函数的几种常见解法.