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美国数学教育学家杜宾斯基在对皮亚杰关于数学学习过程中个体思维的“自反现象”理论进行拓展的基础上建立APOS理论。该理论指出学习数学概念的过程要经历活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Schema）等四个阶段。我校数学科课题组在APOS理论指导下，以 “数与代数”的概念教学课例研究为切入点，围绕“操作—过程—对象—图式”四个阶段探寻APOS理论指导下概念教学的教学策略与方法。
一、操作感知，以形助数
APOS理论当中的活动阶段相当于对概念属性的具体操作、观察，呈现数学概念的具体实例阶段。要让学生亲身体验，感受直观背景与概念之间的关系，因而提供的感性材料要符合学生的认知基础和规律，设计操作活动的最终目的是指向概念内在本质的特点。借助 “几何直观”初步感知概念，起到以形助数的作用。如小数的初步认识，呈现以学生熟悉的日常事物和活动为场景，借助具体的量（米、分米、厘米、元、角、分）和几何直观图（面积、数尺、数轴），动手分一分、涂一涂，从图形中提取图形所反映的信息，直观地感悟到小数与十进分数之间的关系，初步认识小数。
二、多元表征，思维内化
操作活动的目的是启动学生思考，过程阶段是对操作进行思考，思维经历了内化和压缩过程，在头脑中对活动不断重复地进行描述、反思，初步抽象出概念特有的性质。对于一个重要概念的体会，不断重复任何单一的表示对于发展学生的数学素养是不够的，而且概念的建立单纯依赖语言、符号的抽象描述恐怕不能达到预期的效果。有学者认为，要获得概念真正意义上的理解，就要灵活地实现动作、现实情境、表象、口头语言、符号等5种表征方式之间的转化，促进概念的内化。
三、问中思辨，深入本质
数学课堂应该让学生有思辨的能力，透过不同的例证，从不同的角度切入到同一个问题，运用所学的知识和经验解释、分析、评估、推论、说明……从而透视知识的本质。这要求教师在四个阶段结合学生认知冲突点、理解的关键处和易错易混处提出富有挑战性、启发性、探索性、层次性进行的问题，这些问题的解决需要学生整合、分析已有的知识经验，需要学生创造性地进行思考，作出判断或评价。
如教学五年级上册《用字母表示数（一）》结合具体情境安排了三次思辨：第一次是在同一事件中，两位不确定年龄的老师到底用怎样的字母表示呢？在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的数，而且之间存在不确定的比较关系；第二次是首次尝试了用字母表示数过渡到用字母式表示数，进行一次用字母式表示与用字母表示的思辨。体会两者之间的区别，字母式既可表示数量，又可以表示数量间的关系，因此，在同一事件中两个数若有联系，尽量用字母式表示比较方便；第三次是变换表示方式，重复多次根据两人之间的年龄关系式写出对应的字母式，并对同一人不同的表达年龄字母式进行思辨，促使学生更灵活地理解函数思想和对应思想视角下的用字母式表示数的本质。三次思辨问题情境，層层递进修正学生的思考误区，加深学生对用字母表示数的本质进一步提炼和理解。
四、比中整合，归纳提升
对象阶段，教师引导学生对概念的属性进行整合提炼出概念的本质属性，从而得到概念的定义及符号表示。根据概念的形成规律，必须从大量的具体例子出发，观察比较中归纳概括出一类事物的共同本质属性。因此教学中提供丰富的能充分显示被引入概念的特征性质的例证（正例），正确引导学生去进行观察分析、横向比较，这样才能使学生从例证中排除非本质属性，归纳和概括出共同的本质属性，从而形成概念。
概念建构基本完成后，教师要及时组织活动引导学生对概念定义中的关键词语辨析，明晰概念的内涵和外延。图式阶段，有意呈现对比练习，能进一步巩固概念的理解，同时提升思维的视角。如《小数的性质》巩固提升环节，设计填空题“在数轴上的同一个点填写对应的2个小数”，思考：0.1和0.10有什么相同和不同的地方？1和1.00呢？借助“数轴”这一直观模型，数形结合，学生容易比较得出小数的大小相同，小数部分的位数不同，一个是一位小数，一个是两位小数，意义不同，0.1表示1个十分之一，0.10表示10个百分之一。接着追问： 1还可以用什么小数表示？再次直观感受小数性质的本质，渗透“变”与“不变”的辩证思想，提升学生认知和思维的空间。
五、丰富意义，形成网络
APOS理论主张数学概念与它的背景知识联系起来，完善学生对概念的全面认识。这对我们的概念教学有重要的启示，学完一类概念后，要进行知识串联，把新概念纳入某一部分的系统中去理解。这样不仅使概念得到了巩固，也有利于知识的迁移和应用。如教学二年级上册《乘法的初步认识》，在“拓展深化，沟通联系”这一环节，我设计了一组对比题组（如下图），用图形表征的形式引导学生直观感受加法、减法、乘法概念之间的联系与区别。而且三种运算方法的对比呈现有利于学生在头脑中建立起知识的网络，有利于更好地形成概念的图式，图式还需要在后继学习中不断完善、强化和稳固。
有些概念意义的丰富性是随着年级而不断增加的，教师不仅要重视学生第一次接触此时意义的教学，还应关注随后意义的不断扩展。如分数的意义学习经历显性的两个阶段，在第二阶段教学中，教师要有意识地引导学生整理分数的多维度意义：整体的等分；两个数相除的商；两个数的比。数学知识总是一环扣紧一环形成知识链条的，理清概念后，揭示概念之间的联系，最终形成综合的心理图式。学生利用图式理解和记忆概念，比孤立理解单个概念，效果更理想，所学的概念要归纳整理才能系统巩固。
APOS理论应用于概念教学，充分体现“做中学，做中思，做中悟”的原则，更能反映学生认知数学概念的思维过程。在教学中，教师通过观察四个阶段的学生学习状态，及时调整教学策略和方法，促使学生真正地理解概念。
责任编辑 罗 峰
一、操作感知，以形助数
APOS理论当中的活动阶段相当于对概念属性的具体操作、观察，呈现数学概念的具体实例阶段。要让学生亲身体验，感受直观背景与概念之间的关系，因而提供的感性材料要符合学生的认知基础和规律，设计操作活动的最终目的是指向概念内在本质的特点。借助 “几何直观”初步感知概念，起到以形助数的作用。如小数的初步认识，呈现以学生熟悉的日常事物和活动为场景，借助具体的量（米、分米、厘米、元、角、分）和几何直观图（面积、数尺、数轴），动手分一分、涂一涂，从图形中提取图形所反映的信息，直观地感悟到小数与十进分数之间的关系，初步认识小数。
二、多元表征，思维内化
操作活动的目的是启动学生思考，过程阶段是对操作进行思考，思维经历了内化和压缩过程，在头脑中对活动不断重复地进行描述、反思，初步抽象出概念特有的性质。对于一个重要概念的体会，不断重复任何单一的表示对于发展学生的数学素养是不够的，而且概念的建立单纯依赖语言、符号的抽象描述恐怕不能达到预期的效果。有学者认为，要获得概念真正意义上的理解，就要灵活地实现动作、现实情境、表象、口头语言、符号等5种表征方式之间的转化，促进概念的内化。
三、问中思辨，深入本质
数学课堂应该让学生有思辨的能力，透过不同的例证，从不同的角度切入到同一个问题，运用所学的知识和经验解释、分析、评估、推论、说明……从而透视知识的本质。这要求教师在四个阶段结合学生认知冲突点、理解的关键处和易错易混处提出富有挑战性、启发性、探索性、层次性进行的问题，这些问题的解决需要学生整合、分析已有的知识经验，需要学生创造性地进行思考，作出判断或评价。
如教学五年级上册《用字母表示数（一）》结合具体情境安排了三次思辨：第一次是在同一事件中，两位不确定年龄的老师到底用怎样的字母表示呢？在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的数，而且之间存在不确定的比较关系；第二次是首次尝试了用字母表示数过渡到用字母式表示数，进行一次用字母式表示与用字母表示的思辨。体会两者之间的区别，字母式既可表示数量，又可以表示数量间的关系，因此，在同一事件中两个数若有联系，尽量用字母式表示比较方便；第三次是变换表示方式，重复多次根据两人之间的年龄关系式写出对应的字母式，并对同一人不同的表达年龄字母式进行思辨，促使学生更灵活地理解函数思想和对应思想视角下的用字母式表示数的本质。三次思辨问题情境，層层递进修正学生的思考误区，加深学生对用字母表示数的本质进一步提炼和理解。
四、比中整合，归纳提升
对象阶段，教师引导学生对概念的属性进行整合提炼出概念的本质属性，从而得到概念的定义及符号表示。根据概念的形成规律，必须从大量的具体例子出发，观察比较中归纳概括出一类事物的共同本质属性。因此教学中提供丰富的能充分显示被引入概念的特征性质的例证（正例），正确引导学生去进行观察分析、横向比较，这样才能使学生从例证中排除非本质属性，归纳和概括出共同的本质属性，从而形成概念。
概念建构基本完成后，教师要及时组织活动引导学生对概念定义中的关键词语辨析，明晰概念的内涵和外延。图式阶段，有意呈现对比练习，能进一步巩固概念的理解，同时提升思维的视角。如《小数的性质》巩固提升环节，设计填空题“在数轴上的同一个点填写对应的2个小数”，思考：0.1和0.10有什么相同和不同的地方？1和1.00呢？借助“数轴”这一直观模型，数形结合，学生容易比较得出小数的大小相同，小数部分的位数不同，一个是一位小数，一个是两位小数，意义不同，0.1表示1个十分之一，0.10表示10个百分之一。接着追问： 1还可以用什么小数表示？再次直观感受小数性质的本质，渗透“变”与“不变”的辩证思想，提升学生认知和思维的空间。
五、丰富意义，形成网络
APOS理论主张数学概念与它的背景知识联系起来，完善学生对概念的全面认识。这对我们的概念教学有重要的启示，学完一类概念后，要进行知识串联，把新概念纳入某一部分的系统中去理解。这样不仅使概念得到了巩固，也有利于知识的迁移和应用。如教学二年级上册《乘法的初步认识》，在“拓展深化，沟通联系”这一环节，我设计了一组对比题组（如下图），用图形表征的形式引导学生直观感受加法、减法、乘法概念之间的联系与区别。而且三种运算方法的对比呈现有利于学生在头脑中建立起知识的网络，有利于更好地形成概念的图式，图式还需要在后继学习中不断完善、强化和稳固。
有些概念意义的丰富性是随着年级而不断增加的，教师不仅要重视学生第一次接触此时意义的教学，还应关注随后意义的不断扩展。如分数的意义学习经历显性的两个阶段，在第二阶段教学中，教师要有意识地引导学生整理分数的多维度意义：整体的等分；两个数相除的商；两个数的比。数学知识总是一环扣紧一环形成知识链条的，理清概念后，揭示概念之间的联系，最终形成综合的心理图式。学生利用图式理解和记忆概念，比孤立理解单个概念，效果更理想，所学的概念要归纳整理才能系统巩固。
APOS理论应用于概念教学，充分体现“做中学，做中思，做中悟”的原则，更能反映学生认知数学概念的思维过程。在教学中，教师通过观察四个阶段的学生学习状态，及时调整教学策略和方法，促使学生真正地理解概念。
责任编辑 罗 峰