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平面直角坐标系是数形结合的典范,是初中数学的重要考点.考查的知识点丰富,特别是动点坐标在中考中频频亮相.现就动点坐标这一知识点精选几例中考题,析解如下,供同学们借鉴:
例1 如图1，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始，依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，再跳到点N关于C的对称点处……如此下去.
（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：_____________.
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离.
分析:根据中心对称的知识,在坐标系中容易作出点P依次关于点A、B、C的对称点,从而点M、N的坐标可得;由作图可知,点N关于点C的对称点就是点P,即棋子每经过3次跳动后又回到了点P处.由于2008=669×3+1 ,即棋子经过2007次跳动后又落到了点P处,第2008次跳动后落在点M处,由点P、M在坐标系中的位置容易求得点M与点P的距离.
解：（1）点M、N的位置如图2所示,这时M（2,0）、N（4，4）.
（2）点N关于点C的对称点为点P，即棋子每跳动3次后又回到点P处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M处，∴PM==2 .
答：经过第2008次跳动后，棋子落点与P点的距离为 2 .
点评:本例主要考查了中心对称、点的坐标及其规律. 要充分利用坐标系进行解题.在坐标系中分别画出P点依次关于点A、B、C作循环对称跳动对称点,关键是得出对称点的规律:每跳动3次后回到P处，从而推出棋子经过2007次跳动后落到了点P处,第2008次跳动后落在点M处，由点P、M在坐标系中的位置,容易求得点M与点P的距离.
例2如图3，已知A（8，0）、B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
分析:（1）若在开始运动t 秒时，△OPQ的面积最大，这时OQ= t ,BP = 2t,则OP = 6-2t. 从而S△OPQ= （6-2t）t，由二次函数的极值不难求得△OPQ的最大面积;
（2）P、Q两点之间的距离最小,即点P、Q重合,也就是两点到点O的距离相等.注意到这时点P在OA上运动,则OA= 2t-6，OQ =t,由2t-6= t ,求得t 的值，从而点P、Q的坐标可得.
（3）在点P、Q的运动过程中, PQ平行于△OAB一边，则PQ既可能与AB平行，也可能与OB平行,还可能与OA平行,故必须按情况分类讨论.
解:（1）设开始运动t秒时, △OPQ的面积最大，这时S△OPQ= （6-2t）t =-t2+3t（0＜t＜3）.
当t =时, △OPQ的面积最大,为 （平方单位）.
（2）设经过 t秒时，点P追上点Q（即P、Q重合）,由2t-6 =t得t=6,即经过6秒钟时, P、Q重合,距离为0， 此时点P、Q的坐标均为（6，0）.
（3）①当0 ②当3 ③当7 ④当8＜t ≤12时，点P、Q均在线段AB上由点A向点B运动.
⑤当12 点评:本题是一道双动点动态题，是近年中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对获取信息和处理信息的能力要求较高.解题时须用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.同时本例题又着重考查了分类讨论思想.分类讨论思想是中学数学中的一种重要的数学思想,在解题过程中须根据图形可能出现的各种情况,逐一加以研究,严防因思维定式而造成漏解.
例3如图7,已知在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3）、B（4，-1）.
（1）若P（p，0）是 x轴上的一个动点,则当P= ____时,△PAB的周长最短;
（2）若C（a ,0）、D（a+3，0）是x 轴上的两个动点,则当 a=____时,四边形ABDC的周长最短.
分析:作点B关于x 轴的对称点B′,连AB′,线段AB′与x 轴的交点即为所求的点P.
理由:设M是 x轴上异于点P的任意一点,连PB，MA，MB，MB′,则AM+MB=AM+MB′>AB′=AP+PB′=AP+BP.同理,作点B关于x 轴的对称点B′,当AC∥B′D时，AC+B′D最短;
作点B关于x 轴的对称点B′，点A关于x 轴的对称点A′;连A′B′，与x 轴、y 轴的交点就是所求的点M、N.
解 ：（1）如图8，作点B关于x 轴的对称点B′，连AB′，线段AB′与x 轴的交点即为所求的点P.点B的坐标为（4，-1），则点B′的坐标为（4，1）.
设过点A、B′的直线的解析式为y=kx+b ,则方程-3=2k+b与方程1=4k+b联立，解得 k=2，b=-7，即直线AB′的解析式为y=2x-7 .令 y=0,得x=, 即当 P=时, △PAB的周长最短;
（2）点C、D在x 轴上的位置如图9所示，作点B关于x 轴的对称点B′，当AC∥B′D时，AC+B′D最短,点C的坐标为（a，0）,点A的坐标为（2，-3）,设过点A、C的直线的解析式为y=kx+b,则方程0=ak+b与方程-3=2k+b联立，解得k=,同理可得直线B′D所对应的 k=-因为AC∥B′D，所以 =-,解得 a= .
当 a=,即点C（ ，0）、点D（ ，0 ）时, 四边形ABDC的周长最短.
练兵场：
1.（2008年 泰安市考题）如图10，将边长为1的正三角形 沿 x轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点 P1、P2、P3、…、P2008的位置，则点P2008的横坐标为__________．
2.（2006 年绍兴市考题）如图11,将边长为1的正方形OAPB沿 x轴正方向连续翻转2006次,点P依次落在点P1、P2、P3、P4、…、P2006的位置,则P2006的横坐标x 2006 =________.
3.（2005 年济宁市考题）如图12,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…….
已知A（1，3）、A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8,3）;B（2，0）、B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）.观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形顶点A5的坐标是_______,B5的坐标是_______.
答案:
1.2008.
提示:由题意得: P1点的横坐标为1; P2点的横坐标不变,也为1；P3点的横坐标为2.5；P4点的横坐标为4；以后每旋转一周（即翻转3次）,点P的横坐标就增加3,当连续翻转2008次时,点P2008的横坐标为×3+1=2008.
2.2005.
提示:通过观察图形的变化,可以发现每旋转四次为一个循环,点P的横坐标增加4个单位,连续翻转2006次时，点P的横坐标增加 ×4+1=2008个单位，而点P的横坐标为-1，所以P2006的横坐标x2006 为2005.
3. A5的坐标是（32，3）；B5 的坐标是（64，0）.
提示：A1、A2、A3 ……B1 、B2 、B3 …… 这些点的坐标有一定规律:第一,只有横坐标在变,纵坐标不变;第二,等腰三角形顶点的坐标可总结为为An （2n，3），底边右顶点的坐标可总结为Bn（2n+1 ,0），故A5 的坐标是（25 ，3）即（32，3）;B5 的坐标是（26 ，0） ,即（64，0）.
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例1 如图1，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始，依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，再跳到点N关于C的对称点处……如此下去.
（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：_____________.
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离.
分析:根据中心对称的知识,在坐标系中容易作出点P依次关于点A、B、C的对称点,从而点M、N的坐标可得;由作图可知,点N关于点C的对称点就是点P,即棋子每经过3次跳动后又回到了点P处.由于2008=669×3+1 ,即棋子经过2007次跳动后又落到了点P处,第2008次跳动后落在点M处,由点P、M在坐标系中的位置容易求得点M与点P的距离.
解：（1）点M、N的位置如图2所示,这时M（2,0）、N（4，4）.
（2）点N关于点C的对称点为点P，即棋子每跳动3次后又回到点P处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M处，∴PM==2 .
答：经过第2008次跳动后，棋子落点与P点的距离为 2 .
点评:本例主要考查了中心对称、点的坐标及其规律. 要充分利用坐标系进行解题.在坐标系中分别画出P点依次关于点A、B、C作循环对称跳动对称点,关键是得出对称点的规律:每跳动3次后回到P处，从而推出棋子经过2007次跳动后落到了点P处,第2008次跳动后落在点M处，由点P、M在坐标系中的位置,容易求得点M与点P的距离.
例2如图3，已知A（8，0）、B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
分析:（1）若在开始运动t 秒时，△OPQ的面积最大，这时OQ= t ,BP = 2t,则OP = 6-2t. 从而S△OPQ= （6-2t）t，由二次函数的极值不难求得△OPQ的最大面积;
（2）P、Q两点之间的距离最小,即点P、Q重合,也就是两点到点O的距离相等.注意到这时点P在OA上运动,则OA= 2t-6，OQ =t,由2t-6= t ,求得t 的值，从而点P、Q的坐标可得.
（3）在点P、Q的运动过程中, PQ平行于△OAB一边，则PQ既可能与AB平行，也可能与OB平行,还可能与OA平行,故必须按情况分类讨论.
解:（1）设开始运动t秒时, △OPQ的面积最大，这时S△OPQ= （6-2t）t =-t2+3t（0＜t＜3）.
当t =时, △OPQ的面积最大,为 （平方单位）.
（2）设经过 t秒时，点P追上点Q（即P、Q重合）,由2t-6 =t得t=6,即经过6秒钟时, P、Q重合,距离为0， 此时点P、Q的坐标均为（6，0）.
（3）①当0
⑤当12
例3如图7,已知在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3）、B（4，-1）.
（1）若P（p，0）是 x轴上的一个动点,则当P= ____时,△PAB的周长最短;
（2）若C（a ,0）、D（a+3，0）是x 轴上的两个动点,则当 a=____时,四边形ABDC的周长最短.
分析:作点B关于x 轴的对称点B′,连AB′,线段AB′与x 轴的交点即为所求的点P.
理由:设M是 x轴上异于点P的任意一点,连PB，MA，MB，MB′,则AM+MB=AM+MB′>AB′=AP+PB′=AP+BP.同理,作点B关于x 轴的对称点B′,当AC∥B′D时，AC+B′D最短;
作点B关于x 轴的对称点B′，点A关于x 轴的对称点A′;连A′B′，与x 轴、y 轴的交点就是所求的点M、N.
解 ：（1）如图8，作点B关于x 轴的对称点B′，连AB′，线段AB′与x 轴的交点即为所求的点P.点B的坐标为（4，-1），则点B′的坐标为（4，1）.
设过点A、B′的直线的解析式为y=kx+b ,则方程-3=2k+b与方程1=4k+b联立，解得 k=2，b=-7，即直线AB′的解析式为y=2x-7 .令 y=0,得x=, 即当 P=时, △PAB的周长最短;
（2）点C、D在x 轴上的位置如图9所示，作点B关于x 轴的对称点B′，当AC∥B′D时，AC+B′D最短,点C的坐标为（a，0）,点A的坐标为（2，-3）,设过点A、C的直线的解析式为y=kx+b,则方程0=ak+b与方程-3=2k+b联立，解得k=,同理可得直线B′D所对应的 k=-因为AC∥B′D，所以 =-,解得 a= .
当 a=,即点C（ ，0）、点D（ ，0 ）时, 四边形ABDC的周长最短.
练兵场：
1.（2008年 泰安市考题）如图10，将边长为1的正三角形 沿 x轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点 P1、P2、P3、…、P2008的位置，则点P2008的横坐标为__________．
2.（2006 年绍兴市考题）如图11,将边长为1的正方形OAPB沿 x轴正方向连续翻转2006次,点P依次落在点P1、P2、P3、P4、…、P2006的位置,则P2006的横坐标x 2006 =________.
3.（2005 年济宁市考题）如图12,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…….
已知A（1，3）、A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8,3）;B（2，0）、B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）.观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形顶点A5的坐标是_______,B5的坐标是_______.
答案:
1.2008.
提示:由题意得: P1点的横坐标为1; P2点的横坐标不变,也为1；P3点的横坐标为2.5；P4点的横坐标为4；以后每旋转一周（即翻转3次）,点P的横坐标就增加3,当连续翻转2008次时,点P2008的横坐标为×3+1=2008.
2.2005.
提示:通过观察图形的变化,可以发现每旋转四次为一个循环,点P的横坐标增加4个单位,连续翻转2006次时，点P的横坐标增加 ×4+1=2008个单位，而点P的横坐标为-1，所以P2006的横坐标x2006 为2005.
3. A5的坐标是（32，3）；B5 的坐标是（64，0）.
提示：A1、A2、A3 ……B1 、B2 、B3 …… 这些点的坐标有一定规律:第一,只有横坐标在变,纵坐标不变;第二,等腰三角形顶点的坐标可总结为为An （2n，3），底边右顶点的坐标可总结为Bn（2n+1 ,0），故A5 的坐标是（25 ，3）即（32，3）;B5 的坐标是（26 ，0） ,即（64，0）.
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