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【摘要】无痕教育的基本内涵是让学生感觉不到在受教育，是顺其自然的一种教育方式，是一种理想的教育境界。实施无痕教育有四种基本策略，潜移默化中理解是策略之二。要做到课堂教学在潜移默化中理解，可以通过直观操作、对比分析、变式举例和板书提炼等几种方法实现。
【关键词】无痕教育 课堂策略 潜移默化 理解
无痕教育的基本要义是隐藏教育意图，遵循教育规律，通过间接方式，使得受教育者在不留痕迹中得到更好的教育和发展。正如大教育家苏霍姆林斯基所说：“任何一种教育现象，孩子在其中越少感觉到教育者的意图，它的教育效果就越大。”无痕教育不仅是一种教育思想，也是一种教育方法。从理念思想到操作方法，需要策略的支撑。我们认为无痕教育的课堂实施有四种基本策略：不知不觉中开始，潜移默化中理解，循序渐进中掌握，春风化雨中提升。本文以案例的方式解读第二种基本策略。
在教育心理学界一直流传着一句口号“为理解而教”，笔者甚为认同。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在附录中专门列出了描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”。其中，“理解”是指描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。一般说来，理解有三级水平：低级水平是知觉辨认，即“是什么”;中级水平是意义本质，即“怎么样”;高级水平是系统结构，即“为什么”。虽然“理解”是一种结果性目标，具有显性特征，但是“理解”又是一种内隐的心理活动，很难具体把握。因此，要让学生真正理解，需要教师精心选择学习素材，灵活设计学习过程，恰当选择教学方法，让学生在潜移默化中理解知识，发展思維，感悟思想，形成素养。无痕教育理念观照下的课堂实践策略——潜移默化中理解，具体有如下四种方法：
一、在直观操作中感知
苏霍姆林斯基曾经说过：“孩子的智慧在他的手指尖。”小学生的年龄特征启示我们，活泼、好动、天真、爱玩是其显著表现;小学生的思维发展规律告诉我们，具体形象思维是主要特征，低年级更需要动作思维，而高年级逐步过渡到逻辑思维。因此，为了帮助学生更好地理解知识，应该更多地让学生开展实验、操作、尝试等活动，让学生在直观操作中学习数学，调动多种感官功能，进而进行观察、分析、抽象、概括，有效地理解概念、方法和规则，促进数学技能的形成。
【教学片段1】认识乘法
引入新课后，首先组织学生观察例题图（如图1）。提问：要知道图上有几只兔和几只鸡，你有什么办法？
预设学生回答：数兔时，是2个2个数的，因为它们是2只2只地站在一起的;数鸡时，是3个3个数的，它们都是3只3只地围在一起的。
教师板书：
提问：这两道加法有什么相同的地方？
（都是几个几相加）
接着让学生动手摆小棒：先摆出4个2，再摆出2个4。
然后让学生画圆片：先画出3个5，再画出5个3。
最后让学生拍手游戏：先拍手表示3个3，再拍手表示2个5。
乘法概念的建立首先需要理解“几个几”，因为“几个几”是乘法的物化形态。而要让学生理解“几个几”这一抽象知识则需要充分的直观操作，让学生的数学思维在指尖上跳跃。以上学习过程，从直观的观察出发，进而让学生操作小棒、画圆片图、拍手游戏，让学生对奇妙的数学现象用眼看、用耳听、用手做、用脑想，调动他们的多种感官参与数学学习，从而使得学生的数学学习有趣、有效、有意义，真正让学生对“几个几”的数学现象熟记于心、操作于行，学会从“几个几”的角度去观察生活中特殊的数学现象，进而为深入理解乘法的意义打下坚实的基础。这也顺应了儿童的思维特征，正如乌申斯基所说：“一般说来，儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。”
【教学片段2】画线段图解决问题
（课件逐步动态渐变显示，教师针对性提问）
你能说出图2中红花的朵数是蓝花的几倍吗？为什么？
如果用两种颜色的正方形分别表示蓝花和红花，可以看清数量之间的关系吗？
如果把这些小正方形靠近并拼接在一起，你还能看清倍数关系吗？
如果把带子的宽度变窄一些，长度不变，你还能看清倍数关系吗？
如果把带子再变一变，这就成了什么图形？（线段图）
第一条线段表示什么？第二条线段表示什么？
揭题：看来，用线段图可以表示数量之间的关系，线段图是学习数学的重要帮手。今天这节课我们就一起来学习画线段图解决问题。
弗赖登塔尔曾经指出，数学学习是一个再创造的过程。在这一过程中，学生知识经验的获得、个性特点的发展和教学能力的形成，都来自学生在教学活动中的积极参与，而参与程度却与学生对数学学习是否感兴趣有着密切的联系。为此，从生活现象中抽取结构化的数学学习素材，让学生带着对未知的探索，经历数学学习的发现之旅，才能激发学生的深度学习，让学生潜移默化地形成对新知的理解。线段图对于三年级学生来说是比较抽象的，要让学生在复习旧知和直观感知中逐步了解线段图的来源和含义。上述教学过程中，通过“超级变变变”的直观游戏，让学生逐步理解线段图的意义。课始，设计了红花和蓝花之间的倍数关系实物图，接着过渡到正方形图，然后渐变为条形图，再改变宽度不改变长度，进而抽象为线段图。这样的设计，符合儿童的认知规律，展现了直观到抽象的发展过程，使学生对线段图的产生和意义有了本源性认识，为接下来画图和分析数量关系做好铺垫。
二、在对比分析中过渡
对比是一种重要的教学思想。俗话说，没有对比就没有鉴别。在对比中可以厘清数学知识的内在要素，可以区分不同方法的差异，可以促进儿童思维从初级阶段向高级阶段过渡。教师在设计教学过程时，应特别注重让学生经历知识的形成过程，暴露学生的思维过程，理解数学实质和思想方法，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系，完成从知识向能力的转化。 【教学片段3】一位数乘两位数
提问：如图3，两只猴子一共采了多少个桃子？怎样列式解答呢？（列出乘法算式14×2）
（1）动手实践，自主探索算法。（略）
（2）展示计算过程，形成初步竖式。
（3）对比分析，过渡到简化竖式。
组织学生继续运用初步竖式计算13×2，11×7，32×3。（指名三个学生板书）
师（提问）：这些算式有什么共同的地方？
生1：第一次乘的得数都是一位数。
生2：第二次乘的得数都是整十数。
生3：在加的时候个位都是加0，得数十位上的数也是一样的，写了两次。
师（提问）：像这样写竖式你有什么感觉和建议？
生1：感觉有点烦！
生2：一个数加0得数不变，可以不用加。
生3：得数十位完全可以只写一次。
生4：把第二次算的得数直接写在上面得数十位上。
生5：下面那条横线也可不画。
师：是呀！这样就可以变得简便了。
（学生和原先板书的学生修正竖式，例题也相应转变成简便写法）
乘法竖式的算理和算法是本节课的重点，也是学生理解的难点。教师利用主题图，帮助学生直观形象地领悟了竖式的算理之后，首先让学生在直观的基础上来理解算理，学生很容易就能掌握竖式的“初步”形式。而简便竖式的教学也不是教师强加给学生的，是在师生的共同计算、观察、比较的基础上自然生成的。教师在教学完乘法竖式的计算步骤之后，并没有立刻把算法进行简化，而是引导学生继续用这种方法做题，促使学生自己亲身体验后发现：“初步”竖式虽然清楚，但“有点烦”。通过这一引导，“把竖式进行简化”这一想法呼之欲出，成了全体学生的追求方向，水到渠成地“创造”出了更简便的竖式写法。在这里，过程是学生亲身经历的，方法是大家在充分研究的基础上生成的，充分发挥了学生的主观能动性，把主导和主体有机地结合在一起，给了学生足够的探讨空间去体验、去创造、去领悟，充分地相信学生的能力，尊重学生的感悟，达到了真正理解的目的。
三、在变式举例中内化
变式是通过变更对象的非本质特征而突出对象的本质特征的表现形式。中国的数学双基教学具有四个方面的经验：记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性，重复依靠变式。郑毓信教授曾经指出，数学教师有三项基本功：善于举例、善于提问、善于优化。因此，在学生理解知识的关键时候，教师需要从教材呈现的素材例子出发，通过变式举例，让学生在变化中寻找不变，在不变中内化认知，在提问中达到思维优化。
【教学片段4】认识倍
（学习例题，学生初步认识倍的含义之后进行两次变式）
1.第一次变式。（例题是2朵蓝花与8朵红花）
如果蓝花2朵，红花变成10朵，红花朵数是蓝花的几倍？（10÷2=5）
如果蓝花的朵数不变，红花变成12朵呢？（12÷2=6）
如果蓝花2朵，红花变成4朵，红花朵数是蓝花的几倍？（4÷2=2）
如果蓝花朵数不变，红花有2朵呢？（2÷2=1）
（通过“1倍”这一特例，让学生理解此时即两种花同样多）
2.第二次变式。（在例题2朵蓝花与6朵黄花的基础上）
如果蓝花变成3朵，依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
如果蓝花变成4朵，依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
如果蓝花变成1朵，依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
3.归纳小结。
逐步让学生理解：“把一个数量看作一份，另一个数量有这样的几份，就是它的几倍。”
变式是为了寻找不变。对概念含义的理解除了需要模仿与重复，还需要变式训练。上述教学片段设计了两次变式：第一次变式，蓝花不变，红花從8朵变为10朵、12朵、4朵、2朵等，通过改变份数，让学生熟练掌握用除法计算倍数的方法;第二次变式，倍数不变，改变一份的数量（从 2朵变为3朵、4朵、1朵等），从而几份的数量相应改变，让学生理解倍的本质含义。在变式训练中，还专门设计了“1倍”这一特例，回到两个数量比较的出发点——同样多，把“倍比”与“差比”进行了沟通与关联，培养学生思维的完整性。归纳小结则帮助学生对知识的理解从具体逐步转为抽象，把倍的概念与“几个几”以及“份数”关系进行了沟通，促进学生认知结构的形成。
四、在板书提炼中建构
板书是教师智慧的结晶，更是课堂教学的线索，是学生理解知识的脚手架。“好的板书可以突出新授知识的组织结构，可以弥补学生从听觉渠道接收信息的缺陷，如短时记忆容量的限制。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“教学建议”中也特别指出：“必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。”因此，有经验的教师总会精心设计板书，通过板书的形成过程引领学生回顾与反思，总结学习过程与经验，提炼数学思想方法，形成数学能力和素养。
【教学片段5】解决问题的策略：列表
教师结合学生整理的信息逐步板书（图4左图）：
提问：为什么选择把小明的情况列到表里面？ （小明的信息比较齐全）
追问：要求小军买了多少本，你能选择有关的条件填表、列算式吗？（板书图4右图）
提问：这两个表有什么共同的地方？这两个表格也可以合并起来。（板书变成图5）
提问：如果去掉表格线，甚至去掉姓名，你还能看清数量之间的关系吗？（板书变化成图6）观察这个箭头图，你发现什么在变化？什么没有变化？
要让学生真正理解策略内涵并形成策略意识，需要让学生经历策略的形成过程并体验策略的独特价值。上述板书的逐步结构化，不仅使学生了解列表的内在需要和基本方法，而且通过表格的合并和简化感受列表策略的价值。前两个表格的合并，本来各有两行，但合并后因为都有小明的信息，因此只需要三行，使学生体验到列表整理信息的简洁和有序;然后去掉表格线和姓名，使得表格进一步简化，凸显了列表策略对于数量关系分析的作用，发展了一一对应的数学思想。
【关键词】无痕教育 课堂策略 潜移默化 理解
无痕教育的基本要义是隐藏教育意图，遵循教育规律，通过间接方式，使得受教育者在不留痕迹中得到更好的教育和发展。正如大教育家苏霍姆林斯基所说：“任何一种教育现象，孩子在其中越少感觉到教育者的意图，它的教育效果就越大。”无痕教育不仅是一种教育思想，也是一种教育方法。从理念思想到操作方法，需要策略的支撑。我们认为无痕教育的课堂实施有四种基本策略：不知不觉中开始，潜移默化中理解，循序渐进中掌握，春风化雨中提升。本文以案例的方式解读第二种基本策略。
在教育心理学界一直流传着一句口号“为理解而教”，笔者甚为认同。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在附录中专门列出了描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”。其中，“理解”是指描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。一般说来，理解有三级水平：低级水平是知觉辨认，即“是什么”;中级水平是意义本质，即“怎么样”;高级水平是系统结构，即“为什么”。虽然“理解”是一种结果性目标，具有显性特征，但是“理解”又是一种内隐的心理活动，很难具体把握。因此，要让学生真正理解，需要教师精心选择学习素材，灵活设计学习过程，恰当选择教学方法，让学生在潜移默化中理解知识，发展思維，感悟思想，形成素养。无痕教育理念观照下的课堂实践策略——潜移默化中理解，具体有如下四种方法：
一、在直观操作中感知
苏霍姆林斯基曾经说过：“孩子的智慧在他的手指尖。”小学生的年龄特征启示我们，活泼、好动、天真、爱玩是其显著表现;小学生的思维发展规律告诉我们，具体形象思维是主要特征，低年级更需要动作思维，而高年级逐步过渡到逻辑思维。因此，为了帮助学生更好地理解知识，应该更多地让学生开展实验、操作、尝试等活动，让学生在直观操作中学习数学，调动多种感官功能，进而进行观察、分析、抽象、概括，有效地理解概念、方法和规则，促进数学技能的形成。
【教学片段1】认识乘法
引入新课后，首先组织学生观察例题图（如图1）。提问：要知道图上有几只兔和几只鸡，你有什么办法？
预设学生回答：数兔时，是2个2个数的，因为它们是2只2只地站在一起的;数鸡时，是3个3个数的，它们都是3只3只地围在一起的。
教师板书：
提问：这两道加法有什么相同的地方？
（都是几个几相加）
接着让学生动手摆小棒：先摆出4个2，再摆出2个4。
然后让学生画圆片：先画出3个5，再画出5个3。
最后让学生拍手游戏：先拍手表示3个3，再拍手表示2个5。
乘法概念的建立首先需要理解“几个几”，因为“几个几”是乘法的物化形态。而要让学生理解“几个几”这一抽象知识则需要充分的直观操作，让学生的数学思维在指尖上跳跃。以上学习过程，从直观的观察出发，进而让学生操作小棒、画圆片图、拍手游戏，让学生对奇妙的数学现象用眼看、用耳听、用手做、用脑想，调动他们的多种感官参与数学学习，从而使得学生的数学学习有趣、有效、有意义，真正让学生对“几个几”的数学现象熟记于心、操作于行，学会从“几个几”的角度去观察生活中特殊的数学现象，进而为深入理解乘法的意义打下坚实的基础。这也顺应了儿童的思维特征，正如乌申斯基所说：“一般说来，儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。”
【教学片段2】画线段图解决问题
（课件逐步动态渐变显示，教师针对性提问）
你能说出图2中红花的朵数是蓝花的几倍吗？为什么？
如果用两种颜色的正方形分别表示蓝花和红花，可以看清数量之间的关系吗？
如果把这些小正方形靠近并拼接在一起，你还能看清倍数关系吗？
如果把带子的宽度变窄一些，长度不变，你还能看清倍数关系吗？
如果把带子再变一变，这就成了什么图形？（线段图）
第一条线段表示什么？第二条线段表示什么？
揭题：看来，用线段图可以表示数量之间的关系，线段图是学习数学的重要帮手。今天这节课我们就一起来学习画线段图解决问题。
弗赖登塔尔曾经指出，数学学习是一个再创造的过程。在这一过程中，学生知识经验的获得、个性特点的发展和教学能力的形成，都来自学生在教学活动中的积极参与，而参与程度却与学生对数学学习是否感兴趣有着密切的联系。为此，从生活现象中抽取结构化的数学学习素材，让学生带着对未知的探索，经历数学学习的发现之旅，才能激发学生的深度学习，让学生潜移默化地形成对新知的理解。线段图对于三年级学生来说是比较抽象的，要让学生在复习旧知和直观感知中逐步了解线段图的来源和含义。上述教学过程中，通过“超级变变变”的直观游戏，让学生逐步理解线段图的意义。课始，设计了红花和蓝花之间的倍数关系实物图，接着过渡到正方形图，然后渐变为条形图，再改变宽度不改变长度，进而抽象为线段图。这样的设计，符合儿童的认知规律，展现了直观到抽象的发展过程，使学生对线段图的产生和意义有了本源性认识，为接下来画图和分析数量关系做好铺垫。
二、在对比分析中过渡
对比是一种重要的教学思想。俗话说，没有对比就没有鉴别。在对比中可以厘清数学知识的内在要素，可以区分不同方法的差异，可以促进儿童思维从初级阶段向高级阶段过渡。教师在设计教学过程时，应特别注重让学生经历知识的形成过程，暴露学生的思维过程，理解数学实质和思想方法，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系，完成从知识向能力的转化。 【教学片段3】一位数乘两位数
提问：如图3，两只猴子一共采了多少个桃子？怎样列式解答呢？（列出乘法算式14×2）
（1）动手实践，自主探索算法。（略）
（2）展示计算过程，形成初步竖式。
（3）对比分析，过渡到简化竖式。
组织学生继续运用初步竖式计算13×2，11×7，32×3。（指名三个学生板书）
师（提问）：这些算式有什么共同的地方？
生1：第一次乘的得数都是一位数。
生2：第二次乘的得数都是整十数。
生3：在加的时候个位都是加0，得数十位上的数也是一样的，写了两次。
师（提问）：像这样写竖式你有什么感觉和建议？
生1：感觉有点烦！
生2：一个数加0得数不变，可以不用加。
生3：得数十位完全可以只写一次。
生4：把第二次算的得数直接写在上面得数十位上。
生5：下面那条横线也可不画。
师：是呀！这样就可以变得简便了。
（学生和原先板书的学生修正竖式，例题也相应转变成简便写法）
乘法竖式的算理和算法是本节课的重点，也是学生理解的难点。教师利用主题图，帮助学生直观形象地领悟了竖式的算理之后，首先让学生在直观的基础上来理解算理，学生很容易就能掌握竖式的“初步”形式。而简便竖式的教学也不是教师强加给学生的，是在师生的共同计算、观察、比较的基础上自然生成的。教师在教学完乘法竖式的计算步骤之后，并没有立刻把算法进行简化，而是引导学生继续用这种方法做题，促使学生自己亲身体验后发现：“初步”竖式虽然清楚，但“有点烦”。通过这一引导，“把竖式进行简化”这一想法呼之欲出，成了全体学生的追求方向，水到渠成地“创造”出了更简便的竖式写法。在这里，过程是学生亲身经历的，方法是大家在充分研究的基础上生成的，充分发挥了学生的主观能动性，把主导和主体有机地结合在一起，给了学生足够的探讨空间去体验、去创造、去领悟，充分地相信学生的能力，尊重学生的感悟，达到了真正理解的目的。
三、在变式举例中内化
变式是通过变更对象的非本质特征而突出对象的本质特征的表现形式。中国的数学双基教学具有四个方面的经验：记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性，重复依靠变式。郑毓信教授曾经指出，数学教师有三项基本功：善于举例、善于提问、善于优化。因此，在学生理解知识的关键时候，教师需要从教材呈现的素材例子出发，通过变式举例，让学生在变化中寻找不变，在不变中内化认知，在提问中达到思维优化。
【教学片段4】认识倍
（学习例题，学生初步认识倍的含义之后进行两次变式）
1.第一次变式。（例题是2朵蓝花与8朵红花）
如果蓝花2朵，红花变成10朵，红花朵数是蓝花的几倍？（10÷2=5）
如果蓝花的朵数不变，红花变成12朵呢？（12÷2=6）
如果蓝花2朵，红花变成4朵，红花朵数是蓝花的几倍？（4÷2=2）
如果蓝花朵数不变，红花有2朵呢？（2÷2=1）
（通过“1倍”这一特例，让学生理解此时即两种花同样多）
2.第二次变式。（在例题2朵蓝花与6朵黄花的基础上）
如果蓝花变成3朵，依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
如果蓝花变成4朵，依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
如果蓝花变成1朵，依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
3.归纳小结。
逐步让学生理解：“把一个数量看作一份，另一个数量有这样的几份，就是它的几倍。”
变式是为了寻找不变。对概念含义的理解除了需要模仿与重复，还需要变式训练。上述教学片段设计了两次变式：第一次变式，蓝花不变，红花從8朵变为10朵、12朵、4朵、2朵等，通过改变份数，让学生熟练掌握用除法计算倍数的方法;第二次变式，倍数不变，改变一份的数量（从 2朵变为3朵、4朵、1朵等），从而几份的数量相应改变，让学生理解倍的本质含义。在变式训练中，还专门设计了“1倍”这一特例，回到两个数量比较的出发点——同样多，把“倍比”与“差比”进行了沟通与关联，培养学生思维的完整性。归纳小结则帮助学生对知识的理解从具体逐步转为抽象，把倍的概念与“几个几”以及“份数”关系进行了沟通，促进学生认知结构的形成。
四、在板书提炼中建构
板书是教师智慧的结晶，更是课堂教学的线索，是学生理解知识的脚手架。“好的板书可以突出新授知识的组织结构，可以弥补学生从听觉渠道接收信息的缺陷，如短时记忆容量的限制。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“教学建议”中也特别指出：“必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。”因此，有经验的教师总会精心设计板书，通过板书的形成过程引领学生回顾与反思，总结学习过程与经验，提炼数学思想方法，形成数学能力和素养。
【教学片段5】解决问题的策略：列表
教师结合学生整理的信息逐步板书（图4左图）：
提问：为什么选择把小明的情况列到表里面？ （小明的信息比较齐全）
追问：要求小军买了多少本，你能选择有关的条件填表、列算式吗？（板书图4右图）
提问：这两个表有什么共同的地方？这两个表格也可以合并起来。（板书变成图5）
提问：如果去掉表格线，甚至去掉姓名，你还能看清数量之间的关系吗？（板书变化成图6）观察这个箭头图，你发现什么在变化？什么没有变化？
要让学生真正理解策略内涵并形成策略意识，需要让学生经历策略的形成过程并体验策略的独特价值。上述板书的逐步结构化，不仅使学生了解列表的内在需要和基本方法，而且通过表格的合并和简化感受列表策略的价值。前两个表格的合并，本来各有两行，但合并后因为都有小明的信息，因此只需要三行，使学生体验到列表整理信息的简洁和有序;然后去掉表格线和姓名，使得表格进一步简化，凸显了列表策略对于数量关系分析的作用，发展了一一对应的数学思想。