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数列是高中数学的重要内容，也是中学数学联系实际的主要渠道之一。数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切。数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项的各种方法和技巧在中学数学中都有着十分重要的地位，因此，围绕数列可命制综合性较强的试题。历年来，数列一直是高考的重点和热点，有时甚至还是难点。
每年高考与数列内容有关的试题，既有一条单纯关于数列内容的填空题，又有一条数列的综合题与实际应用题。在填空题中，主要考查等差、等比数列的概念和性质，重点是通项公式与前n项和的公式的灵活运用，突出了“小、巧、活”的特点。解答题属于中、高难度题，主要考查运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力。
类型一 等差数列前n项和的最值问题，具有丰富的知识背景和价值，问题的探索过程中，将涉及到函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法
【例1】 已知等差数列{an}的首项不为零，前n项的和记作Sn，且S9=S23，当a1>0时，n= 时，Sn有最 值.
分析 数列可以看成是定义域为正整数集或是其子集的一种特殊的函数，因此可将前n项的和Sn的最值问题转化为研究函数的最值问题，故建立函数Sn是解决本问题的关键所在。
解法一 由S9=S23，结合等差数列前n项和公式得9a1+36d=23a1+23×11d，所以2a1+31d=0，因为a1>0，故d<0.从基本量入手，以n为未知数，建立二元函数Sn，并研究其最值：Sn=-312nd+12n（n-1）d=d2（n-16）2-128d，由于d<0，所以Sn有最大值，当且仅当n=16时取到最大值.
点拨 本题的实质是用函数的观点分析、解决有关数列问题。通过相应的函数及其图象的特征变动地、直观地认识数列的性质。
由于等差数列是单调数列，所以其前n项和Sn的最值可以转化为研究项an符号的变化规律来求Sn的最大值，即转化为累加{an}中的所有非负项，从下标入手，合理搭配。
解法二 由于S9=S23，利用一般数列前n项和定义知：
a1+a2+a3+…+a9=a1+a2+a3+…+a23，得到a10+a11+…+a23=0，故a10+a23=0，又a16+a17=a10+a23，所以a16+a17=0，a16=-a17，而d<0，得到a16>0>a17，故当且仅当n=16时，Sn有最大值.
由于非常数等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，二次函数具有良好的对称性，所以本题也可以从函数入手，数形结合解决。
解法三 易知Sn=pn2+（a1-p）n，其中p=d2，因为a1≠0，S9=S23，故d≠0.
考虑函数f（x）=px2+（a1-p）x是关于x的二次函数且其图象过原点.因f（9）=f（23），故其对称轴方程为x=16，而a1>0，则d<0，故当且仅当n=16时，Sn有最大值.
奇思妙想
1. 原题中将条件“a1>0”改为“a1<0”，其他条件不变，结论会有什么变化？
解析 a1<0时，d>0，故当且仅当n=16时，Sn有最小值.
2. 原题中将条件“S9=S23”改为“S10=S23”，其他条件不变，结论会有什么变化？
解析 a1>0时，由于a17=0，则当n=16或17时，Sn有最大值.
3. 本题是由S9=S23可以推出n=16时，Sn取到最值. 那么逆向探索：由n=16时，Sn取到最值，能否推出S9=S23？
解析 结论是不一定.
4. 问题进行一般化：将本题条件中的“S9=S23”改为“Sm=Sk（m≠k）”，你又能得到什么结论？
解析 问题变得复杂后，函数思想的优势便显现出来了.易知二次函数的对称轴方程为x=（m+k）2，
若a1>0，当m+k为偶数时，则当n=（m+k）2时，Sn有最大值；
若a1>0，当m+k为奇数时，则当n=（m+k±1）2时，Sn有最大值.
5. 由于等差数列与等比数列是一对对偶的同构数列，它们在很多方面具有极其相似的性质和结论，故考虑将原题进行类比研究.
如：已知等比数列{bn}的公比q>0且q≠1，首项b1>1，其前n项的积记作Tn，且T9=T23，则当n= 时，Tn有最 值.
解析 关键在数列{bn}中找到以“1”为项或者在“1”附近的项.
易知b1b2b3…b9=b1b2b3…b23，可得b1b32=1，故b16b17=1，又公比q>0且q≠1，首项b1>1知b16>1>b17>0，所以当n=16时，Tn有最大值.
类型二 已知两个不同等差数列前项和的比值，求对应项的比值问题。着重考察等差数列前项和与通项之间的联系
【例2】 已知数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，且SnTn=7n+45n+3，求a9b9.
分析 已知条件中涉及等差数列的和，而要求解的部分中只与项有关，故需沟通等差数列的和与项之间的联系，因此使用等差数列求和公式的第一种形式Sn=n（a1+an）2。并且对照所求结论，要将两项之和转化为一项的形式，所以还需使用等差数列的下标和性质获解。
解法一 a9b9=2a92b9=a1+a17b1+b17=17（a1+a17）217（b1+b17）2
=S17T17=415.
（一般地，同理可证明anbn=S2n-1T2n-1.）
点拨 根据等差数列前n项和公式的结构（这是思考问题、抓住问题本质的一个视角：结构特征），和式是关于n的常数项为0的二次函数。
解法二 可设Sn=kn（7n+45），Tn=kn（n+3），其中k为非零常数，
则a9=S9-S8=164k，b9=20k，故a9b9=415.
奇思妙想
1. 考虑原问题的逆命题. “已知数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，且anbn=7n+45n+3，求S9T9”.
解析 由于推导anbn=S2n-1T2n-1的过程是可逆的，故可以赋值令n=5即可得S9T9=10.
2. 原问题中的各条件不变，改为求“则使得anbn为整数的正整数n的个数有几个？”.
解析 由上例可得anbn=S2n-1T2n-1=7n+19n+1，显然分子大与分母，析出常数得anbn=S2n-1T2n-1=7+12n+1.
故要使得anbn为正整数，只需要分式部分的“n+1”为分子部分“12”的正约数即可，而12的正约数有1，2，3，4，6，12，显然1不合题意，舍去.所以令n+1=2，3，4，6，12，可得n=1，2，3，5，11，即正整数n的个数为5.
2. 数列{an}满足a1=a，a2=-a（a>0），且{an}从第二项起是公差为6的等差数列，Sn 是{an}的前n项和.
（1）当n≥2时，用a与n表示an与Sn；
（2）若在S7与S8两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围.
3. 已知等比数列{an}的首项a1=2 011，公比q=-12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn.
（1） 证明：S2≤Sn≤S1；
（2） 求n为何值时，Tn取得最大值.
4. 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N*.数列{bn}满足bn=1an·an+1，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和.
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn 5. 数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立.若数列{an}为等差数列，
（1）求证：3A-B+C=0；
（2）若A=-12，B=-32，C=1，设bn=an+n，数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn.
（作者：刘翔 镇江中学）
每年高考与数列内容有关的试题，既有一条单纯关于数列内容的填空题，又有一条数列的综合题与实际应用题。在填空题中，主要考查等差、等比数列的概念和性质，重点是通项公式与前n项和的公式的灵活运用，突出了“小、巧、活”的特点。解答题属于中、高难度题，主要考查运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力。
类型一 等差数列前n项和的最值问题，具有丰富的知识背景和价值，问题的探索过程中，将涉及到函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法
【例1】 已知等差数列{an}的首项不为零，前n项的和记作Sn，且S9=S23，当a1>0时，n= 时，Sn有最 值.
分析 数列可以看成是定义域为正整数集或是其子集的一种特殊的函数，因此可将前n项的和Sn的最值问题转化为研究函数的最值问题，故建立函数Sn是解决本问题的关键所在。
解法一 由S9=S23，结合等差数列前n项和公式得9a1+36d=23a1+23×11d，所以2a1+31d=0，因为a1>0，故d<0.从基本量入手，以n为未知数，建立二元函数Sn，并研究其最值：Sn=-312nd+12n（n-1）d=d2（n-16）2-128d，由于d<0，所以Sn有最大值，当且仅当n=16时取到最大值.
点拨 本题的实质是用函数的观点分析、解决有关数列问题。通过相应的函数及其图象的特征变动地、直观地认识数列的性质。
由于等差数列是单调数列，所以其前n项和Sn的最值可以转化为研究项an符号的变化规律来求Sn的最大值，即转化为累加{an}中的所有非负项，从下标入手，合理搭配。
解法二 由于S9=S23，利用一般数列前n项和定义知：
a1+a2+a3+…+a9=a1+a2+a3+…+a23，得到a10+a11+…+a23=0，故a10+a23=0，又a16+a17=a10+a23，所以a16+a17=0，a16=-a17，而d<0，得到a16>0>a17，故当且仅当n=16时，Sn有最大值.
由于非常数等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，二次函数具有良好的对称性，所以本题也可以从函数入手，数形结合解决。
解法三 易知Sn=pn2+（a1-p）n，其中p=d2，因为a1≠0，S9=S23，故d≠0.
考虑函数f（x）=px2+（a1-p）x是关于x的二次函数且其图象过原点.因f（9）=f（23），故其对称轴方程为x=16，而a1>0，则d<0，故当且仅当n=16时，Sn有最大值.
奇思妙想
1. 原题中将条件“a1>0”改为“a1<0”，其他条件不变，结论会有什么变化？
解析 a1<0时，d>0，故当且仅当n=16时，Sn有最小值.
2. 原题中将条件“S9=S23”改为“S10=S23”，其他条件不变，结论会有什么变化？
解析 a1>0时，由于a17=0，则当n=16或17时，Sn有最大值.
3. 本题是由S9=S23可以推出n=16时，Sn取到最值. 那么逆向探索：由n=16时，Sn取到最值，能否推出S9=S23？
解析 结论是不一定.
4. 问题进行一般化：将本题条件中的“S9=S23”改为“Sm=Sk（m≠k）”，你又能得到什么结论？
解析 问题变得复杂后，函数思想的优势便显现出来了.易知二次函数的对称轴方程为x=（m+k）2，
若a1>0，当m+k为偶数时，则当n=（m+k）2时，Sn有最大值；
若a1>0，当m+k为奇数时，则当n=（m+k±1）2时，Sn有最大值.
5. 由于等差数列与等比数列是一对对偶的同构数列，它们在很多方面具有极其相似的性质和结论，故考虑将原题进行类比研究.
如：已知等比数列{bn}的公比q>0且q≠1，首项b1>1，其前n项的积记作Tn，且T9=T23，则当n= 时，Tn有最 值.
解析 关键在数列{bn}中找到以“1”为项或者在“1”附近的项.
易知b1b2b3…b9=b1b2b3…b23，可得b1b32=1，故b16b17=1，又公比q>0且q≠1，首项b1>1知b16>1>b17>0，所以当n=16时，Tn有最大值.
类型二 已知两个不同等差数列前项和的比值，求对应项的比值问题。着重考察等差数列前项和与通项之间的联系
【例2】 已知数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，且SnTn=7n+45n+3，求a9b9.
分析 已知条件中涉及等差数列的和，而要求解的部分中只与项有关，故需沟通等差数列的和与项之间的联系，因此使用等差数列求和公式的第一种形式Sn=n（a1+an）2。并且对照所求结论，要将两项之和转化为一项的形式，所以还需使用等差数列的下标和性质获解。
解法一 a9b9=2a92b9=a1+a17b1+b17=17（a1+a17）217（b1+b17）2
=S17T17=415.
（一般地，同理可证明anbn=S2n-1T2n-1.）
点拨 根据等差数列前n项和公式的结构（这是思考问题、抓住问题本质的一个视角：结构特征），和式是关于n的常数项为0的二次函数。
解法二 可设Sn=kn（7n+45），Tn=kn（n+3），其中k为非零常数，
则a9=S9-S8=164k，b9=20k，故a9b9=415.
奇思妙想
1. 考虑原问题的逆命题. “已知数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，且anbn=7n+45n+3，求S9T9”.
解析 由于推导anbn=S2n-1T2n-1的过程是可逆的，故可以赋值令n=5即可得S9T9=10.
2. 原问题中的各条件不变，改为求“则使得anbn为整数的正整数n的个数有几个？”.
解析 由上例可得anbn=S2n-1T2n-1=7n+19n+1，显然分子大与分母，析出常数得anbn=S2n-1T2n-1=7+12n+1.
故要使得anbn为正整数，只需要分式部分的“n+1”为分子部分“12”的正约数即可，而12的正约数有1，2，3，4，6，12，显然1不合题意，舍去.所以令n+1=2，3，4，6，12，可得n=1，2，3，5，11，即正整数n的个数为5.
2. 数列{an}满足a1=a，a2=-a（a>0），且{an}从第二项起是公差为6的等差数列，Sn 是{an}的前n项和.
（1）当n≥2时，用a与n表示an与Sn；
（2）若在S7与S8两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围.
3. 已知等比数列{an}的首项a1=2 011，公比q=-12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn.
（1） 证明：S2≤Sn≤S1；
（2） 求n为何值时，Tn取得最大值.
4. 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N*.数列{bn}满足bn=1an·an+1，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和.
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn
（1）求证：3A-B+C=0；
（2）若A=-12，B=-32，C=1，设bn=an+n，数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn.
（作者：刘翔 镇江中学）