【摘要】函数的定义域是函数的三要素之一，凡是涉及函数问题，均要考虑定义域。而定义域的求法本身及对函数知识的应用非常关键。求函数的定义域的过程，实质上就是根据解析式列出不等式（组）后解这个不等式组的过程，但应注意求解时不能先将函数化简、变形，否则可能会改变原函数的定义域。
　　【关键词】函数 定义域 求解 过程 实质
　　
　　函数的定义域是函数的三要素之一，凡是涉及函数问题，均要考虑定义域。但高考对其考查较分散，学生理解起来有一定的困难。而定义域作为函数部分的重要概念，定义域的求法本身及对函数知识的应用非常关键，所以此问题必须要攻克。现对定义域小结如下：
　　1. 定义域的概念与表示
　　函数y＝f(x)的定义域是指自变量x的取值范围，用集合或区间表示，且不能为空集。
　　确定函数定义域的依据：
　　①若f(x)是整式，则定义域为全体实数．
　　②若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x的取值的集合．
　　③当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合．
　　④当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为零的x取值的集合．
　　⑤对数函数的真数必然大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.
　　⑥若f(x)是有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
　　例1:求下列函数的定义域。
　　（1）f(x)=〖SX(〗1〖〗x+1〖SX)〗 (2) y=〖SX（〗3〖〗1-〖KF（〗1-x〖KF）〗〖SX）〗
　　【解题思路】：具体函数的定义域必须结合具体函数对定义域的要求，要全面考虑各个条件。
　　练习：y＝x2 ＋〖SX(〗(x+3)0〖〗〖KF(S〗3〖〗2x-3〖KF)〗〖SX)〗 y＝〖KF(〗3x+2〖KF)〗＋〖SX(〗 （x+3）0〖〗〖KF(S〗3〖〗2x-3〖KF)〗〖SX）〗
　　评析：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。
　　2.求抽象函数的定义域
　　分析：若已知函数f(x)的定义域为［a，b］，其复合函数f［g(x)］的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．
　　若已知函数f［g(x)］的定义域为［a，b］，则f(x)的定义域为g(x)在x∈［a，b］时的值域。
　　例2 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；
　　(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域；
　　(3)已知函数f(x＋1)的定义域为［－2,3］，求f(x2 －2)的定义域．
　　【解题思路】：对于抽象函数的定义域，必须在透彻理解函数f(x)的定义域的概念的基础上，灵活运用．
　　解 ：(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，
　　∴要使 有意义，需使0＜2x＜1.
　　即－1＜x＜0，或0＜x＜1.
　　∴函数 的定义域为{x|－1＜x＜0，或0＜x＜1}
　　(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，即其中的自变量x的取值范围是0＜x＜1.
　　令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f(t)的定义域为1＜t＜3.
　　∴函数f(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
　　(3)∵f(x＋1)的定义域为［－2,3］，∴－2≤x≤3.
　　令t＝x＋1，∴－1≤t≤4.
　　∴f(t)的定义域为{t|－1≤t≤4}．
　　即f(x)的定义域为{t|－1≤x≤4}．
　　要使f(2 －2)有意义，需使－1≤2 －2≤4.
　　∴－3≤x≤－〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗，或〖SX(〗〖KF（〗2〖KF）〗〖〗2〖SX）〗≤x≤3.
　　∴函数f(2x2－2)的定义域为{x|－〖KF（〗3〖KF）〗≤x≤－〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗〖〗2〖SX）〗，或〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗〖〗2〖SX）〗≤x≤〖KF（〗3〖KF）〗}。
　　评析：若已知复合函数f［g(x)］的定义域求f(x)的定义域，可令t＝g(x)，由x的范围推出t的范围，再以x换t即得f(x)的定义域．若已知f(x)的定义域求复合函数f［φ(x)］的定义域，可将f(x)的定义域写成关于x的不等式，然后将x换成中间变量φ(x)，再解不等式即可得到复合函数f［φ(x)］的定义域。
　　练习： 已知f(x2)的定义域为［－1,1］，求f(2x)的定义域。
　　思考：（3）已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数y=f(x＋a)+f(x－a)
　　（其中0＜a＜〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗)的定义域）
　　3.函数定义域在实际问题中的应用
　　分析：在解决函数实际应用题时，要考虑结合实际问题，挖掘函数的定义域，切不可忽视定义域的条件限制作用。
　　求实际问题背景下的函数的定义域。
　　【例3】 已知扇形周长为10 cm，求扇形半径r与扇形面积S的函数关系S＝f(r)，并确定其定义域。
　　【解题思路】；设弧长为l，则l＝10－2r，因为S＝〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗lr，所以S＝f(r)＝－r2＋5r.简略地说，r＞0，但首先有r＜5，其次〖SX(〗l〖〗r〖SX)〗＜2π，即10－2rr＜2π，所以r＞〖SX(〗5〖〗π＋1〖SX)〗，所以定义域为(〖SX(〗5〖〗π＋1〖SX)〗，5)
　　评析：求由实际问题确定的函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对自变量的制约。
　　练习：将长为a的铁丝折成矩形，求矩形的面积y关于一边长x的函数解析式，并求函数的定义域。
　　其实，求函数的定义域的过程，实质上就是根据解析式列出不等式（组）后解这个不等式组的过程，但应注意求解时不能先将函数化简、变形，否则可能会改变原函数的定义域。