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用函数图像解决物理问题一直作为高中物理“教”与“考”的重点内容，在最近几年的高考及各类模拟试卷中这类试题一直层出不穷。学生对这类试题的感觉往往是无从下手，但考后试卷分析时，只要教师一提醒，学生又会感觉到这种题目无论是从数学还是从物理的角度来看，失分都不应该！是什么原因造成学生对这类题难以下手、而失分后又感觉遗憾呢？
笔者认为这是由于两个方面的原因造成的：一是数学与物理的脱节；二是高中物理中仅仅重点讲解了运动学当中的x—t图像和v—t图像，而对其他坐标的图像“问题意识”不够。
以下笔者结合一些具体题例，来探讨用函数图像解决物理问题教师应指导学生具有哪些着力点。
着力点一：学生要有从数学角度分析不同坐标图像的能力
拿到一个图像类问题，不应先去分析图线是什么样子，而是应该先关注图像的坐标，再去从物理道理上去分析两个坐标之间的联系，当把坐标之间函数关系确定后，再从数学的角度去分析问题就变得非常方便。
【题例1】如图所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端拴一个钢球P，球处于静止状态，现对球施加一个水平向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一个时刻，都可以认为钢球处于平衡状态。若外力F始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角θ<90°，且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则下面给出的弹簧伸长量x与cosθ的函数关系图像中，最接近的是（
）
【分析】当对小球施加向右的外力F时，球向右缓慢移动，但始终处于平衡状态。题目中研究的函数图象坐标是关于弹簧伸长量与弹簧与竖直方向夹角的余弦之间的关系。首先从小球受平衡力的角度出发，分析三个力之间的关系，很容易得出cosθ=mg/kx，所以x·cosθ=mg/k。即二者的乘积是一个常数，也就是反比例关系。从数学上很容易得出答案为D。
【题例2】如图所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，下列关于ω与θ关系的图象正确的是（
） 【分析】当小球在绳子牵引下绕着杆子上的一点为圆心做匀速圆周运动时，靠绳子拉力与小球重力的合力来提供做圆周运动的向心力。只要对小球列向心力方程，易得：ω2=g/Lcosθ。得到ω与θ的数学关系式之后，很容易看出二者函数图象不可能是直线关系，并且当角度θ为0时，ω并不为0，就可确定答案为D。
从以上两例可看出，处理可能没有见过、分析过的坐标类型的图像类问题，从物理角度去分析列式求出两个坐标之间的数学表达式是关键。
着力点二：学生要有由图像来还原物理模型问题的能力
有些问题，命题者将一个物理模型用图像的方式表达出来，只有将图形转化、还原为原来的常见物理问题，相关问题才能够解决。
【题例3】如图所示为牵引力F和车速倒数1/V的关系图像。若一汽车质量为2×103㎏，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，设其最大车速为30 m／s，则
（
） A．汽车所受阻力为2×103N
B．汽车在车速为15 m／s，功率为6×104 W
C．汽车匀加速的的加速度为3m／s2
D．汽车匀加速所需时间为5s
【分析】很明显。这是一道关于汽车启动类的问题。常见的汽车启动问题有两类，一类是恒功率启动，一类是先匀加速启动，再演变成恒功率启动。
本题设置了汽车牵引力与车速倒数的关系图像，应该讲对学生来讲是一个非常陌生的情形，光看图形是看不出什么东西来的。如果我们还原物理情景，汽车启动时，一开始速度为0，对应着速度的倒数为无穷大。也就是讲看此图像可以从横轴的右侧向左侧看，逐渐靠近坐标原点。
很容易看出，一开始，汽车的牵引力不变，恒为6×103N，从物理角度分析，汽车做匀加速启动，由P=Fv，可知，随着速度逐渐增大，功率也同步增大，当功率达到最大功率，也就是额定功率时，接下来汽车就演变成恒功率启动。当最后达到最大速度时，牵引力等于阻力。由图像可以看出，最大速度30 m／s时，对应牵引力等于阻力即2×103N。由以上分析，易得本题答案为ABD。
【题例4】将一动力传感器接到计算机上，我们可以测量快速变化的力，如图所示的就是用这种方法测得的一光滑小球在半球形碗内的竖直平面内来回运动时，对碗面的压力大小随时间变化的曲线，求：（1）此小球运动的周期为多少？ （2）此小球的质量为多少？(g=10m/s2)
【分析】小球在光滑碗内来回滚动的情形并不是什么新鲜的物理模型，但本题将小球对碗面的压力用函数图像的形式表达出来，就非常新颖，许多同学拿到此题，感觉到无从下手。
从图像中能直接提炼出的信息是小球对碗面最大压力是2.0N，最小压力是0.5N。对于时间上许多同学结合正、余弦的数学知识认为小球运动的周期为0.4s，但事实上，假设从图示时刻开始计时，此时小球对碗面压力为最小值，首先滑到最低点，压力最大，然后再到右侧最高点，对碗面压力最小，此时已经用时0.4s,但时间才只有运动的半个周期，所以小球运动的周期应该为0.8s。
要分析小球质量，必须对小球进行受力分析，根据图像提供信息，重点应放在运动的最高点（出发点）和最低点两个点上。
注意到起始点速度为0，所以此时小球向心力为0，即0.5N等于小球重力在背离圆心方向上的分力，假设小球与圆心连线与竖直方向夹角为θ，则：mgcosθ=0.5N……（1）设最低点时小球具有速度v，小球所受支持力与重力的合力提供做圆周运动的向心力。则：2-mg=mv2/R……（2）
再由动能定理对起始点到最低点列式，方便得出mgR（1-cosθ）=mv2/2-0……（3）
由以上三式，很容易得出所求小球质量m=0.1kg.
着力点三：学生要有借助图像处理问题的意识
有许多问题，如果单纯从计算的角度出发，也许能够做得出，但非常麻烦，或者干脆，高中阶段数学知识根本就不好解决这样的问题，这时从图像角度出发，往往能够非常便捷的得出问题的结果。
【题例5】汽车在平直的路面上行驶时，受到的阻力恒定不变，它从静止开始以恒定的功率加速行驶，经过5min，速度达到20m/s，则这时汽车已经行驶的距离为（
）A．一定等于3000m
B．一定大于3000m
C．一定小于3000m
D．无法确定
【分析】汽车恒功率启动问题，由P=Fv可知在P不变的情况下，随着速度v的增加，汽车所受牵引力F逐渐减小，当最后达到最大速度时，牵引力等于阻力，也就是讲恒功率启动过程，汽车做的是一个加速度逐渐减小的变加速过程。
本题要求5分钟行驶位移，很明显不能用匀加速直线运动的公式来求解，因为整个加速过程加速度一直在变化。
求位移的另外一种途径就是利用动能定理，但列式后会发现，汽车的额定功率、阻力和质量都不知道，因此也无从入手求解。
但以上常规途径解决不了时，就要想一想能不能用图像法来解决呢？
如右图所示，由于在v-t图像中，图线与t轴所围面积代表位移，而如果是300s匀加速到20m/s,对应位移为3000m，由图可轻易看出，在这段时间内汽车位移一定大于3000m。答案为B。
【题例6】物体以一定的初动能滑上一粗糙斜面，经过一段时间后又滑回斜面底端，下列说法正确的是（
）A.物体在动能最小的位置时，机械能也最小B.物体滑回到出发点时，机械能最小C.物体上滑过程中，动能和势能相等的位置在物体最大位移的中点的上方D.物体下滑过程中，动能和势能相等的位置在物体最大位移的中点的上方
【分析】如果是光滑斜面，物体上滑与下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。现在题目中明确说明是粗糙斜面，所以物体在上滑与下滑过程中，除重力做功外，滑动摩擦力都做负功，对应物体机械能减少。由此可方便判断A错误，B正确。
在分析选项C、D时，如果采用列式分析的方法，最起码要列出从出发到最高点的动能定理表达式，还要列出从出发到其中动能与势能相同点是的表达式，由于里面都有摩擦力做功，分析比较复杂，要想最后确定出结果，需要有比较好的物理分析思路和数学解题能力。
如果利用图像法来解决这个问题，只要将能量E与高度h之间建立函数图像，很容易做出图像如下图所示。
其中AB代表上滑过程中机械能随着高度h而越来越小，由于摩擦力大小恒定，所以AB为直线；OB代表物体上滑过程中重力势能的变化；AC代表上滑过程中动能的变化。由图容易看出当上升高度为h1时，动能和势能大小相等，很明显这个高度在最大高度一半的上方。
同理，当物体下滑时，以上滑过程的最高点当做高度起点，做出能量E与下滑高度h/之间的函数图像。在h2高度时，动能与势能相同，很明显此点位于最大高度一半的下方。
答案：BC。
由以上题例可以看出，当遇到用常规途径不容易解决的一些问题，培养学生用图像的观点来思考和解决问题，有时能起到非常快捷的效果。
笔者认为这是由于两个方面的原因造成的：一是数学与物理的脱节；二是高中物理中仅仅重点讲解了运动学当中的x—t图像和v—t图像，而对其他坐标的图像“问题意识”不够。
以下笔者结合一些具体题例，来探讨用函数图像解决物理问题教师应指导学生具有哪些着力点。
着力点一：学生要有从数学角度分析不同坐标图像的能力
拿到一个图像类问题，不应先去分析图线是什么样子，而是应该先关注图像的坐标，再去从物理道理上去分析两个坐标之间的联系，当把坐标之间函数关系确定后，再从数学的角度去分析问题就变得非常方便。
【题例1】如图所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端拴一个钢球P，球处于静止状态，现对球施加一个水平向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一个时刻，都可以认为钢球处于平衡状态。若外力F始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角θ<90°，且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则下面给出的弹簧伸长量x与cosθ的函数关系图像中，最接近的是（
）
【分析】当对小球施加向右的外力F时，球向右缓慢移动，但始终处于平衡状态。题目中研究的函数图象坐标是关于弹簧伸长量与弹簧与竖直方向夹角的余弦之间的关系。首先从小球受平衡力的角度出发，分析三个力之间的关系，很容易得出cosθ=mg/kx，所以x·cosθ=mg/k。即二者的乘积是一个常数，也就是反比例关系。从数学上很容易得出答案为D。
【题例2】如图所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，下列关于ω与θ关系的图象正确的是（
） 【分析】当小球在绳子牵引下绕着杆子上的一点为圆心做匀速圆周运动时，靠绳子拉力与小球重力的合力来提供做圆周运动的向心力。只要对小球列向心力方程，易得：ω2=g/Lcosθ。得到ω与θ的数学关系式之后，很容易看出二者函数图象不可能是直线关系，并且当角度θ为0时，ω并不为0，就可确定答案为D。
从以上两例可看出，处理可能没有见过、分析过的坐标类型的图像类问题，从物理角度去分析列式求出两个坐标之间的数学表达式是关键。
着力点二：学生要有由图像来还原物理模型问题的能力
有些问题，命题者将一个物理模型用图像的方式表达出来，只有将图形转化、还原为原来的常见物理问题，相关问题才能够解决。
【题例3】如图所示为牵引力F和车速倒数1/V的关系图像。若一汽车质量为2×103㎏，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，设其最大车速为30 m／s，则
（
） A．汽车所受阻力为2×103N
B．汽车在车速为15 m／s，功率为6×104 W
C．汽车匀加速的的加速度为3m／s2
D．汽车匀加速所需时间为5s
【分析】很明显。这是一道关于汽车启动类的问题。常见的汽车启动问题有两类，一类是恒功率启动，一类是先匀加速启动，再演变成恒功率启动。
本题设置了汽车牵引力与车速倒数的关系图像，应该讲对学生来讲是一个非常陌生的情形，光看图形是看不出什么东西来的。如果我们还原物理情景，汽车启动时，一开始速度为0，对应着速度的倒数为无穷大。也就是讲看此图像可以从横轴的右侧向左侧看，逐渐靠近坐标原点。
很容易看出，一开始，汽车的牵引力不变，恒为6×103N，从物理角度分析，汽车做匀加速启动，由P=Fv，可知，随着速度逐渐增大，功率也同步增大，当功率达到最大功率，也就是额定功率时，接下来汽车就演变成恒功率启动。当最后达到最大速度时，牵引力等于阻力。由图像可以看出，最大速度30 m／s时，对应牵引力等于阻力即2×103N。由以上分析，易得本题答案为ABD。
【题例4】将一动力传感器接到计算机上，我们可以测量快速变化的力，如图所示的就是用这种方法测得的一光滑小球在半球形碗内的竖直平面内来回运动时，对碗面的压力大小随时间变化的曲线，求：（1）此小球运动的周期为多少？ （2）此小球的质量为多少？(g=10m/s2)
【分析】小球在光滑碗内来回滚动的情形并不是什么新鲜的物理模型，但本题将小球对碗面的压力用函数图像的形式表达出来，就非常新颖，许多同学拿到此题，感觉到无从下手。
从图像中能直接提炼出的信息是小球对碗面最大压力是2.0N，最小压力是0.5N。对于时间上许多同学结合正、余弦的数学知识认为小球运动的周期为0.4s，但事实上，假设从图示时刻开始计时，此时小球对碗面压力为最小值，首先滑到最低点，压力最大，然后再到右侧最高点，对碗面压力最小，此时已经用时0.4s,但时间才只有运动的半个周期，所以小球运动的周期应该为0.8s。
要分析小球质量，必须对小球进行受力分析，根据图像提供信息，重点应放在运动的最高点（出发点）和最低点两个点上。
注意到起始点速度为0，所以此时小球向心力为0，即0.5N等于小球重力在背离圆心方向上的分力，假设小球与圆心连线与竖直方向夹角为θ，则：mgcosθ=0.5N……（1）设最低点时小球具有速度v，小球所受支持力与重力的合力提供做圆周运动的向心力。则：2-mg=mv2/R……（2）
再由动能定理对起始点到最低点列式，方便得出mgR（1-cosθ）=mv2/2-0……（3）
由以上三式，很容易得出所求小球质量m=0.1kg.
着力点三：学生要有借助图像处理问题的意识
有许多问题，如果单纯从计算的角度出发，也许能够做得出，但非常麻烦，或者干脆，高中阶段数学知识根本就不好解决这样的问题，这时从图像角度出发，往往能够非常便捷的得出问题的结果。
【题例5】汽车在平直的路面上行驶时，受到的阻力恒定不变，它从静止开始以恒定的功率加速行驶，经过5min，速度达到20m/s，则这时汽车已经行驶的距离为（
）A．一定等于3000m
B．一定大于3000m
C．一定小于3000m
D．无法确定
【分析】汽车恒功率启动问题，由P=Fv可知在P不变的情况下，随着速度v的增加，汽车所受牵引力F逐渐减小，当最后达到最大速度时，牵引力等于阻力，也就是讲恒功率启动过程，汽车做的是一个加速度逐渐减小的变加速过程。
本题要求5分钟行驶位移，很明显不能用匀加速直线运动的公式来求解，因为整个加速过程加速度一直在变化。
求位移的另外一种途径就是利用动能定理，但列式后会发现，汽车的额定功率、阻力和质量都不知道，因此也无从入手求解。
但以上常规途径解决不了时，就要想一想能不能用图像法来解决呢？
如右图所示，由于在v-t图像中，图线与t轴所围面积代表位移，而如果是300s匀加速到20m/s,对应位移为3000m，由图可轻易看出，在这段时间内汽车位移一定大于3000m。答案为B。
【题例6】物体以一定的初动能滑上一粗糙斜面，经过一段时间后又滑回斜面底端，下列说法正确的是（
）A.物体在动能最小的位置时，机械能也最小B.物体滑回到出发点时，机械能最小C.物体上滑过程中，动能和势能相等的位置在物体最大位移的中点的上方D.物体下滑过程中，动能和势能相等的位置在物体最大位移的中点的上方
【分析】如果是光滑斜面，物体上滑与下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。现在题目中明确说明是粗糙斜面，所以物体在上滑与下滑过程中，除重力做功外，滑动摩擦力都做负功，对应物体机械能减少。由此可方便判断A错误，B正确。
在分析选项C、D时，如果采用列式分析的方法，最起码要列出从出发到最高点的动能定理表达式，还要列出从出发到其中动能与势能相同点是的表达式，由于里面都有摩擦力做功，分析比较复杂，要想最后确定出结果，需要有比较好的物理分析思路和数学解题能力。
如果利用图像法来解决这个问题，只要将能量E与高度h之间建立函数图像，很容易做出图像如下图所示。
其中AB代表上滑过程中机械能随着高度h而越来越小，由于摩擦力大小恒定，所以AB为直线；OB代表物体上滑过程中重力势能的变化；AC代表上滑过程中动能的变化。由图容易看出当上升高度为h1时，动能和势能大小相等，很明显这个高度在最大高度一半的上方。
同理，当物体下滑时，以上滑过程的最高点当做高度起点，做出能量E与下滑高度h/之间的函数图像。在h2高度时，动能与势能相同，很明显此点位于最大高度一半的下方。
答案：BC。
由以上题例可以看出，当遇到用常规途径不容易解决的一些问题，培养学生用图像的观点来思考和解决问题，有时能起到非常快捷的效果。