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立体几何历来是学生难学、教学效果欠佳的一章内容,原因是学生缺乏空间观念、空间想象力、逻辑推理能力、逻辑表达能力等必要的数学素质。通过研究和实践,下面谈谈我的做法:
一、培养学生的空间想象能力
1、让学生学会“构造”,在构造中发展空间想象能力。在实际教学中,学生往往不易建立空间概念,在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型。为了化解这一难点,最有效的办法是引导学生制造模具,手脑并用,实物演示,化抽象为直观。例如:三个面在空间中的各种位置情况,可以用硬纸片作模型摆出各种不同的可能空间位置;判断侧面是全等的等腰三角形的棱锥是否正棱锥,可以用硬纸片制作棱锥;在学习三垂线定理时,可引导学生用三角板构造垂线、斜线、射影。
2、让学生学会“画图”,通过画图提高对空间图形的理解和认识能力。立体几何的研究对象是空间图形,为了研究的方便,我们需要把空间图形画在纸上或黑板上,由于纸和黑板的表面可以看作是平面,于是就要学习空间图形的直观图的画法。画直观图的目的是为了解决对立体图形的理解和认识,加强对立体图形的性质理解,借助图形推理论证,也以此培养学生的学习兴趣和良好的解题习惯。
二、加强学生对基本概念、数学命题的理解
数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一,理解与掌握数学概念是学好数学、提高数学能力的关键。
对数学公理、定理的理解和应用,突出反映在题目的证明和计算上。在具体的证明中要求学生写出相应的依据,使逻辑推理严密,运用定理﹑公理﹑法则时言出有据,书写格式合理、层次清楚,数学符号语言使用恰当、合乎习惯等。这表现在:
1、定理本身的证明。我们知道,定理本身的证明思路具有示范性、典型性,它体现了基本的逻辑推理知识和基本的证明思想的培养,以及规范的书写格式的养成。在教学中,教师应引导学生以高度的重视,并对他们进行严格的训练,做到不仅会分析定理的条件和结论,而且能掌握定理的内容、证明的思想方法、适用的范围和表达形式,特别是进入高中学习以后所涉及到的一些新的证题的思想方法。如新教材P15上的立体几何例题:“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。”此定理的证明就采用了反证法,那么教师在这里就应该结合此题向学生重点介绍反证法的证题思想、一般步骤、书写格式、注意要点等,并配以适当的训练,以初步掌握应用反证法证明立体几何题。
2、提高学生应用定理分析问题和解决问题的能力。比如在有关直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定和证明以及空间角和距离的确定计算等多方面,应先让学生理解、掌握、记忆相关定理、定理与定理之间、定理与其他知识间的联系,并使知识系统化。其次,定理的学习是为了应用,因此教师在教学中,应有意识的培养学生的应用能力,有针对性地进行定理应用的练习,让学生会分析,综合理解题意,应用所学的定义、定理来解决问题,并在应用中加深对定理的理解。
三、适时渗透数学思想方法
转化思想是一个极其重要的数学思想,在立体几何中这一思想显得尤为重要,它是学好本章的关键所在。本章的转化思想主要体现在以下几个方面:
1、文字语言、图形语言、符号语言的互相转化。本章出现的定理和性质都是以文字形式给出的,证明之前必须先把它们转化为图形语言,再转化为符号语言,这是一种学习立体几何的基本功训练,不可等闲视之。
2、空间问题与平面问题的互相转化。处理立体几何问题,往往需要转化为平面问题来解决,要注意积累转化手段,例如通过截面、展开、射影等手段,将空间中分散的条件集中到同一平面上来。
3、“线线”、“线面”、“面面”之间的互相转化。立体几何问题的有关证明中,“面面垂直”通常转化为“线面垂直”,而“线面垂直”通常转化为“线线垂直”;“二面角”和“线面角”通常转化为“线线角”,“线面距离”、“面面距离”通常转化为“点面距离”。倘若教师在教学中经常能渗透“转化思想”,那么在教师的潜移默化下,学生的“转化”能力必将得到提高,从而使他们在不知不觉中提高逻辑思维能力。
四、注意总结规律,注重规范训练
立体几何解题过程中,常有明显的规律性。例如:求角先定平面角、三角形去解决,正余弦定理、三角定义常用,若是余弦值为负值,异面、线面取锐角。对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正余弦定理、勾股定理,若是垂线难做出,用等积等高来转换。不断总结,才能不断提高。还要注重规范训练,高考中反映的这方面的问题十分严重,不少考生对作、证、求三个环节交待不清,表达不够规范、严谨,因果关系不充分,图形中各元素关系理解错误,符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯,具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要,在立体几何中尤为重要,因为它更注重逻辑推理。
五、重视引用数学史
在数学课上,穿插数学史知识进行讲解,讲清数学中一些重要概念、原理和方法的来龙去脉,介绍数学家们创造性思维的形成过程和生平轶事,会极大地提高学生对数学的兴趣,激发学生的学习积极性,提高他们的创造性思维能力,培养他们科学的学习态度和正确的世界观、人生观。如在讲授球的体积和表面积时,教师可以向同学们介绍古希腊数学家阿基米德(前287-212年)。在阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱体的高相等。这个图形是阿基米德最引以为豪的发现:图中圆柱体的体积是球体积的3/2,圆柱体的表面积也是球表面积的3/2。由此可看出,阿基米德是多么热爱数学,是多么的敬业。
总之,学以致用,把所学的知识运用到实际生活中是学习数学的最终目的。只有真正运用数学知识来解决生活实际问题,才能更好地实现数学与生活的紧密结合,帮助学生学会生活,提高他们的生活实践能力。因此,离开了生活,数学就成了无源之水、无本之木,也就失去了数学课堂教学的生命。让我们都来做有心人吧,努力从生活中激发学生学习数学的兴趣,为学生的数学学习服务。惟此,数学教学才能时时洋溢生活的气息,才能让它充满生命活力。
一、培养学生的空间想象能力
1、让学生学会“构造”,在构造中发展空间想象能力。在实际教学中,学生往往不易建立空间概念,在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型。为了化解这一难点,最有效的办法是引导学生制造模具,手脑并用,实物演示,化抽象为直观。例如:三个面在空间中的各种位置情况,可以用硬纸片作模型摆出各种不同的可能空间位置;判断侧面是全等的等腰三角形的棱锥是否正棱锥,可以用硬纸片制作棱锥;在学习三垂线定理时,可引导学生用三角板构造垂线、斜线、射影。
2、让学生学会“画图”,通过画图提高对空间图形的理解和认识能力。立体几何的研究对象是空间图形,为了研究的方便,我们需要把空间图形画在纸上或黑板上,由于纸和黑板的表面可以看作是平面,于是就要学习空间图形的直观图的画法。画直观图的目的是为了解决对立体图形的理解和认识,加强对立体图形的性质理解,借助图形推理论证,也以此培养学生的学习兴趣和良好的解题习惯。
二、加强学生对基本概念、数学命题的理解
数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一,理解与掌握数学概念是学好数学、提高数学能力的关键。
对数学公理、定理的理解和应用,突出反映在题目的证明和计算上。在具体的证明中要求学生写出相应的依据,使逻辑推理严密,运用定理﹑公理﹑法则时言出有据,书写格式合理、层次清楚,数学符号语言使用恰当、合乎习惯等。这表现在:
1、定理本身的证明。我们知道,定理本身的证明思路具有示范性、典型性,它体现了基本的逻辑推理知识和基本的证明思想的培养,以及规范的书写格式的养成。在教学中,教师应引导学生以高度的重视,并对他们进行严格的训练,做到不仅会分析定理的条件和结论,而且能掌握定理的内容、证明的思想方法、适用的范围和表达形式,特别是进入高中学习以后所涉及到的一些新的证题的思想方法。如新教材P15上的立体几何例题:“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。”此定理的证明就采用了反证法,那么教师在这里就应该结合此题向学生重点介绍反证法的证题思想、一般步骤、书写格式、注意要点等,并配以适当的训练,以初步掌握应用反证法证明立体几何题。
2、提高学生应用定理分析问题和解决问题的能力。比如在有关直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定和证明以及空间角和距离的确定计算等多方面,应先让学生理解、掌握、记忆相关定理、定理与定理之间、定理与其他知识间的联系,并使知识系统化。其次,定理的学习是为了应用,因此教师在教学中,应有意识的培养学生的应用能力,有针对性地进行定理应用的练习,让学生会分析,综合理解题意,应用所学的定义、定理来解决问题,并在应用中加深对定理的理解。
三、适时渗透数学思想方法
转化思想是一个极其重要的数学思想,在立体几何中这一思想显得尤为重要,它是学好本章的关键所在。本章的转化思想主要体现在以下几个方面:
1、文字语言、图形语言、符号语言的互相转化。本章出现的定理和性质都是以文字形式给出的,证明之前必须先把它们转化为图形语言,再转化为符号语言,这是一种学习立体几何的基本功训练,不可等闲视之。
2、空间问题与平面问题的互相转化。处理立体几何问题,往往需要转化为平面问题来解决,要注意积累转化手段,例如通过截面、展开、射影等手段,将空间中分散的条件集中到同一平面上来。
3、“线线”、“线面”、“面面”之间的互相转化。立体几何问题的有关证明中,“面面垂直”通常转化为“线面垂直”,而“线面垂直”通常转化为“线线垂直”;“二面角”和“线面角”通常转化为“线线角”,“线面距离”、“面面距离”通常转化为“点面距离”。倘若教师在教学中经常能渗透“转化思想”,那么在教师的潜移默化下,学生的“转化”能力必将得到提高,从而使他们在不知不觉中提高逻辑思维能力。
四、注意总结规律,注重规范训练
立体几何解题过程中,常有明显的规律性。例如:求角先定平面角、三角形去解决,正余弦定理、三角定义常用,若是余弦值为负值,异面、线面取锐角。对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正余弦定理、勾股定理,若是垂线难做出,用等积等高来转换。不断总结,才能不断提高。还要注重规范训练,高考中反映的这方面的问题十分严重,不少考生对作、证、求三个环节交待不清,表达不够规范、严谨,因果关系不充分,图形中各元素关系理解错误,符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯,具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要,在立体几何中尤为重要,因为它更注重逻辑推理。
五、重视引用数学史
在数学课上,穿插数学史知识进行讲解,讲清数学中一些重要概念、原理和方法的来龙去脉,介绍数学家们创造性思维的形成过程和生平轶事,会极大地提高学生对数学的兴趣,激发学生的学习积极性,提高他们的创造性思维能力,培养他们科学的学习态度和正确的世界观、人生观。如在讲授球的体积和表面积时,教师可以向同学们介绍古希腊数学家阿基米德(前287-212年)。在阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱体的高相等。这个图形是阿基米德最引以为豪的发现:图中圆柱体的体积是球体积的3/2,圆柱体的表面积也是球表面积的3/2。由此可看出,阿基米德是多么热爱数学,是多么的敬业。
总之,学以致用,把所学的知识运用到实际生活中是学习数学的最终目的。只有真正运用数学知识来解决生活实际问题,才能更好地实现数学与生活的紧密结合,帮助学生学会生活,提高他们的生活实践能力。因此,离开了生活,数学就成了无源之水、无本之木,也就失去了数学课堂教学的生命。让我们都来做有心人吧,努力从生活中激发学生学习数学的兴趣,为学生的数学学习服务。惟此,数学教学才能时时洋溢生活的气息,才能让它充满生命活力。