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【摘要】判别式在中学数学的应用非常广泛，掌握判别式与二次三项式的值之间的关系是考试中的热点，也是中考中的常考点，用判别式来讨论二次三项式能给教学二次函数带来一定的帮助，也能给学生学习二次函数作下铺垫。
【关键词】判别式； 中学数学； 二次三项式
Shallow about SanXiangShi. Discuss with discriminent secondary
Zhou Peng
【Abstract】The article in the middle school mathematics of very extensive, master discriminent SanXiangShi values and secondary relations between the hot, but also is examination examination site, use the often tests is to discuss discriminent SanXiangShi can give teaching second quadratic function brings certain help, also can give students learning quadratic function as under matting.
【Key words】discriminent; The middle school mathematics, Second SanXiangShi
二次三项式是中学数学的主要内容之一，与二次函数有着非常密切的关系。掌握用判别式来讨论二次三项式的值的方法可以推广应用到二次函数之中。
对实系数二次三项式
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
用判别式来讨论并确定f(x)的值的符号。
先讨论a>0的情形。
（1）若Δ=b2-4ac>0，则方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1和x2，不设x1 （a）f(x)>0的充要条件是xx2；
（b）f(x)<0的充要条件是x1 （c）f(x)=0的充要条件是x=x1或x=x2。
下面对这个充要条件给予证明。
由f(x)=a(x-x1)(x-x2)，
先证（a）的必要性。
若f(x)>0，则由a>0可得：(x-x1)(x-x2)>0
于是得xx2。
再证充分性。
当x 于是(x-x1)(x-x2)>0，
从而f(x)=a(x-x1)(x-x2)>0。
同法可证（b）,(c)。
（2）若Δ=b2-4ac=0，则方程f(x)=0有两个相等的实根x1=x2，于是f(x)>0得充要条件是x≠x1（即除去x1以外的所有实数）。这可由f(x)=a(x-x1)2以及a>0方可得到证明，并且对所有实数x，f(x)<0都不可能成立。
（3）若Δ=b2-4ac<0，则对所有实数x，f(x)>0，反之，若f(x)>0对所有实数x都成立，必有Δ=b2-4ac<0。
这个结论可以总结为：
定理1 对所有实数x，二次三项式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)恒为正数的充要条件是a>0，Δ<0。
我们还可以得到，对所有实数x，f(x)非负的充要条件是a>0，Δ非正。
用同样的方法可以讨论a<0的情形：
（1）若Δ=b2-4ac>0，则f(x)>0的充要条件是x1x2，f(x)=0的充要条件是x=x1或x=x2；
（2）若Δ=b2-4ac=0，则f(x)<0的充要条件是x≠x1，并且对所有实数x，f(x)不可能大于0；
（3）若Δ=b2-4ac<0，则对所有实数x，都有f(x)<0。
于是，可以得到定理2。
定理2 对所有实数x，二次三项式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)恒为负数的充要条件是a<0，Δ<0。
（定理1和定理2读者可以自己证明。）
还要值得注意的是：Δ=0还是二次三项式为完全平方式的充要条件。这一点在讨论二次函数时经常用到。
例1 m是怎样的实数时，才能使
f(x)=x2+(m-2)x+2m+1
对所有实数x都是正数。
解析：根据定理1， 要使f(x)恒为正数，必须
Δ=(m-2)2-4(2m+1)<0
解得，0 例2 已知f(x)=x2+(a+1)x+b，且f(3)=3，以及对所有实数x，f(x)x都成立，求实数a与b的值。
解析：由f(3)=3可得：9+3a+b=0 （1）
又由f(x)x得： x2+ax+b0
若此式对所有实数x都成立，必须Δ=a2-4b0。（2）
将（1）代入（2）得
a2+4(9+3a)0即 (a+6)20
由 是实数可知(a+6)20，于是a=-6。
再代入（1）式可得b=9。
例3 关于 的二次方程
x2+(a-8)x+12-ab=0
若对所有实数a，方程总有实根，求实数b的范围。
解析：要使得对所有实数a，方程总有实根，必须判别式Δ0，
即Δ=(a-8)2-4（12-ab)=a2+4(b-4)a+160。
左边是一个关于a的二次三项式，其对所有实数恒为非负的充要条件是
Δ=[4(b-4)]2-4•160
解得 2b6。
例4 若(x+p)(x+2q)+(x+q)(x+2p)是一个完全平方式，求证
9p2-14pq+9q2=0。
证明：设y=(x+p)(x+2q)+(x+q)(x+2p)，则y=2x2+3(p+q)x+4pq
这个二次三项式是完全平方式的充要条件是其判别式等于零，
即 9(p+q)2-4×2×4pq=0，
整理得 9p2-14pq+9q2=0。
即结论得证。
用判别式讨论二次三项式的值的正负，它的应用是非常广泛的，在教学中，不但要做到让学生知其然，更要让他们知其所以然。
【关键词】判别式； 中学数学； 二次三项式
Shallow about SanXiangShi. Discuss with discriminent secondary
Zhou Peng
【Abstract】The article in the middle school mathematics of very extensive, master discriminent SanXiangShi values and secondary relations between the hot, but also is examination examination site, use the often tests is to discuss discriminent SanXiangShi can give teaching second quadratic function brings certain help, also can give students learning quadratic function as under matting.
【Key words】discriminent; The middle school mathematics, Second SanXiangShi
二次三项式是中学数学的主要内容之一，与二次函数有着非常密切的关系。掌握用判别式来讨论二次三项式的值的方法可以推广应用到二次函数之中。
对实系数二次三项式
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
用判别式来讨论并确定f(x)的值的符号。
先讨论a>0的情形。
（1）若Δ=b2-4ac>0，则方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1和x2，不设x1
（b）f(x)<0的充要条件是x1
下面对这个充要条件给予证明。
由f(x)=a(x-x1)(x-x2)，
先证（a）的必要性。
若f(x)>0，则由a>0可得：(x-x1)(x-x2)>0
于是得x
再证充分性。
当x
从而f(x)=a(x-x1)(x-x2)>0。
同法可证（b）,(c)。
（2）若Δ=b2-4ac=0，则方程f(x)=0有两个相等的实根x1=x2，于是f(x)>0得充要条件是x≠x1（即除去x1以外的所有实数）。这可由f(x)=a(x-x1)2以及a>0方可得到证明，并且对所有实数x，f(x)<0都不可能成立。
（3）若Δ=b2-4ac<0，则对所有实数x，f(x)>0，反之，若f(x)>0对所有实数x都成立，必有Δ=b2-4ac<0。
这个结论可以总结为：
定理1 对所有实数x，二次三项式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)恒为正数的充要条件是a>0，Δ<0。
我们还可以得到，对所有实数x，f(x)非负的充要条件是a>0，Δ非正。
用同样的方法可以讨论a<0的情形：
（1）若Δ=b2-4ac>0，则f(x)>0的充要条件是x1
（2）若Δ=b2-4ac=0，则f(x)<0的充要条件是x≠x1，并且对所有实数x，f(x)不可能大于0；
（3）若Δ=b2-4ac<0，则对所有实数x，都有f(x)<0。
于是，可以得到定理2。
定理2 对所有实数x，二次三项式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)恒为负数的充要条件是a<0，Δ<0。
（定理1和定理2读者可以自己证明。）
还要值得注意的是：Δ=0还是二次三项式为完全平方式的充要条件。这一点在讨论二次函数时经常用到。
例1 m是怎样的实数时，才能使
f(x)=x2+(m-2)x+2m+1
对所有实数x都是正数。
解析：根据定理1， 要使f(x)恒为正数，必须
Δ=(m-2)2-4(2m+1)<0
解得，0
解析：由f(3)=3可得：9+3a+b=0 （1）
又由f(x)x得： x2+ax+b0
若此式对所有实数x都成立，必须Δ=a2-4b0。（2）
将（1）代入（2）得
a2+4(9+3a)0即 (a+6)20
由 是实数可知(a+6)20，于是a=-6。
再代入（1）式可得b=9。
例3 关于 的二次方程
x2+(a-8)x+12-ab=0
若对所有实数a，方程总有实根，求实数b的范围。
解析：要使得对所有实数a，方程总有实根，必须判别式Δ0，
即Δ=(a-8)2-4（12-ab)=a2+4(b-4)a+160。
左边是一个关于a的二次三项式，其对所有实数恒为非负的充要条件是
Δ=[4(b-4)]2-4•160
解得 2b6。
例4 若(x+p)(x+2q)+(x+q)(x+2p)是一个完全平方式，求证
9p2-14pq+9q2=0。
证明：设y=(x+p)(x+2q)+(x+q)(x+2p)，则y=2x2+3(p+q)x+4pq
这个二次三项式是完全平方式的充要条件是其判别式等于零，
即 9(p+q)2-4×2×4pq=0，
整理得 9p2-14pq+9q2=0。
即结论得证。
用判别式讨论二次三项式的值的正负，它的应用是非常广泛的，在教学中，不但要做到让学生知其然，更要让他们知其所以然。