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【摘 要】本文以“椭圆的定义”这节课的教学设计为例，论述基于“六何三线”理论的教学设计的 7 个环节“直观感知—操作体验—类比归纳—概念剖析—多元理解—牛刀小试—小结反思”，由此使学生深入理解概念的来源、本质特征等，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
【关键词】“六何三线”理论 教学设计 数学思想方法
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）09B-0099-03
在数学教学中，教师如何提问越来越受到重视。但在现阶段的数学教学中，很多教师在教学数学概念时往往忽略其产生的背景、形成过程，淡化数学概念所反映的数学思想，提问形式单一，导致学生理解概念不深刻、不透彻，缺乏问题意识，教学质量不高。数学课堂教学应当基于问题进行教学，通过问题让学生明白数学概念的产生、发展过程，不仅要知其然，而且要知其所以然。本文基于“六何三线”理论，通过案例设计，说明如何运用“六何三线”理论展开数学教学，让学生深入理解概念的来源、本质特征等知识，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
一、“六何三线”理论概述
“六何三线”教学理论中的“六何”是指从何、是何、如何、为何、若何、有何。其中，“从何”是方向性提问，探究问题的背景、来源;“是何”指事实性提问，围绕数学概念、公式和命题等实质含义提出问题;“如何”是方法性提问，旨在促使学生深入思考、掌握方法;“为何”是说理性提问，通过探讨数学知识的来龙去脉，摸清知识的基本架构，培养学生的说理能力;“若何”是发散性提问，对数学知识的多元理解和关联结构的提问，促进学生迁移应用的能力;“有何”指反思性提问，就所学知识、内容和方法进行提问，提高学生的反思能力。“三线”是指“学法为主线、教导为辅线、问题为导线”。基于“六何三线”理论的教学提问循序渐进、交融贯通。
二、基于“六何三线”理论的教学设计
“六何三线”教学理论从知识与技能、过程与方法、情感与体验三个维度出发，在一定程度上能够帮助学生更好地掌握知识，提高学习能力以及展现愿学、乐学的学习态度。优化数学教学，在“授人以鱼”的同时实现“授人以渔”。具体到数学概念课的教学，就是如何正确提问，凸显学生的“学”以及教师有效引导的过程。下面以一节数学概念课的教学设计为例，说明在利用“动态数学软件”辅助教学的基础上，如何体现“六何三线”教学模式，让学生能够直观地看到知识的来源与本质，发散学生的思维。
（一）课例背景分析
“椭圆的定义”是人教 A 版高中数学选修 2-1 《圆锥曲线》的重点内容。本节课是学习集合、曲线与方程的后续内容，是高中解析几何的开端，对学生今后学习圆锥曲线有着重要的基础意义。因此，它不只是圆的定义、曲线与方程的知识生长点，而且也为学生进一步学习椭圆的标准方程、图象与几何性质提供了良好的载体。本节课的学习重点是理解椭圆的定义、焦点、焦距等概念，难点是对椭圆的定义进行归纳、表述。学生在学习圆的形成、定义以及曲线与方程的过程中，感悟数形结合的数学思想方法，促使形象思维向抽象思维过渡。在这个过程中，教师可以借助“动态数学软件”辅助教学，从“数”与“形”的角度动态展示椭圆的形成过程，引发学生学习的兴趣，提高教学效率。
（二）基于“六何三线”理论的教学设计
围绕“六何三线”理论中的“六何（从何、是何、与何、如何、若何、有何）”展开教学设计，即椭圆从哪里来？其本质是什么？与圆有何联系？如果椭圆的一些属性发生变化会怎样？学完这节课有哪些收获？同时结合“动态数学软件”的功能与数学创课的特点，我们将“椭圆的定义”这节课的教学设计分成 7 个环节展开教学：直观感知—操作体验—类比归纳—概念剖析—多元理解—牛刀小试—小结反思。
1.直观感知
开课伊始，教师可以向学生提出问题：“生活中有哪些东西是椭圆形状的？”待学生回答后，教师通过屏幕上出示生活中有关椭圆形状的物品，比如，汽车车标、镜子等，引导学生用语言描述屏幕中的椭圆形，并指出学生在描述过程中出现的错漏点，如椭圆的实质是轮廓线。接着，教師提出问题：“你可以在纸上画出椭圆吗？”进一步引导学生思考：“椭圆与圆相似，用圆规可以在画板上作圆，那么是否可以类比这种方法画出椭圆呢？”这样做能够启发学生联系旧知，学会运用类比的方法思考问题。
根据“六何三线”理论，在“直观感知”教学环节回答的是“为何（为什么要学习椭圆的定义）”这个问题，让学生直观感知椭圆在日常生活中的广泛应用。教师强调椭圆的本质是轮廓线，是为了让学生对椭圆有一个正确的认知。“椭圆与圆相似，用圆规可以在画板上作圆，那是否可以用类比的方法画出椭圆呢”这个问题驱动学生的求知欲望，体现了数学源于生活、服务生活的教学理念。教师利用生活情境引出学习内容，让学生感受到数学源自生活、高于生活、用于生活，有利于激发学生学习兴趣。
2.操作体验
根据“六何三线”理论，这个教学环节回答的是“有何（椭圆具有什么特征）”问题。教学可以由师生玩“你画我猜”小游戏（如图 1）开始，教师将一条已经确定了长度的绳子的两端同时绑定在画板的 F1 点，然后用签字笔沿着细线拉紧并挪动签字笔，让学生猜测将会得到何种曲线。然后通过“动态数学软件”模拟这一操作，直观呈现圆的生成过程，引导学生思考：圆的生成过程需要满足哪些几何条件并回忆圆的定义。
接着，教师将这个问题进行变式：将绳子的两端分别固定在画板的两个位置，保持适当的距离，将签字笔沿着绳子拉紧并挪动签字笔的笔尖，让学生猜测将会得到什么样的曲线？在这个环节，教师让学生尽情猜想，以便暴露学生的错漏点。也可以通过“动态数学软件”呈现笔尖移动的轨迹，作椭圆图形，同时让学生思考：在椭圆曲线的生成过程中需要满足哪些几何条件？ 教师引导学生从椭圆的生成过程这个角度出发，根据圆的结构特征及定义，推测出椭圆的定义。这一教学过程渗透了猜想、类比、数形结合等数学思想方法，为进一步理解椭圆的定义作铺垫。
3.类比归纳
这个教学环节主要解决的是“是何（椭圆的定义是什么，具有什么特征）”这个问题。教师可以提问学生：“将圆与椭圆在形成过程中所满足的几何条件进行对比，你能归纳出椭圆的定义吗？”通过展现圆、椭圆的生成过程，引导学生用类比的方法，归纳得到椭圆的定义。
通过动态演示图象的生成过程，教师可以先引导学生回顾圆的定义，并与椭圆的定义进行类比，然后归纳概括得出椭圆的定义。这样做能够突出重点、破解难点，让学生掌握归纳类比、数形结合等数学思想方法。这个教学环节在“授人以鱼”的同时实现了“授人以渔”的目的。
4.概念剖析
5.多元理解
学生根据图象再次复述椭圆的定义，教师可以接着提问：“你能用集合的语言来描述椭圆的定义吗？”逐个将椭圆的焦点、焦距、长轴等概念符号化，将符号语言板书在文字语言和图形语言旁边，一同展示出来。
图形语言（图 2）：
根据“六何三线”理论，这个教学环节是回答“是何”的问题，即深度剖析椭圆的定义以及焦点、焦距等概念，强调采用多元表征、逐个击破的数学方法。
6.牛刀小试
教师改变题目的条件，让学生尝试运用定义法或图象法解题，进行一题多解、一题多变，体现“授人以魚”的同时“授人以渔”的思想。这个做题环节是回答“若何”的问题，即如果将问题进行变式，结果又如何。
7.小结反思
在小结环节，教师先呈现如下课件，让学生回顾教学内容，然后提问学生：（1）我学到了什么？我是怎样学到的？（2）给我留下印象最深的是什么，为什么？（3）我还有哪些想法或发现？最后提出问题：“图形中的 ac 之间有什么关系？根据椭圆的几何特征，我们是否可以借助坐标系建立椭圆的方程？如果是，那么怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？如果不是，那么要采用什么方法建立椭圆的方程？”通过一系列提问，让学生明确接下来要学习什么内容，为学生的学习指明了方向，以便学生有针对性地开展预习。根据“六何三线”理论，此环节是回答“有何”的问题，即全面小结与反思学习过程与结果，帮助学生养成良好的学习习惯，教师也能够及时接收到学生的反馈信息，有效进行查漏补缺。
三、教学设计反思
（一）“六何三线”理论让知识的建构更具科学性
任何知识的建构都要经历直观探索的过程，最终形成结构化、系统化。在设计“椭圆的定义”这节课里，教师从生活中的实例出发，引导学生探索椭圆的形成过程，借助“动态数学软件”动态地展示圆的生成过程和椭圆的生成过程，从而得到椭圆形成过程的直观模式，同时引导学生用数学语言描述椭圆的特点，激活学生原有的认知与经验。在经历了直观感知、动手操作、多元联想、合作交流等学习活动后，教师再让学生填写表格，在理解了椭圆概念的基础上，将椭圆的定义转化为具体的数学语言，初步实现由原始数学概念转化为数学学习对象的过程，发展学生的数学抽象思维和直观想象的核心素养。
（二）“六何三线”理论揭示了数学思想方法的生成过程
学生理性思维的形成与发展是建立在数学抽象基础之上的，由此可知，数学抽象是最基本的数学思想，它体现了数学最根本的性质。根据“六何三线”教学理论的特点，教师从直观演示出发，借助“动态数学软件”引导学生观察椭圆的形成过程，运用类比的思想方法分析和归纳椭圆的定义，最后通过多元理解加深对概念和定义的记忆。在这个过程中，教师引导学生学会从数学的角度看待并解决实际生活中的问题，从数学实验中抽象出数学对象的本质属性，最终形成椭圆的概念。
【参考文献】
[1]张国玭.高中数学“六何三线”概念教学模式的研究[D].桂林：广西师范大学，2014
[2]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略—— 以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）
[3]陈妮妮，唐剑岚.基于“数学三个世界”理论的数学创课设计及反思——以“函数的单调性”为例[J].中小学课堂教学研究，2017（10）
【关键词】“六何三线”理论 教学设计 数学思想方法
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）09B-0099-03
在数学教学中，教师如何提问越来越受到重视。但在现阶段的数学教学中，很多教师在教学数学概念时往往忽略其产生的背景、形成过程，淡化数学概念所反映的数学思想，提问形式单一，导致学生理解概念不深刻、不透彻，缺乏问题意识，教学质量不高。数学课堂教学应当基于问题进行教学，通过问题让学生明白数学概念的产生、发展过程，不仅要知其然，而且要知其所以然。本文基于“六何三线”理论，通过案例设计，说明如何运用“六何三线”理论展开数学教学，让学生深入理解概念的来源、本质特征等知识，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
一、“六何三线”理论概述
“六何三线”教学理论中的“六何”是指从何、是何、如何、为何、若何、有何。其中，“从何”是方向性提问，探究问题的背景、来源;“是何”指事实性提问，围绕数学概念、公式和命题等实质含义提出问题;“如何”是方法性提问，旨在促使学生深入思考、掌握方法;“为何”是说理性提问，通过探讨数学知识的来龙去脉，摸清知识的基本架构，培养学生的说理能力;“若何”是发散性提问，对数学知识的多元理解和关联结构的提问，促进学生迁移应用的能力;“有何”指反思性提问，就所学知识、内容和方法进行提问，提高学生的反思能力。“三线”是指“学法为主线、教导为辅线、问题为导线”。基于“六何三线”理论的教学提问循序渐进、交融贯通。
二、基于“六何三线”理论的教学设计
“六何三线”教学理论从知识与技能、过程与方法、情感与体验三个维度出发，在一定程度上能够帮助学生更好地掌握知识，提高学习能力以及展现愿学、乐学的学习态度。优化数学教学，在“授人以鱼”的同时实现“授人以渔”。具体到数学概念课的教学，就是如何正确提问，凸显学生的“学”以及教师有效引导的过程。下面以一节数学概念课的教学设计为例，说明在利用“动态数学软件”辅助教学的基础上，如何体现“六何三线”教学模式，让学生能够直观地看到知识的来源与本质，发散学生的思维。
（一）课例背景分析
“椭圆的定义”是人教 A 版高中数学选修 2-1 《圆锥曲线》的重点内容。本节课是学习集合、曲线与方程的后续内容，是高中解析几何的开端，对学生今后学习圆锥曲线有着重要的基础意义。因此，它不只是圆的定义、曲线与方程的知识生长点，而且也为学生进一步学习椭圆的标准方程、图象与几何性质提供了良好的载体。本节课的学习重点是理解椭圆的定义、焦点、焦距等概念，难点是对椭圆的定义进行归纳、表述。学生在学习圆的形成、定义以及曲线与方程的过程中，感悟数形结合的数学思想方法，促使形象思维向抽象思维过渡。在这个过程中，教师可以借助“动态数学软件”辅助教学，从“数”与“形”的角度动态展示椭圆的形成过程，引发学生学习的兴趣，提高教学效率。
（二）基于“六何三线”理论的教学设计
围绕“六何三线”理论中的“六何（从何、是何、与何、如何、若何、有何）”展开教学设计，即椭圆从哪里来？其本质是什么？与圆有何联系？如果椭圆的一些属性发生变化会怎样？学完这节课有哪些收获？同时结合“动态数学软件”的功能与数学创课的特点，我们将“椭圆的定义”这节课的教学设计分成 7 个环节展开教学：直观感知—操作体验—类比归纳—概念剖析—多元理解—牛刀小试—小结反思。
1.直观感知
开课伊始，教师可以向学生提出问题：“生活中有哪些东西是椭圆形状的？”待学生回答后，教师通过屏幕上出示生活中有关椭圆形状的物品，比如，汽车车标、镜子等，引导学生用语言描述屏幕中的椭圆形，并指出学生在描述过程中出现的错漏点，如椭圆的实质是轮廓线。接着，教師提出问题：“你可以在纸上画出椭圆吗？”进一步引导学生思考：“椭圆与圆相似，用圆规可以在画板上作圆，那么是否可以类比这种方法画出椭圆呢？”这样做能够启发学生联系旧知，学会运用类比的方法思考问题。
根据“六何三线”理论，在“直观感知”教学环节回答的是“为何（为什么要学习椭圆的定义）”这个问题，让学生直观感知椭圆在日常生活中的广泛应用。教师强调椭圆的本质是轮廓线，是为了让学生对椭圆有一个正确的认知。“椭圆与圆相似，用圆规可以在画板上作圆，那是否可以用类比的方法画出椭圆呢”这个问题驱动学生的求知欲望，体现了数学源于生活、服务生活的教学理念。教师利用生活情境引出学习内容，让学生感受到数学源自生活、高于生活、用于生活，有利于激发学生学习兴趣。
2.操作体验
根据“六何三线”理论，这个教学环节回答的是“有何（椭圆具有什么特征）”问题。教学可以由师生玩“你画我猜”小游戏（如图 1）开始，教师将一条已经确定了长度的绳子的两端同时绑定在画板的 F1 点，然后用签字笔沿着细线拉紧并挪动签字笔，让学生猜测将会得到何种曲线。然后通过“动态数学软件”模拟这一操作，直观呈现圆的生成过程，引导学生思考：圆的生成过程需要满足哪些几何条件并回忆圆的定义。
接着，教师将这个问题进行变式：将绳子的两端分别固定在画板的两个位置，保持适当的距离，将签字笔沿着绳子拉紧并挪动签字笔的笔尖，让学生猜测将会得到什么样的曲线？在这个环节，教师让学生尽情猜想，以便暴露学生的错漏点。也可以通过“动态数学软件”呈现笔尖移动的轨迹，作椭圆图形，同时让学生思考：在椭圆曲线的生成过程中需要满足哪些几何条件？ 教师引导学生从椭圆的生成过程这个角度出发，根据圆的结构特征及定义，推测出椭圆的定义。这一教学过程渗透了猜想、类比、数形结合等数学思想方法，为进一步理解椭圆的定义作铺垫。
3.类比归纳
这个教学环节主要解决的是“是何（椭圆的定义是什么，具有什么特征）”这个问题。教师可以提问学生：“将圆与椭圆在形成过程中所满足的几何条件进行对比，你能归纳出椭圆的定义吗？”通过展现圆、椭圆的生成过程，引导学生用类比的方法，归纳得到椭圆的定义。
通过动态演示图象的生成过程，教师可以先引导学生回顾圆的定义，并与椭圆的定义进行类比，然后归纳概括得出椭圆的定义。这样做能够突出重点、破解难点，让学生掌握归纳类比、数形结合等数学思想方法。这个教学环节在“授人以鱼”的同时实现了“授人以渔”的目的。
4.概念剖析
5.多元理解
学生根据图象再次复述椭圆的定义，教师可以接着提问：“你能用集合的语言来描述椭圆的定义吗？”逐个将椭圆的焦点、焦距、长轴等概念符号化，将符号语言板书在文字语言和图形语言旁边，一同展示出来。
图形语言（图 2）：
根据“六何三线”理论，这个教学环节是回答“是何”的问题，即深度剖析椭圆的定义以及焦点、焦距等概念，强调采用多元表征、逐个击破的数学方法。
6.牛刀小试
教师改变题目的条件，让学生尝试运用定义法或图象法解题，进行一题多解、一题多变，体现“授人以魚”的同时“授人以渔”的思想。这个做题环节是回答“若何”的问题，即如果将问题进行变式，结果又如何。
7.小结反思
在小结环节，教师先呈现如下课件，让学生回顾教学内容，然后提问学生：（1）我学到了什么？我是怎样学到的？（2）给我留下印象最深的是什么，为什么？（3）我还有哪些想法或发现？最后提出问题：“图形中的 ac 之间有什么关系？根据椭圆的几何特征，我们是否可以借助坐标系建立椭圆的方程？如果是，那么怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？如果不是，那么要采用什么方法建立椭圆的方程？”通过一系列提问，让学生明确接下来要学习什么内容，为学生的学习指明了方向，以便学生有针对性地开展预习。根据“六何三线”理论，此环节是回答“有何”的问题，即全面小结与反思学习过程与结果，帮助学生养成良好的学习习惯，教师也能够及时接收到学生的反馈信息，有效进行查漏补缺。
三、教学设计反思
（一）“六何三线”理论让知识的建构更具科学性
任何知识的建构都要经历直观探索的过程，最终形成结构化、系统化。在设计“椭圆的定义”这节课里，教师从生活中的实例出发，引导学生探索椭圆的形成过程，借助“动态数学软件”动态地展示圆的生成过程和椭圆的生成过程，从而得到椭圆形成过程的直观模式，同时引导学生用数学语言描述椭圆的特点，激活学生原有的认知与经验。在经历了直观感知、动手操作、多元联想、合作交流等学习活动后，教师再让学生填写表格，在理解了椭圆概念的基础上，将椭圆的定义转化为具体的数学语言，初步实现由原始数学概念转化为数学学习对象的过程，发展学生的数学抽象思维和直观想象的核心素养。
（二）“六何三线”理论揭示了数学思想方法的生成过程
学生理性思维的形成与发展是建立在数学抽象基础之上的，由此可知，数学抽象是最基本的数学思想，它体现了数学最根本的性质。根据“六何三线”教学理论的特点，教师从直观演示出发，借助“动态数学软件”引导学生观察椭圆的形成过程，运用类比的思想方法分析和归纳椭圆的定义，最后通过多元理解加深对概念和定义的记忆。在这个过程中，教师引导学生学会从数学的角度看待并解决实际生活中的问题，从数学实验中抽象出数学对象的本质属性，最终形成椭圆的概念。
【参考文献】
[1]张国玭.高中数学“六何三线”概念教学模式的研究[D].桂林：广西师范大学，2014
[2]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略—— 以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）
[3]陈妮妮，唐剑岚.基于“数学三个世界”理论的数学创课设计及反思——以“函数的单调性”为例[J].中小学课堂教学研究，2017（10）