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摘 要：数学分析是各高校数学专业一门重要的基础课。数学分析课程内容多、概念和理论抽象、周期长。本门课程不但能培养学生的思维能力，还能通过本门课的学习使学生的研究意识有所提高，使其研究能力和创新能力得到初步的训练。目前，数学分析课程在现代数学分析课程的教学中，仍然是教师在讲台上讲，学生坐在讲台下听，没有充分利用现代化教学手段，教学方式以课堂上教师讲授为主。在传统的课堂教学中，教师的职责主要定位在知识的讲授和传授，学生习惯于接受而不善于独立思考。鉴于数学分析课程的重要性、特点和教学现状，可以看出对数学分析课程的教学改革势在必行。文章探讨数学分析课程教学中如何运用翻转课堂教学模式，并在教学中加以实践。
关键词：数学分析；翻转课堂；定积分定义
中图分类号：G642
文献标识码：A
“翻转课堂”译自“Flipped Classroom”，是指在教学过程中将学习的主动权由教师转移到学生，教师不再占用大部分的课堂时间讲授知识，而是让学生重新调整课堂内外的学习时间和方式，在课后通过视频、播客、微信等载体完成自主学习。教师将课堂上更多的时间用在与学生的讨论和交流上，用讲授法和协作法来满足学生的个性化学习需要。“翻转课堂”教学模式为学生创设了自由学习的空间，把学习主动权交给了学生，学生通过实践获得更真实、自主的学习。互联网尤其是移动互联网催生了“翻转课堂”教学模式。“翻转课堂”教学模式是对基于印刷术的传统课堂教程模式、管理模式的变革。“数学分析”课程是数学类专业的专业基础课程，是所有后继课程学习的基础，也是各高校硕士研究生入学考试的必考课程。随着信息化社会的发展，学生对待知识的态度以及渴望获取知识的渠道发生了很大的变化，传统课堂教学的理论性、抽象性与大学生活跃、善于形象思维的特点相冲突，难以与当代大学生求新、求变的思维方式相适应。如果“数学分析”教学一如既往，限于有限课堂时间的“填鸭式”教学，教师的授课效果和学生的学习效率都会大打折扣。若能打破传统的教学模式，积极将“翻转课堂”理念融入到“数学分析”课程的传统课堂教学中，将课堂变成教师与学生之间和学生与学生之间互动的场所，将答疑解惑与知识运用有效地结合起来，一定会极大地改善课堂的学习气氛，激发学生求知的欲望和学习的积极性。另一方面，我国的高等教育已由精英教育转化为大众教育，“数学分析”课堂教学固有的理论性、抽象性与数学专业精英化培养的目标是一致的，但难以适应现在大众化教育的特点。如果能充分利用现在“互联网+”时代提供的丰富资源，将视频和图片等影音资料融入到教学中，势必会大大改善“数学分析”课堂教学单一、古板的缺点，极大地提高教师的授课效果和学生的学习效率，学生也不会再用“难、抽象”等词语来描述“数学分析”的学习。值得注意的是，“数学分析”是数学类专业课程的一个典型代表，基于“翻转课堂”理念的“数学分析”教学模式的研究必然为其他数学专业课程乃至理工科“高等数学”课程的教学模式改革提供重要的参考。近几年，一些教学工作者对翻转课堂进行了研究。
该部分我们以定积分概念为对象来研究基于“翻转课堂”理念的“数学分析”教学模式。主要通过课前教学素材、课堂教学设计和课后教学反思三个阶段讨论课程的设计流程，根据实际的教学经验阐述教学过程中遇到的问题和解决方案。
（一） 课前教学素材
定积分定义是整个积分理论中最基本也是最重要的概念。因为定义的抽象性，初学的学生理解起来有一定的难度。“翻转课堂”中可以借助视频、PPT 等素材来引入这一概念，即可以做一个课前的教学素材供学生提前学习。在制作课前教学素材时，要力求清晰明了，描述通俗易懂，以激发学生的学习兴趣。例如，可以引入分割的简单实例制作成动画视频，让学生直观地观察分割的过程，从而深刻理解定积分的概念。
（二）课堂教学设计
合理规划课上的时间，适时恰当地引入课前教学素材并让其服务于课堂，利用课上时间实现对知识的内化是实现“翻转课堂”的关键环节。
1.回顾课前教学素材并讨论交流自学中的疑难问题
将学生适当分组，每组选出一个代表在课堂上展示自己在课前素材学习中的收获。其他学生认真倾听，仔细辨识并做好笔记，让学生通过相互学习的方式来提高自己的数学综合能力和解决疑难问题的能力。这一环节不需要占用过长的时间，根据学生学习的情况，能引导学生回顾起视频教学的重要知识即可。在预习与回顾知识后，每个学生心中的疑难问题也更加清晰。针对定积分性质与对应练习中的疑问，教师组织学生在课堂上开展小组之间的交流讨论，通过协作学习来实现数学能力的提升并融会贯通。教师将对学生课前学习中遇到的疑难问题进行讲解。课后让学生进一步思考：
（1）分割的时候是否必须是均分？
（2）每个小区间用矩形近似是否与所取的点有关？
（3）如何用定积分定义计算数列极限？
根据教师给出的问题，让学生以组为单位进行研究探讨。在“翻转课堂”模式教学中，教师虽然把学习的主动权交给了学生，但是也不能忽视教师的主导作用。在学生交流完自己的观点之后，教师要及时对学生的回答进行点评并给出关于以上问题的准确解答并进行讨论总结。
2.布置课堂任务，实现课堂内化
在学生深度理解、掌握了定积分定义的定义之后，就实现了课堂知识的内化。通过内化知识，能够使学生的数学能力提高一个档次。这一环节教师要加深知识的难度，布置好课堂任務，要求学生在规定的时间内完成，以提升学生的效率意识和时间观念。教师要利用课堂有限的时间，选择有代表性的、能够高质量地完成知识内化的典型题目让学生练习，例如下面的题目：
学生完成题目后，教师通过多媒体呈现题目的答案，由小组之间互换批改，对于出错比较多的或者经过讨论仍然不解的题目，汇报给小组长，再由小组长反馈给教师。小组之间交流完后教师根据小组长的反馈情况有侧重点地对题目进行讲解。在课堂学习最后，拿出几分钟由教师与学生共同对本节知识进行总结。这样有利于学生对知识形成体系，把知识整合与升华。教师对整个教学活动过程进行总结性的评价，学生完成对自我学习的评价。
（三）课后教学反思
教师运用“翻转课堂”教学模式上完课后，要及时进行如下几个问题的反思：
（1）给学生布置的提升练习是否合理？
（2）学生在课堂上的表现是否符合预期？
（3）课堂中的教学设计与安排是否恰当？
（4）教学目标是否完成？
在对以上问题进行反思的基础上，教师收集整理课堂中学生反馈的问题和师生共同总结的重、难点，然后通过微信朋友圈等网络交流平台分享给学生，学生可永久地保存这些资料，方便以后问题查阅及复习，利用信息网络方便快捷的优势更好地服务课程教学，扩大学生学习的知识面，让每个学生都得到发展。反思是为了更好地提升教师的教学与实践能力，更好地引导学生开展自觉、有效的学习。
1.翻转课堂教学对教师的要求和意义
在传统教学方式中，教师主要准备好课堂要讲的教学内容，整个课堂的大部分时间由教师来掌控。而在翻转课堂教学中，教师要合理确定要翻转的教学内容，还要录制视频或选择优秀的视频资源给学生。此外，还要提出有价值的课堂上的内化内容，在课堂上，教师要参与学生的问题的讨论，并对学生的解答给出正确与否的分析。在讨论过程中，教师要了解学生对翻转内容课下掌握情况，同时在课堂上内化知识时，教师要积极引导学生进行探讨，最后教师对每项内容给出正确解答。由此可见，翻转课堂教学对教师提出了更高的要求，教师不但要具备很高的业务水平，而且要对知识掌握有深度和广度，更要有灵活应对各种问题的能力，因而翻转课堂教学过程对教师提出了极大的挑战，同时对教师来说也是一个成长、学习和提高的过程。
2.翻转课堂教学对学生的要求和意义
因为在翻转课堂教学中，学生要事先在课下通过看视频学习有关内容，这就要求学生有很强的自主学习的意识及自学能力，将知识在课堂上内化时，对学生要求有自我钻研和探索精神。翻转课堂教学对学生的意义在于：这种方式可以满足学生个性化学习的需求，能使学生對所学理论知识有更深刻的理解，也能很好地激发学生的学习兴趣，培养学生间的协作精神，让学生在学习中收获快乐，更能为培养学生科研能力和创新精神打下一定的基础。总之，翻转课堂教学中，课堂变成了师生之间互动的场所，教师的角色由传授者转变成了引导者，实现了先学后教的反转，进而达到了更好的教学效果。
[1]孙太祥，唐金玉，方世祖.发现法在数学分析教学中的应用[J].广西大学学报（自然科学版），2007（S1）.
[2]袁 菲.探讨数学分析课程的教学改革和教学质量的提高[J].大学数学，2010（S1）：62-65.
[3]张金磊，王 颖，张宝辉.翻转课堂教学模式研究[J].远程教育杂志，2012（4）.
[4]钱国贤.翻转课堂教学模式研究[J].教育教学研究，2013（81）.
[5]杨伟杰.翻转课堂：转变与挑战[J].考试周刊，2013（30）.
[6]钟晓流，宋述强，焦丽珍.信息化环境中基于翻转课堂理念的教学设计研究[J].开放教育研究，2013（1）：58-64.
[7]李海龙，邓敏杰，梁存良.基于任务的翻转课堂教学模式设计与应用[J].现代教育技术，2013（9）：46-51.
[8]朱宏洁，朱 赟.翻转课堂及其有效实施策略刍议[J].电化教育研究，2013（8）.
[9]赵兴龙.翻转课堂中知识内化过程及教学模式设计[J].现代远程教育研究，2014（2）.
[10]何克抗.从“翻转课堂”的本质，看“翻转课堂”在我国的未来发展[J].电化教育研究，2014（7）.
[11]金 陵.“翻转课堂”翻转了什么？[J].中国信息技术教育，2012（9）.
关键词：数学分析；翻转课堂；定积分定义
中图分类号：G642
文献标识码：A
一、数学分析课程中翻转课堂教学模式的探索
“翻转课堂”译自“Flipped Classroom”，是指在教学过程中将学习的主动权由教师转移到学生，教师不再占用大部分的课堂时间讲授知识，而是让学生重新调整课堂内外的学习时间和方式，在课后通过视频、播客、微信等载体完成自主学习。教师将课堂上更多的时间用在与学生的讨论和交流上，用讲授法和协作法来满足学生的个性化学习需要。“翻转课堂”教学模式为学生创设了自由学习的空间，把学习主动权交给了学生，学生通过实践获得更真实、自主的学习。互联网尤其是移动互联网催生了“翻转课堂”教学模式。“翻转课堂”教学模式是对基于印刷术的传统课堂教程模式、管理模式的变革。“数学分析”课程是数学类专业的专业基础课程，是所有后继课程学习的基础，也是各高校硕士研究生入学考试的必考课程。随着信息化社会的发展，学生对待知识的态度以及渴望获取知识的渠道发生了很大的变化，传统课堂教学的理论性、抽象性与大学生活跃、善于形象思维的特点相冲突，难以与当代大学生求新、求变的思维方式相适应。如果“数学分析”教学一如既往，限于有限课堂时间的“填鸭式”教学，教师的授课效果和学生的学习效率都会大打折扣。若能打破传统的教学模式，积极将“翻转课堂”理念融入到“数学分析”课程的传统课堂教学中，将课堂变成教师与学生之间和学生与学生之间互动的场所，将答疑解惑与知识运用有效地结合起来，一定会极大地改善课堂的学习气氛，激发学生求知的欲望和学习的积极性。另一方面，我国的高等教育已由精英教育转化为大众教育，“数学分析”课堂教学固有的理论性、抽象性与数学专业精英化培养的目标是一致的，但难以适应现在大众化教育的特点。如果能充分利用现在“互联网+”时代提供的丰富资源，将视频和图片等影音资料融入到教学中，势必会大大改善“数学分析”课堂教学单一、古板的缺点，极大地提高教师的授课效果和学生的学习效率，学生也不会再用“难、抽象”等词语来描述“数学分析”的学习。值得注意的是，“数学分析”是数学类专业课程的一个典型代表，基于“翻转课堂”理念的“数学分析”教学模式的研究必然为其他数学专业课程乃至理工科“高等数学”课程的教学模式改革提供重要的参考。近几年，一些教学工作者对翻转课堂进行了研究。
二、基于“翻转课堂”理念的“数学分析”教学
该部分我们以定积分概念为对象来研究基于“翻转课堂”理念的“数学分析”教学模式。主要通过课前教学素材、课堂教学设计和课后教学反思三个阶段讨论课程的设计流程，根据实际的教学经验阐述教学过程中遇到的问题和解决方案。
（一） 课前教学素材
定积分定义是整个积分理论中最基本也是最重要的概念。因为定义的抽象性，初学的学生理解起来有一定的难度。“翻转课堂”中可以借助视频、PPT 等素材来引入这一概念，即可以做一个课前的教学素材供学生提前学习。在制作课前教学素材时，要力求清晰明了，描述通俗易懂，以激发学生的学习兴趣。例如，可以引入分割的简单实例制作成动画视频，让学生直观地观察分割的过程，从而深刻理解定积分的概念。
（二）课堂教学设计
合理规划课上的时间，适时恰当地引入课前教学素材并让其服务于课堂，利用课上时间实现对知识的内化是实现“翻转课堂”的关键环节。
1.回顾课前教学素材并讨论交流自学中的疑难问题
将学生适当分组，每组选出一个代表在课堂上展示自己在课前素材学习中的收获。其他学生认真倾听，仔细辨识并做好笔记，让学生通过相互学习的方式来提高自己的数学综合能力和解决疑难问题的能力。这一环节不需要占用过长的时间，根据学生学习的情况，能引导学生回顾起视频教学的重要知识即可。在预习与回顾知识后，每个学生心中的疑难问题也更加清晰。针对定积分性质与对应练习中的疑问，教师组织学生在课堂上开展小组之间的交流讨论，通过协作学习来实现数学能力的提升并融会贯通。教师将对学生课前学习中遇到的疑难问题进行讲解。课后让学生进一步思考：
（1）分割的时候是否必须是均分？
（2）每个小区间用矩形近似是否与所取的点有关？
（3）如何用定积分定义计算数列极限？
根据教师给出的问题，让学生以组为单位进行研究探讨。在“翻转课堂”模式教学中，教师虽然把学习的主动权交给了学生，但是也不能忽视教师的主导作用。在学生交流完自己的观点之后，教师要及时对学生的回答进行点评并给出关于以上问题的准确解答并进行讨论总结。
2.布置课堂任务，实现课堂内化
在学生深度理解、掌握了定积分定义的定义之后，就实现了课堂知识的内化。通过内化知识，能够使学生的数学能力提高一个档次。这一环节教师要加深知识的难度，布置好课堂任務，要求学生在规定的时间内完成，以提升学生的效率意识和时间观念。教师要利用课堂有限的时间，选择有代表性的、能够高质量地完成知识内化的典型题目让学生练习，例如下面的题目：
学生完成题目后，教师通过多媒体呈现题目的答案，由小组之间互换批改，对于出错比较多的或者经过讨论仍然不解的题目，汇报给小组长，再由小组长反馈给教师。小组之间交流完后教师根据小组长的反馈情况有侧重点地对题目进行讲解。在课堂学习最后，拿出几分钟由教师与学生共同对本节知识进行总结。这样有利于学生对知识形成体系，把知识整合与升华。教师对整个教学活动过程进行总结性的评价，学生完成对自我学习的评价。
（三）课后教学反思
教师运用“翻转课堂”教学模式上完课后，要及时进行如下几个问题的反思：
（1）给学生布置的提升练习是否合理？
（2）学生在课堂上的表现是否符合预期？
（3）课堂中的教学设计与安排是否恰当？
（4）教学目标是否完成？
在对以上问题进行反思的基础上，教师收集整理课堂中学生反馈的问题和师生共同总结的重、难点，然后通过微信朋友圈等网络交流平台分享给学生，学生可永久地保存这些资料，方便以后问题查阅及复习，利用信息网络方便快捷的优势更好地服务课程教学，扩大学生学习的知识面，让每个学生都得到发展。反思是为了更好地提升教师的教学与实践能力，更好地引导学生开展自觉、有效的学习。
三、翻转课堂教学对师生的要求和意义
1.翻转课堂教学对教师的要求和意义
在传统教学方式中，教师主要准备好课堂要讲的教学内容，整个课堂的大部分时间由教师来掌控。而在翻转课堂教学中，教师要合理确定要翻转的教学内容，还要录制视频或选择优秀的视频资源给学生。此外，还要提出有价值的课堂上的内化内容，在课堂上，教师要参与学生的问题的讨论，并对学生的解答给出正确与否的分析。在讨论过程中，教师要了解学生对翻转内容课下掌握情况，同时在课堂上内化知识时，教师要积极引导学生进行探讨，最后教师对每项内容给出正确解答。由此可见，翻转课堂教学对教师提出了更高的要求，教师不但要具备很高的业务水平，而且要对知识掌握有深度和广度，更要有灵活应对各种问题的能力，因而翻转课堂教学过程对教师提出了极大的挑战，同时对教师来说也是一个成长、学习和提高的过程。
2.翻转课堂教学对学生的要求和意义
因为在翻转课堂教学中，学生要事先在课下通过看视频学习有关内容，这就要求学生有很强的自主学习的意识及自学能力，将知识在课堂上内化时，对学生要求有自我钻研和探索精神。翻转课堂教学对学生的意义在于：这种方式可以满足学生个性化学习的需求，能使学生對所学理论知识有更深刻的理解，也能很好地激发学生的学习兴趣，培养学生间的协作精神，让学生在学习中收获快乐，更能为培养学生科研能力和创新精神打下一定的基础。总之，翻转课堂教学中，课堂变成了师生之间互动的场所，教师的角色由传授者转变成了引导者，实现了先学后教的反转，进而达到了更好的教学效果。
参考文献：
[1]孙太祥，唐金玉，方世祖.发现法在数学分析教学中的应用[J].广西大学学报（自然科学版），2007（S1）.
[2]袁 菲.探讨数学分析课程的教学改革和教学质量的提高[J].大学数学，2010（S1）：62-65.
[3]张金磊，王 颖，张宝辉.翻转课堂教学模式研究[J].远程教育杂志，2012（4）.
[4]钱国贤.翻转课堂教学模式研究[J].教育教学研究，2013（81）.
[5]杨伟杰.翻转课堂：转变与挑战[J].考试周刊，2013（30）.
[6]钟晓流，宋述强，焦丽珍.信息化环境中基于翻转课堂理念的教学设计研究[J].开放教育研究，2013（1）：58-64.
[7]李海龙，邓敏杰，梁存良.基于任务的翻转课堂教学模式设计与应用[J].现代教育技术，2013（9）：46-51.
[8]朱宏洁，朱 赟.翻转课堂及其有效实施策略刍议[J].电化教育研究，2013（8）.
[9]赵兴龙.翻转课堂中知识内化过程及教学模式设计[J].现代远程教育研究，2014（2）.
[10]何克抗.从“翻转课堂”的本质，看“翻转课堂”在我国的未来发展[J].电化教育研究，2014（7）.
[11]金 陵.“翻转课堂”翻转了什么？[J].中国信息技术教育，2012（9）.