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一、提出问题
在一次检测中，笔者意外地发现学生对题目“一个棱长6厘米的正方体，把它削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？”得分率只达到48%，这样的数据使笔者大吃一惊。这样的题型学生并不是第一次接触，而且在上一次的检测中学生不是掌握的好好的，为什么时隔两天，就出现这种反差呢？
二、探析成因
针对这次反差现象，笔者把两次检测的题目进行了整理，对六（3）班的全体同学进行了调查：
调查题目：
1.一个棱长6厘米的正方体，把它削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？
2.有块正方体的木料，它的棱长是4厘米。把这块木料加工成一个最大的圆柱（如右图）。这个圆柱的体积是多少？
调查结果：
分析结果：从上面的数据中我们不难发现：学生做第一题时，有部分学生在读完题后，就束手无策，无何下手，无法从抽象的文字中读懂题意，同时又缺乏以形解数的意识；但是做第二题时，刚才无从下手的学生却很顺利地找到解决问题的关键。会出现这些现象，是因为小学生的思维以形象、直观为主，当题目以图形呈现时，思维一下子被调动起来，在直观的图形中找到了问题的关键，充分体现了以形解数的优越性。
三、运用策略
顯而易见，画图策略是小学生解决问题的有效策略，但是我们在教学中如何向学生渗透“以形解数”的数学思想，使这种“隐形”的思想，变成“有形”的策略，下面笔者将结合自己的教学经验，将从三个方面谈一谈以形解数的有效策略。
策略一：实物图——以形“摆”数
“数学广角”的知识较抽象，难以理解，同时小学生年龄小，理解能力有限，思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，很难从错综复杂的信息中分析题意。我们可以借助直观、形象的实物图让学生动手摆一摆，化抽象为形象，同时又让学生经历形象到抽象这一思维发展过程，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
[案例1]人教版三年级上册《搭配问题》教学片断：师：为什么有些组找得重复了、遗漏了，但有些组一次就能找全了呢？他们是怎样找全的，这就是我们今天好好研究的问题。师：哪些小组找全啦！能向同学们介绍一下你们是怎样一次找全？生：我们小组先把上装1，分别与下装配成三套衣服，上装1配完了；再拿出上装2，又与下装配成3套，这样合起来就有6套啦！师：原来你们就是用这种先怎样，再怎样，有顺序的方法，把搭配的结果找全的。
[分析]让学生经历“分一分，摆一摆，说一说，连一连”整个数学化的过程，解决“两件上衣与三条裤子的搭配问题”。教师通过创设“分一分、摆一摆”实物图，实现了“从静到动”的飞跃，学生从“分一分”到“连一连”，充分经历了由形象到抽象的思维发展的过程，找到搭配的规律。初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。
策略二：示意图——以形“构”数
思想的优化是在可行的方案中挑选最优的方案的思维过程。学生在经历方案的形成、对比，优化等过程，这些思维过程较复杂、抽象，学生难以用语言描述方案。这时可以使用示意图的形式把方案的意思表示出来，直观清晰地展示方案，本质地反映问题，使抽象复杂的问题变得形象具体，有利于方案的对比，从而达到优化的目的。
[案例2]人教版五年级下册《打电话》教学片断：师：如果打一个电话需要1分钟，通知完15个同学要多长时间呢？生：15分钟。师：怎么通知的？生：一个接一个通知。师：也就是说让知道消息的我一个一个通知给每个同学，是吗？能不能寻找一种更节省时间的方式呢？生：可以分组通知。师：如果我们分成3组。下面请同学们画一画，又需要几分钟？师：你们觉得这个方案是不是最省时间呢？生：不是最省时间，因为在第五分钟的时候第1组已经通知完自己的组员了，但是第2组和第3组还有人在等通知。师：也就是说，让所有知道消息的人都一直打电话不闲着，马上通知其他人。
[分析]教材的编写是想让学生通过方案的对比，然后进行优化。如果只是以文字描述，很难把思路描述清楚，同时也很难进行方案优化。但是学生通过不同方案的示意图展示，就能清晰地分析出每一分钟所起的变化，有利于学生通过形象的示意图逐步发现和理解规律。从而形成最优化的策略——必须让所有知道消息的人都一直打电话不闲着，马上通知其他人。这样的示意图富有层次感，更体现符号化，使复杂的关系更形象、更具体。
策略三：线段图——以形“建”数
数学模型的建立，是一个非常抽象的过程，如果教师一味的从抽象的字面去分析题意，用抽象的文字或语言描述数量关系，学生理解起来有一定的难度。借助线段图，可以把复杂的信息进行分析、梳理，从而使抽象的文字在形象、直观的线段图中展示，使抽象的问题具体化，有利于学生正确分析题意、建立数学模型。
[案例3]人教版四年级下册《植树问题》教学片断：师：现在请只种一端的同学把你们的作品向同学说一说，你们是怎样想的，好吗？生1：我们选了全长20米进行研究，我们发现20米有4个间隔，而只种一端的话，树的棵数刚好与间隔数相等。生2：我们研究全长是30米时，间隔数有6个，棵树也是6棵。师：你们的发现可真了不起！哪两端都种时，棵数和间隔数还是会相等吗？生：两端都种，应该棵数会比间隔数多1。师：如果两端都不种的情况下，又是如何呢？生：棵数应该比间隔数少1。
[分析]我们会发现在这里老师只是组织者和引导者，学生才是学习的主人，他们不用老师讲什么，一切尽在画中理解。由于棵数与间隔数的关系太多，如果死记硬背的话，很容易把它们的关系搞错。无须记忆，只要在草稿纸上画一个简单的线段，种上三五棵，发现棵数与间隔数的一一对应关系，其中的道理不就一下子就明白了吗？
由于画图策略可以借助图形把复杂的数学问题简单化，有效的突破重难点，促进数量关系的构建；通过图形进行观察、对比，有利于数学方法的优化；根据直观认识来研究数学概念和性质，有助于建构数学模型与揭示规律。但是，运用画图策略解决数学问题，这种意识学生绝不是与生俱来的。因此，我们在日常的教学中，要有意地、经常地采用画图分析问题，不断渗透画图策略，使学生逐步领会，最终形成策略。
在一次检测中，笔者意外地发现学生对题目“一个棱长6厘米的正方体，把它削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？”得分率只达到48%，这样的数据使笔者大吃一惊。这样的题型学生并不是第一次接触，而且在上一次的检测中学生不是掌握的好好的，为什么时隔两天，就出现这种反差呢？
二、探析成因
针对这次反差现象，笔者把两次检测的题目进行了整理，对六（3）班的全体同学进行了调查：
调查题目：
1.一个棱长6厘米的正方体，把它削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？
2.有块正方体的木料，它的棱长是4厘米。把这块木料加工成一个最大的圆柱（如右图）。这个圆柱的体积是多少？
调查结果：
分析结果：从上面的数据中我们不难发现：学生做第一题时，有部分学生在读完题后，就束手无策，无何下手，无法从抽象的文字中读懂题意，同时又缺乏以形解数的意识；但是做第二题时，刚才无从下手的学生却很顺利地找到解决问题的关键。会出现这些现象，是因为小学生的思维以形象、直观为主，当题目以图形呈现时，思维一下子被调动起来，在直观的图形中找到了问题的关键，充分体现了以形解数的优越性。
三、运用策略
顯而易见，画图策略是小学生解决问题的有效策略，但是我们在教学中如何向学生渗透“以形解数”的数学思想，使这种“隐形”的思想，变成“有形”的策略，下面笔者将结合自己的教学经验，将从三个方面谈一谈以形解数的有效策略。
策略一：实物图——以形“摆”数
“数学广角”的知识较抽象，难以理解，同时小学生年龄小，理解能力有限，思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，很难从错综复杂的信息中分析题意。我们可以借助直观、形象的实物图让学生动手摆一摆，化抽象为形象，同时又让学生经历形象到抽象这一思维发展过程，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
[案例1]人教版三年级上册《搭配问题》教学片断：师：为什么有些组找得重复了、遗漏了，但有些组一次就能找全了呢？他们是怎样找全的，这就是我们今天好好研究的问题。师：哪些小组找全啦！能向同学们介绍一下你们是怎样一次找全？生：我们小组先把上装1，分别与下装配成三套衣服，上装1配完了；再拿出上装2，又与下装配成3套，这样合起来就有6套啦！师：原来你们就是用这种先怎样，再怎样，有顺序的方法，把搭配的结果找全的。
[分析]让学生经历“分一分，摆一摆，说一说，连一连”整个数学化的过程，解决“两件上衣与三条裤子的搭配问题”。教师通过创设“分一分、摆一摆”实物图，实现了“从静到动”的飞跃，学生从“分一分”到“连一连”，充分经历了由形象到抽象的思维发展的过程，找到搭配的规律。初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。
策略二：示意图——以形“构”数
思想的优化是在可行的方案中挑选最优的方案的思维过程。学生在经历方案的形成、对比，优化等过程，这些思维过程较复杂、抽象，学生难以用语言描述方案。这时可以使用示意图的形式把方案的意思表示出来，直观清晰地展示方案，本质地反映问题，使抽象复杂的问题变得形象具体，有利于方案的对比，从而达到优化的目的。
[案例2]人教版五年级下册《打电话》教学片断：师：如果打一个电话需要1分钟，通知完15个同学要多长时间呢？生：15分钟。师：怎么通知的？生：一个接一个通知。师：也就是说让知道消息的我一个一个通知给每个同学，是吗？能不能寻找一种更节省时间的方式呢？生：可以分组通知。师：如果我们分成3组。下面请同学们画一画，又需要几分钟？师：你们觉得这个方案是不是最省时间呢？生：不是最省时间，因为在第五分钟的时候第1组已经通知完自己的组员了，但是第2组和第3组还有人在等通知。师：也就是说，让所有知道消息的人都一直打电话不闲着，马上通知其他人。
[分析]教材的编写是想让学生通过方案的对比，然后进行优化。如果只是以文字描述，很难把思路描述清楚，同时也很难进行方案优化。但是学生通过不同方案的示意图展示，就能清晰地分析出每一分钟所起的变化，有利于学生通过形象的示意图逐步发现和理解规律。从而形成最优化的策略——必须让所有知道消息的人都一直打电话不闲着，马上通知其他人。这样的示意图富有层次感，更体现符号化，使复杂的关系更形象、更具体。
策略三：线段图——以形“建”数
数学模型的建立，是一个非常抽象的过程，如果教师一味的从抽象的字面去分析题意，用抽象的文字或语言描述数量关系，学生理解起来有一定的难度。借助线段图，可以把复杂的信息进行分析、梳理，从而使抽象的文字在形象、直观的线段图中展示，使抽象的问题具体化，有利于学生正确分析题意、建立数学模型。
[案例3]人教版四年级下册《植树问题》教学片断：师：现在请只种一端的同学把你们的作品向同学说一说，你们是怎样想的，好吗？生1：我们选了全长20米进行研究，我们发现20米有4个间隔，而只种一端的话，树的棵数刚好与间隔数相等。生2：我们研究全长是30米时，间隔数有6个，棵树也是6棵。师：你们的发现可真了不起！哪两端都种时，棵数和间隔数还是会相等吗？生：两端都种，应该棵数会比间隔数多1。师：如果两端都不种的情况下，又是如何呢？生：棵数应该比间隔数少1。
[分析]我们会发现在这里老师只是组织者和引导者，学生才是学习的主人，他们不用老师讲什么，一切尽在画中理解。由于棵数与间隔数的关系太多，如果死记硬背的话，很容易把它们的关系搞错。无须记忆，只要在草稿纸上画一个简单的线段，种上三五棵，发现棵数与间隔数的一一对应关系，其中的道理不就一下子就明白了吗？
由于画图策略可以借助图形把复杂的数学问题简单化，有效的突破重难点，促进数量关系的构建；通过图形进行观察、对比，有利于数学方法的优化；根据直观认识来研究数学概念和性质，有助于建构数学模型与揭示规律。但是，运用画图策略解决数学问题，这种意识学生绝不是与生俱来的。因此，我们在日常的教学中，要有意地、经常地采用画图分析问题，不断渗透画图策略，使学生逐步领会，最终形成策略。