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有幸聆听了四川省特级教师郑大明执教的“○与□玩数学”一课，很受启发。他大胆地对教材资源与学生经验资源重新整合，利用○和□学具，带领三年级学生将第一学段已学过“比差”与“比倍”关系的知识，进行系统化构建并符号化陈述，有效诠释符号化思想的渗透方法。听后让笔者感受到：数学的抽象符号，原来也妙而可“言”。纵观此节课，体现了前瞻性、系统性、延续性。
片段一 玩中感知对应，言之有“实”
课前，组织学生用1、2、3等数字做“玩口令”“唱歌曲”“走舞步”活动，体会数字符号与动作、节拍之间的对应关系。
师：下面来做抢凳子游戏。
（第一轮：4人2张凳子）
师：请两位男同学和两位女同学上来。我先给4个人编个号，不然谁赢了都不知道。
（1、2、3、4的号码贴在学生胸前，随鼓声走动。鼓声停，四人挤到两张凳子上，全班大笑）
师：1人只能坐一张凳子，现在几个人坐一张了？再抢一次。
师：现在是几号先抢到了？
生：2号和3号。
师：为了备忘，怎样记录比赛结果呢？
生：用笔写在本子上。
师：好，还有呢？
生1：看他是几号。
生2：找规律。
师：请看（图1），老师用□1、2、3、4这四个号码表示同学，○表示椅子。
■
图1 图2
师：看出谁抢到了凳子？
生：2号和3号。
师：好，我们给他们记一个符号。
（课件：在2号和3号□下分别对应1个○）
（第二轮游戏，4人4张凳子）
活动结果记录如图2
……
师：一人一张凳子这种现象在数学上给它取个什么名字呢？
生1：平均分，
生2：人凳相等，
生3：一模一样，
生4：一人一张。
师：在数学上有专门的名词：对应。又叫“一一对应”。可以简称它“一对一”。
【赏析】在一唱、一跳、一抢间，让学生初步感知了歌词与音符对应、舞步与节奏对应、人与椅子对应，并在记录抢椅子的结果时产生了新的需要——用符号更简洁方便。从而自然引出数字符号、图形符号，并行动感知“一一对应”。就在可爱的孩子们出现了“4人挤在2张凳子上”时，引起全班的哄笑，很明显是大家犯了“一凳一人”的规则，也就是“不对应”，从而“再玩一次”，给了学生一次纠错和体验成功的机会。教师没有动怒，而是解读孩子错误的原因，并进行引导：“一人只能坐一张凳子，现在看看几个人坐了一张凳子？”教师找到了孩子学习的认知起点和经验起点。在这样开心的“玩”中，创造“对应”的事实，学生真实地用“平均分”“人凳相等”“一模一样”“一人一张”等表达自己的想法，描述什么叫“一一对应”的事实，初步形成动作表征。
本节课的教学决策践行了《数学课程标准》（2011年版）新理念中的“双基变四基”，不仅关注了“基本知识”和“基本技能”，同时，也发展了“对应”“分类”“符号化”等“数学思想”，并且积累了一定的“基本活动经验”。对第一学段一类知识进行系统疏理，“实现了概念到行为的认知穿梭。”同时，也给我们一线教师以启发，要“跳出教材教教材”，在学习过程中，适时来个“深深的回眸”，回看来时路，才能做到心中有数，才能对后面的学习有的放矢。符号化思想，是《数学课程标准》（2011版）提出的重要的数学思想之一，常被一线老师所忽视，但却是小学数学教学中的一个不可或缺的重要思想。郑老师前瞻性地看问题，不愧是一个数学特级教师，更不愧是一位优秀的、具体引领理念的数学教研员。
片段二 做中体验对应，言之有“理”
课件出示：
（1） 摆一摆：取出信封里的纸片，把形状相同的摆在一起。
（2） 比一比：先数数○和□分别有几个，再比○和□谁多谁少。
（3） 说一说：用一句话说一说○和□的个数的关系，看谁的说法多。
（课件出示小组汇报结果——图3）。
■
图3
师：如果要把第一小组○与□“1对1”，怎么办？
生：可以增加两个○。
师：对，增加两个○，就成了第二组了。在上面的两组图形中，第一组，总数上比标准少，叫“比少”。一个一个看，不够“1对1”。第二组，总数上与标准相同，叫做“同样多”。一个一个看，正好“1对1”。下面的能够这样说下去吗？
生：第三组，整体上比标准多，叫“比多”。6个○与4个□比，比□多，除了“1对1”，还有两个。
师：第四组一个一个地对应有什么特点？
生1：12个○比4个□多8个。
生2：一个一个看，12个○与4个○对了三次，就是三个同样多。
生3：一个一个看，每个○与每个□也对了3次。
师：所以，我们就说12个○是——
生：12个○是4个□的3倍。
【赏析】在一摆、一想、一说间，有机渗透了分类思想和对应思想。四个小组从操作中发现，材料“标准量”都是4个□，比较量则是个数在不停变化的○，从而引出两数相比出现的四种情况：“比…少”“同样多”“比…多”“…是…几倍”，这样过渡不仅妙在浑然天成，而且实现了教学资源利用的最大化，并在“统一标准”下，通过“一一对应”，降低了学习难度，从而把“差比”与“倍比”问题化归为“对应中的数学问题”。就在学生观察分析，发现规律后，教师突然话锋一转“如果要○与□‘1对1’，怎么办？”把这节课的思维推上了高潮，在动手操作的经验基础上，学生很快想到了实现“1对1”的可行方法——去多补少。在回忆经历知识的形成过程中，对符号呈现出来的结果，因为有了明确的“标准”，所以陈述时就很有“理”，让感性的认识经历了“数学化”的过程，进而形成表象表征。
学生获得的知识往往是零散的，因为年龄小，很难自觉构建知识体系。郑老师的这一课，实现了一个学段一类知识的整合与梳理。整节课，教师从“比多”“比少”“比倍”的知识点，巧妙地由“点状知识”走向“网状系统”，即形成对应中的数学问题。这样的资源整合，颇有“大珠小珠落玉盘”之感。教师还耐心解读学生的错误之源，尊重每个学生的思考成果，为学生的后续学习疏通认识上的障碍，并让每一位学生都有心里安然，开心投入学习。 片段三 比中领悟对应，言之有“据”
师：拿出○和□，摆一摆，说一说。（课件出示）
■
师：第一题，谁跟谁比？整体上看，谁多，谁少？
生1：与蔬菜比。蔬菜多，水果少。
生2：她错了，蔬菜比水果多2种。
生3：跟水果比，蔬菜多，多2种。
师：这题是跟水果比，水果看作标准，4种水果我们就摆4个□（课件：4个□）。蔬菜比水果多两种，接着摆下去，该摆几个○？
生：我想，既然水果有4种，那蔬菜一定也有4种，而且一个一个数着看，蔬菜还多两种，要再加两个○。（课件：在4个□下面对应4个○，又增摆2个○）
师：说得太对了！怎样列式？
生：4＋2＝6。
师：现在看第二道题，谁跟谁比？整体上看谁多谁少？
……
师：现在是几瓶可乐？算式——
生：5瓶。2＋3＝5。
师：比较一下，两题中一个“比多”，一个“比少”，但都用了什么方法？
生：加法。
师：所以千万不能见“多”就加，见“少”就减，关键是要仔细读题，看清楚题目的条件和问题。
【赏析】此环节通过“摆学具——画图形——比异同——说想法”的流程，体现了“二巧”，即“巧过渡”“巧变式”。让学生从具体形象的思维过渡，逐渐抽象出数学模型。然后通过比较，用语言陈述符号的内在含义。这样设计，很符合中低年级学生的思维发展水平，为学生的数学建模搭建阶梯。在“摆一摆”和“做一做”的习题设计中，也别具匠心，涵盖了“…比…多…”“…比…少…”“…是…几倍…”知识点，并作了“巧变式”：标准量已知，求比较量；比较量已知，求标准量；而这些，只要搞明白，“跟谁比”、“谁来比”，即可“一窍通，百窍同”，从而达到以不变应万变。先找标准，再来比较，成了此节课的抓手，也为高年级“比与比例”、“分数应用题”作了一个厚实的铺垫。最值得一提的是，在操作中证明了一个低年级多年的认识错误，即见“少”就用减法，见“多”就用加法的计算误区。让学生眼见为实，有理有据，最后形成了高层次的符号表征。
这节课，不仅实现了知识的再创造，而且在“抢凳子”“数纸片”“找规律”“摆图形”“画图形”等活动中，积累了“基本的活动经验”，玩转了加、减、乘、除的互相联系。这样的尝试，不仅是对第一学段整数对应中的数学问题作了一个总结交代，也为第二学段“比的应用”“分数应用题”的学习送上了一把金钥匙——在计算中如何找标准量。
布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。本节课的教学正是遵从学生“已有经验——到直接经验——再过渡到经验的符号性表象”，为学生提供了经验的获得过程，从而实现了学生正确用语言陈述抽象的数学符号的内在含义。 （作者单位：江苏省淮安市新民路小学）
责任编辑 孙恭伟
E-mail:[email protected]
片段一 玩中感知对应，言之有“实”
课前，组织学生用1、2、3等数字做“玩口令”“唱歌曲”“走舞步”活动，体会数字符号与动作、节拍之间的对应关系。
师：下面来做抢凳子游戏。
（第一轮：4人2张凳子）
师：请两位男同学和两位女同学上来。我先给4个人编个号，不然谁赢了都不知道。
（1、2、3、4的号码贴在学生胸前，随鼓声走动。鼓声停，四人挤到两张凳子上，全班大笑）
师：1人只能坐一张凳子，现在几个人坐一张了？再抢一次。
师：现在是几号先抢到了？
生：2号和3号。
师：为了备忘，怎样记录比赛结果呢？
生：用笔写在本子上。
师：好，还有呢？
生1：看他是几号。
生2：找规律。
师：请看（图1），老师用□1、2、3、4这四个号码表示同学，○表示椅子。
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图1 图2
师：看出谁抢到了凳子？
生：2号和3号。
师：好，我们给他们记一个符号。
（课件：在2号和3号□下分别对应1个○）
（第二轮游戏，4人4张凳子）
活动结果记录如图2
……
师：一人一张凳子这种现象在数学上给它取个什么名字呢？
生1：平均分，
生2：人凳相等，
生3：一模一样，
生4：一人一张。
师：在数学上有专门的名词：对应。又叫“一一对应”。可以简称它“一对一”。
【赏析】在一唱、一跳、一抢间，让学生初步感知了歌词与音符对应、舞步与节奏对应、人与椅子对应，并在记录抢椅子的结果时产生了新的需要——用符号更简洁方便。从而自然引出数字符号、图形符号，并行动感知“一一对应”。就在可爱的孩子们出现了“4人挤在2张凳子上”时，引起全班的哄笑，很明显是大家犯了“一凳一人”的规则，也就是“不对应”，从而“再玩一次”，给了学生一次纠错和体验成功的机会。教师没有动怒，而是解读孩子错误的原因，并进行引导：“一人只能坐一张凳子，现在看看几个人坐了一张凳子？”教师找到了孩子学习的认知起点和经验起点。在这样开心的“玩”中，创造“对应”的事实，学生真实地用“平均分”“人凳相等”“一模一样”“一人一张”等表达自己的想法，描述什么叫“一一对应”的事实，初步形成动作表征。
本节课的教学决策践行了《数学课程标准》（2011年版）新理念中的“双基变四基”，不仅关注了“基本知识”和“基本技能”，同时，也发展了“对应”“分类”“符号化”等“数学思想”，并且积累了一定的“基本活动经验”。对第一学段一类知识进行系统疏理，“实现了概念到行为的认知穿梭。”同时，也给我们一线教师以启发，要“跳出教材教教材”，在学习过程中，适时来个“深深的回眸”，回看来时路，才能做到心中有数，才能对后面的学习有的放矢。符号化思想，是《数学课程标准》（2011版）提出的重要的数学思想之一，常被一线老师所忽视，但却是小学数学教学中的一个不可或缺的重要思想。郑老师前瞻性地看问题，不愧是一个数学特级教师，更不愧是一位优秀的、具体引领理念的数学教研员。
片段二 做中体验对应，言之有“理”
课件出示：
（1） 摆一摆：取出信封里的纸片，把形状相同的摆在一起。
（2） 比一比：先数数○和□分别有几个，再比○和□谁多谁少。
（3） 说一说：用一句话说一说○和□的个数的关系，看谁的说法多。
（课件出示小组汇报结果——图3）。
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图3
师：如果要把第一小组○与□“1对1”，怎么办？
生：可以增加两个○。
师：对，增加两个○，就成了第二组了。在上面的两组图形中，第一组，总数上比标准少，叫“比少”。一个一个看，不够“1对1”。第二组，总数上与标准相同，叫做“同样多”。一个一个看，正好“1对1”。下面的能够这样说下去吗？
生：第三组，整体上比标准多，叫“比多”。6个○与4个□比，比□多，除了“1对1”，还有两个。
师：第四组一个一个地对应有什么特点？
生1：12个○比4个□多8个。
生2：一个一个看，12个○与4个○对了三次，就是三个同样多。
生3：一个一个看，每个○与每个□也对了3次。
师：所以，我们就说12个○是——
生：12个○是4个□的3倍。
【赏析】在一摆、一想、一说间，有机渗透了分类思想和对应思想。四个小组从操作中发现，材料“标准量”都是4个□，比较量则是个数在不停变化的○，从而引出两数相比出现的四种情况：“比…少”“同样多”“比…多”“…是…几倍”，这样过渡不仅妙在浑然天成，而且实现了教学资源利用的最大化，并在“统一标准”下，通过“一一对应”，降低了学习难度，从而把“差比”与“倍比”问题化归为“对应中的数学问题”。就在学生观察分析，发现规律后，教师突然话锋一转“如果要○与□‘1对1’，怎么办？”把这节课的思维推上了高潮，在动手操作的经验基础上，学生很快想到了实现“1对1”的可行方法——去多补少。在回忆经历知识的形成过程中，对符号呈现出来的结果，因为有了明确的“标准”，所以陈述时就很有“理”，让感性的认识经历了“数学化”的过程，进而形成表象表征。
学生获得的知识往往是零散的，因为年龄小，很难自觉构建知识体系。郑老师的这一课，实现了一个学段一类知识的整合与梳理。整节课，教师从“比多”“比少”“比倍”的知识点，巧妙地由“点状知识”走向“网状系统”，即形成对应中的数学问题。这样的资源整合，颇有“大珠小珠落玉盘”之感。教师还耐心解读学生的错误之源，尊重每个学生的思考成果，为学生的后续学习疏通认识上的障碍，并让每一位学生都有心里安然，开心投入学习。 片段三 比中领悟对应，言之有“据”
师：拿出○和□，摆一摆，说一说。（课件出示）
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师：第一题，谁跟谁比？整体上看，谁多，谁少？
生1：与蔬菜比。蔬菜多，水果少。
生2：她错了，蔬菜比水果多2种。
生3：跟水果比，蔬菜多，多2种。
师：这题是跟水果比，水果看作标准，4种水果我们就摆4个□（课件：4个□）。蔬菜比水果多两种，接着摆下去，该摆几个○？
生：我想，既然水果有4种，那蔬菜一定也有4种，而且一个一个数着看，蔬菜还多两种，要再加两个○。（课件：在4个□下面对应4个○，又增摆2个○）
师：说得太对了！怎样列式？
生：4＋2＝6。
师：现在看第二道题，谁跟谁比？整体上看谁多谁少？
……
师：现在是几瓶可乐？算式——
生：5瓶。2＋3＝5。
师：比较一下，两题中一个“比多”，一个“比少”，但都用了什么方法？
生：加法。
师：所以千万不能见“多”就加，见“少”就减，关键是要仔细读题，看清楚题目的条件和问题。
【赏析】此环节通过“摆学具——画图形——比异同——说想法”的流程，体现了“二巧”，即“巧过渡”“巧变式”。让学生从具体形象的思维过渡，逐渐抽象出数学模型。然后通过比较，用语言陈述符号的内在含义。这样设计，很符合中低年级学生的思维发展水平，为学生的数学建模搭建阶梯。在“摆一摆”和“做一做”的习题设计中，也别具匠心，涵盖了“…比…多…”“…比…少…”“…是…几倍…”知识点，并作了“巧变式”：标准量已知，求比较量；比较量已知，求标准量；而这些，只要搞明白，“跟谁比”、“谁来比”，即可“一窍通，百窍同”，从而达到以不变应万变。先找标准，再来比较，成了此节课的抓手，也为高年级“比与比例”、“分数应用题”作了一个厚实的铺垫。最值得一提的是，在操作中证明了一个低年级多年的认识错误，即见“少”就用减法，见“多”就用加法的计算误区。让学生眼见为实，有理有据，最后形成了高层次的符号表征。
这节课，不仅实现了知识的再创造，而且在“抢凳子”“数纸片”“找规律”“摆图形”“画图形”等活动中，积累了“基本的活动经验”，玩转了加、减、乘、除的互相联系。这样的尝试，不仅是对第一学段整数对应中的数学问题作了一个总结交代，也为第二学段“比的应用”“分数应用题”的学习送上了一把金钥匙——在计算中如何找标准量。
布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。本节课的教学正是遵从学生“已有经验——到直接经验——再过渡到经验的符号性表象”，为学生提供了经验的获得过程，从而实现了学生正确用语言陈述抽象的数学符号的内在含义。 （作者单位：江苏省淮安市新民路小学）
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