周期性，三角中研究的较多，代数中研究的较少，下面我们看关于周期函数的几个命题：
　　定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，f（T＋x）＝f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
　　［命题1］若f（x）为偶函数，且f（a＋x）＝f（a－x），x∈R，则2a为函数f（x）的周期。（证明略）
　　［命题2］若f（x）函数满足f（a＋x）＝f（a－x）且f（b＋x）＝f（b－x），x∈R，则2（b－a）为函数f（x）的周期。
　　证明：f［x＋2（b－a）］＝f［b＋（x＋b－2a）］＝f［b－（x＋b－2a）］＝f（2a－x）＝f［a＋（a－x）］＝f［a－（a－x）］＝f（x）。
　　［命题3］若函数f（x）为奇函数，且f（a＋x）＝f（a－x），x∈R，则4a为函数f（x）的周期。
　　证明：f（x＋4a）＝f［a＋（3a＋x）］＝f［a－（3a＋x）］＝f（－2a－x）＝－f（2a＋x）＝－f［a＋（a＋x）］＝－f［a－（a＋x）］＝－f（－x）＝f（x）。
　　［命題4］若函数f（x）满足f（x＋a）＝f（x＋b），（a≠b），x∈R，则 为函数f（x）的周期。
　　证明：当a＞b时， ＝a－b。
　　f［x＋（a－b）］＝f［（x－b）＋a］＝f［（x－b）＋b］＝f（x）。
　　当a＜b时， ＝b－a。
　　f［x＋（b－a）］＝f［（x－a）＋b］＝f［（x－a）＋a］＝f（x）。
　　［命题5］若函数f（x）满足f（x＋a）＝－f（x），x∈R，则2a为函数f（x）的周期。（证明略）
　　［命题6］若函数f（x）满足f（x＋a）＝ ，x∈R，
　　则2a为函数f（x）的周期。
　　证明：f（x＋2a）＝f［（x＋a）＋a］
　　＝ ＝ ＝f（x）
　　［命题7］若函数f（x）满足f（a＋x）＋f（a－x）＝2b且f（m＋x）＋f（m－x）＝2b，x∈R，则2（a－m）为函数f（x）的周期。
　　证明：f［x＋2（a－m）］＝f［（x＋a）＋（a－2m）］＝2b－f［（a－2m）－（x＋a）］＝2b－f（－x－2m）＝2b－f［－m－（x＋m）］＝2b－｛2b－f［－m＋（x＋m）］｝＝f（x）。
　　［命题8］若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x）且f（m＋x）＋f（m－x）＝2n，x∈R，则4（a－m）为函数f（x）的周期。
　　证明：f［x＋4（a－m）］＝f［（2a－4m）＋（x＋2a）］＝f［（2a－4m）－（x＋2a）］＝f（－4m－x）＝f（－4m＋x）＝2n－f（－4m－x）＝2n－f［－2m－（x＋2m）］＝2n－｛2n－f［－2m＋（x＋2m）］｝＝f（x）。
　　例1，［2006年高考数学（山东理科）第6题］已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（ ）。
　　A．－1 B．0 C．1 D．2
　　解：由命题5可知函数f（x）以4为周期的周期函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（6）＝f（2）＝f（－2）＝－f（2）＝0。
　　例2，［2006年高考数学（安徽理科）第15题］函数f（x）
　　对于任意实数x满足条件f（x＋2）＝ ，若f（1）＝－5，
　　则f（f（5）） 。
　　解：由命题6可知函数f（x）以4为周期的周期函数，所以
　　f（1）＝f（5）＝－5，f（－1＋2）＝ ＝－5，故有f（f（5））
　　＝f（－5）＝f（－1）＝－ 。
　　例3，函数f（x）对任意x∈R，有f（x）＋f（－x）＝0，f（x＋1）＝f（x－1），求f（2008）。
　　解：由函数的对称性可知函数f（x）对于坐标原点对称，即函数f（x）是奇函数，所以f（x＋1）＋f（1－x）＝0，由命题7可知函数f（x）以T＝2（1－0）＝2为周期的周期函数，故有f（0）＝0，f（0）＝f（2）＝…＝f（2008）＝0。
　　例4，设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）＝（ ）。
　　A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
　　解：由命题5可知函数f（x）以4为周期的周期函数，∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（7.5）＝f（8－0.5）＝f（－0.5）＝－f（0.5）＝－0.5，故选B。