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【摘要】正、反比例知识的学习有助于促进学生数学思维方式的转变，使其经历重要的转折点：从“静态”到“动态”，从“离散”到“连续”，在“操作”中厘清“关系”。在正比例图像教学中，教师应注重引导学生体验正比例图像的形成过程，感受量的对应性和连续性，体会量的运动和变化。
【关键词】正比例关系 正比例图像 负迁移 “正”生长
小学正、反比例知识的学习意味着学生由“算术知识”向“代数知识”的转变，这是学生从理解“数量”到探索“关系”的明显转折点（五年级的“用字母表示数”和“方程”也是一个重要的转折点）。正、反比例知识的学习有助于促进学生数学思维方式的转变，使其经历重要的转折点：从“静态”到“运动”，从“离散”到“连续”，从“操作”到“关系”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对小学“正比例图像”学习的要求是：“根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。”在苏教版小學数学教材中，学生首先学习“正比例意义”的相关知识，在此基础上再学习“正比例图像”。具体如下：教材首先根据例题1表中的数据，在方格图上描出了各组数据所对应的点，引导学生联系现实问题的背景理解描出的点所表示的意义，再连接图中各点，看能发现什么，进而初步认识正比例图像的特点。在绘制图像后，引导学生根据正比例图像进行判断，解决简单的实际问题，帮助学生进一步理解图像上的点的实际意义，初步体会正比例图像的作用，为今后函数相关知识的学习打下一定的基础。接着学生通过不同形式的练习，进一步感知正比例图像的特点，逐步积累借助图像刻画数量关系的经验，不断感受正比例图像的实际应用价值。
一、课堂实录——正比例图像的探究过程
出示例题1的表格：
师：这是例题1表格中的各组数据，路程与时间成正比例关系，我们可以借助图形来表示它们的变化关系。
（出示横轴）
师：仔细观察，横轴表示哪个数量？
生：横轴表示时间。
（出示纵轴）
师：纵轴表示哪个数量？
生：纵轴表示路程。
（出示完整的含有横轴与纵轴的方格图）（见图1）
师：仔细思考，例题1表中的各组数据可以用方格图中哪些点来表示？哪个点可以表示1小时行80千米？
（学生上台演示）
生：在横轴上找到1小时，在纵轴上找到80千米，它们的交点就表示1小时行驶80千米。
师：那么，你能照样子在方格图上，画出其他各组数据的对应点吗？其他同学也自己动手试一试。
（学生尝试后反馈交流）
师：同学们经过努力，在方格图上找到了表格中每一组数据对应的点。我们知道A点的意思是每小时行驶80公里，那么B点的意思是什么？其他各点呢？（见图2）
生1：点B表示5小时行驶400千米。
生2：点C表示2小时行驶160千米。
生3：点G表示7小时行驶560千米。
……
师：当汽车还没有启动时，也就是说，当行驶时间为零时，汽车行驶的距离是多少千米？
生：0千米。
师：那么图中哪个点可以表示这种状态呢？
（学生在方格图上找到原点）
师：仔细看看描述的每个点的位置。你发现了什么？你能在自己的方格图上，把这些点按顺序连起来吗？
（学生自己尝试连线后思考）
师：连接各点画成的是什么图形？
（教师出示部分学生的连线图，见图3～图6）
师：同学们，请你们思考一下，哪个图形更合理？为什么？
（小组交流后反馈）
生1：应该是一条直线，因为表格中最后一栏是省略号，省略号表示有无数，直线可以无限延长，所以直线合适。
生2：要从0开始画，因为汽车不可能一下子跑到1小时80千米的位置。
生3：不从0开始画，汽车行驶的时间小于1小时就找不到对应的点了。
……
师：回顾刚才的研究过程，我们根据表格中每一组数据，在方格图上找到对应的点，连点成线。直线上的每个点不仅代表时间，还代表相应的路程。这条直线是一幅显示路程与时间之间正比例关系的图像。
二、案例分析——正视学生已有知识经验的负迁移
特级教师贲友林指出：“正比例图像的呈现形式，从表面上看是静止的，但从列表、描点到连线这一过程来看，是运动、变化的。画成的图像从表面上看是完整的，其实是局部的、不完整的，它还可以延伸，即不断地运动、发展、变化。”在正比例图像的实际教学中我们发现，由于受到已有知识经验和学习水平的影响，在正比例图像的制作过程中，学生画出了很多意想不到的图像。分析其中原因，主要有两点：思维特点导致理解有偏差，已有经验对理解产生负迁移。
1.思维特点导致理解有偏差
由于小学六年级学生的发展处于从形象思维到抽象逻辑思维的过渡阶段，要理解正比例图像这样一条“直线”，它还包含“两个变量一个扩大（减少），另一个也扩大（减少），其比值保持不变”这种相互依存的关系是非常困难的。
2.已有经验对理解产生负迁移
与学生熟悉的折线统计图相比，正比例图像与其外观相似：有两个相互垂直的坐标轴;制作过程类似——都是先描点再连线。因此学生很容易将画折线统计图的经验照搬到正比例图像的制作过程中来，从而得到错误的正比例图像。事实上，两者之间的区别是非常明显的：折线统计图的每一个统计数据都是相对独立的，所描述的点是离散的，而在正比例图像中，每个变量的值是连续的，因此描述的点也是连续的。正比例图像反映了两个变量之间相互依存的关系，是若干个连续的点的集合，自然包含“零点”和无限延伸。 三、教学思考——强化正比例图像的形成过程和分析解读过程
在正比例图像的教学中，面对学生已有经验的负迁移，教师要善加利用课堂中生成的“错误资源”进行教学。引导学生在比较、辨析、反思、交流的过程中，建立正确的正比例图像的认识，并在研究中进一步感知两个量的正比例关系，渗透函数思想。
（一）着力于正比例图像的动态形成过程
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此，在正比例图像教学中，教师应注重引导学生体验正比例图像的形成过程，感受量的对应性和连续性，体会量的运动和变化。
1.依据已有经验，找到对应点
通过以往的研究，学生们积累了用数对确定位置的经验。在已有经验的基础上，通过描述点的过程，使学生自觉地将所描述的点与原表中每组数据对应起来，认识到每个点代表汽车在一定时间内行驶的路程，从而了解图像上各点的实际意义。也就是说，每个点代表一组相应的时间和路程的数值。
2.连点成线，认识正比例图像
在连点成线的教学中，抓住学生错误资源，有效生成，让学生通过比较与讨论等学习活动，在思辨中感悟正比例图像的特点。让学生在操作中感知，通过把各个点连接成一条直线的过程，对正比例图像是一条直线有更深刻的体验和理解。讓学生通过学习知道正比例图像是直线，一是有助于学生根据图像的形状，判断两种相关联的量是否成正比例关系;二是可以帮助学生检查自己制作的正比例图像是否正确。
3.应用图像，解决实际问题
根据正比例图像进行判断，估计行驶时间所对应的路程或者行驶路程所对应的时间，要引导学生联系用数对确定位置的经验进行判断。根据图像进行估计，使学生进一步体会正比例图像的意义和作用。通过解决简单的实际问题，有助于培养学生分析问题和解决问题的能力，感受正比例图像的实际应用价值。
（二）着眼于图像的分析解读过程
皮亚杰认为：“比例是函数的最初形式”，抓住机会帮助学生理解两个变量之间的相互依存关系，丰富学生对变量的体验，渗透函数的思想，是小学“正比例图像”教学的核心。因此，在正比例图像的研究中，教师要善于利用丰富的正比例图像教学资源，引导学生在正比例图像分析和解读过程中，充分感受成正比例关系的两种量的变化，并使相应的关系“可视化”。在运用正比例图形解决问题的过程中，帮助学生积累解决问题的经验，促进学生思维的发展，渗透函数思想。
1.注重比较，深化对正比例图像的认识
结合例题（见图7）进行设计，例题中为学生展现了汽车在不同状态下的行驶情况。这三组数据虽然都反映的是路程与时间成正比例关系的两个量，且都是直线，但是由于速度不同，直线呈线的角度不同。学生通过对正比例图像的制作和比较，能够充分体会路程与时间的变化规律，感受到这三组数据，路程与时间的比值（速度）一定，但由于比值（速度）不同，制作的正比例图像也有所不同。速度越快，直线越陡，速度越慢，直线越缓。通过这样的比较实践，将生活经验与数学知识相结合，有助于学生加深对正比例关系的理解，为学生渗透了函数思想。
2.借助不同的生活场景，丰富对正比例图像的认识
教师结合实践中不同的生活场景，精心设计的练习可以丰富学生对正比例图像的理解。例如，汽车速度一定，时间和路程是成正比例关系的两个量;电脑打字的速度不变，字数和时间是成正比例关系的两个量;班级订阅同一种报纸，订阅数量和总价格是成正比例的两个量;弹簧秤悬挂每千克物体的伸长长度一定，悬挂物质量和弹簧伸长长度是成正比例关系的两个量……通过数形结合，变量之间的抽象关系变得生动、直观，为学生今后学习正比例函数和正比例函数图像铺平了道路。
在正比例图像教学中，要正视学生经验的负迁移，这需要教师了解学生已有的知识经验，尊重学生思维特点，通过丰富学生知识探究的过程，合理利用课堂生成资源，让课堂在错误处“正”生长，让学生在错误后有更多的收获和体会。
【参考文献】
[1]刘淑云，刘晓婷.正比例图像教学应该关注什么——由“小学生学习正比例图像的问题”引发的思考[J].小学教学（数学版），2012（12）.
[2]沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.
【关键词】正比例关系 正比例图像 负迁移 “正”生长
小学正、反比例知识的学习意味着学生由“算术知识”向“代数知识”的转变，这是学生从理解“数量”到探索“关系”的明显转折点（五年级的“用字母表示数”和“方程”也是一个重要的转折点）。正、反比例知识的学习有助于促进学生数学思维方式的转变，使其经历重要的转折点：从“静态”到“运动”，从“离散”到“连续”，从“操作”到“关系”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对小学“正比例图像”学习的要求是：“根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。”在苏教版小學数学教材中，学生首先学习“正比例意义”的相关知识，在此基础上再学习“正比例图像”。具体如下：教材首先根据例题1表中的数据，在方格图上描出了各组数据所对应的点，引导学生联系现实问题的背景理解描出的点所表示的意义，再连接图中各点，看能发现什么，进而初步认识正比例图像的特点。在绘制图像后，引导学生根据正比例图像进行判断，解决简单的实际问题，帮助学生进一步理解图像上的点的实际意义，初步体会正比例图像的作用，为今后函数相关知识的学习打下一定的基础。接着学生通过不同形式的练习，进一步感知正比例图像的特点，逐步积累借助图像刻画数量关系的经验，不断感受正比例图像的实际应用价值。
一、课堂实录——正比例图像的探究过程
出示例题1的表格：
师：这是例题1表格中的各组数据，路程与时间成正比例关系，我们可以借助图形来表示它们的变化关系。
（出示横轴）
师：仔细观察，横轴表示哪个数量？
生：横轴表示时间。
（出示纵轴）
师：纵轴表示哪个数量？
生：纵轴表示路程。
（出示完整的含有横轴与纵轴的方格图）（见图1）
师：仔细思考，例题1表中的各组数据可以用方格图中哪些点来表示？哪个点可以表示1小时行80千米？
（学生上台演示）
生：在横轴上找到1小时，在纵轴上找到80千米，它们的交点就表示1小时行驶80千米。
师：那么，你能照样子在方格图上，画出其他各组数据的对应点吗？其他同学也自己动手试一试。
（学生尝试后反馈交流）
师：同学们经过努力，在方格图上找到了表格中每一组数据对应的点。我们知道A点的意思是每小时行驶80公里，那么B点的意思是什么？其他各点呢？（见图2）
生1：点B表示5小时行驶400千米。
生2：点C表示2小时行驶160千米。
生3：点G表示7小时行驶560千米。
……
师：当汽车还没有启动时，也就是说，当行驶时间为零时，汽车行驶的距离是多少千米？
生：0千米。
师：那么图中哪个点可以表示这种状态呢？
（学生在方格图上找到原点）
师：仔细看看描述的每个点的位置。你发现了什么？你能在自己的方格图上，把这些点按顺序连起来吗？
（学生自己尝试连线后思考）
师：连接各点画成的是什么图形？
（教师出示部分学生的连线图，见图3～图6）
师：同学们，请你们思考一下，哪个图形更合理？为什么？
（小组交流后反馈）
生1：应该是一条直线，因为表格中最后一栏是省略号，省略号表示有无数，直线可以无限延长，所以直线合适。
生2：要从0开始画，因为汽车不可能一下子跑到1小时80千米的位置。
生3：不从0开始画，汽车行驶的时间小于1小时就找不到对应的点了。
……
师：回顾刚才的研究过程，我们根据表格中每一组数据，在方格图上找到对应的点，连点成线。直线上的每个点不仅代表时间，还代表相应的路程。这条直线是一幅显示路程与时间之间正比例关系的图像。
二、案例分析——正视学生已有知识经验的负迁移
特级教师贲友林指出：“正比例图像的呈现形式，从表面上看是静止的，但从列表、描点到连线这一过程来看，是运动、变化的。画成的图像从表面上看是完整的，其实是局部的、不完整的，它还可以延伸，即不断地运动、发展、变化。”在正比例图像的实际教学中我们发现，由于受到已有知识经验和学习水平的影响，在正比例图像的制作过程中，学生画出了很多意想不到的图像。分析其中原因，主要有两点：思维特点导致理解有偏差，已有经验对理解产生负迁移。
1.思维特点导致理解有偏差
由于小学六年级学生的发展处于从形象思维到抽象逻辑思维的过渡阶段，要理解正比例图像这样一条“直线”，它还包含“两个变量一个扩大（减少），另一个也扩大（减少），其比值保持不变”这种相互依存的关系是非常困难的。
2.已有经验对理解产生负迁移
与学生熟悉的折线统计图相比，正比例图像与其外观相似：有两个相互垂直的坐标轴;制作过程类似——都是先描点再连线。因此学生很容易将画折线统计图的经验照搬到正比例图像的制作过程中来，从而得到错误的正比例图像。事实上，两者之间的区别是非常明显的：折线统计图的每一个统计数据都是相对独立的，所描述的点是离散的，而在正比例图像中，每个变量的值是连续的，因此描述的点也是连续的。正比例图像反映了两个变量之间相互依存的关系，是若干个连续的点的集合，自然包含“零点”和无限延伸。 三、教学思考——强化正比例图像的形成过程和分析解读过程
在正比例图像的教学中，面对学生已有经验的负迁移，教师要善加利用课堂中生成的“错误资源”进行教学。引导学生在比较、辨析、反思、交流的过程中，建立正确的正比例图像的认识，并在研究中进一步感知两个量的正比例关系，渗透函数思想。
（一）着力于正比例图像的动态形成过程
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此，在正比例图像教学中，教师应注重引导学生体验正比例图像的形成过程，感受量的对应性和连续性，体会量的运动和变化。
1.依据已有经验，找到对应点
通过以往的研究，学生们积累了用数对确定位置的经验。在已有经验的基础上，通过描述点的过程，使学生自觉地将所描述的点与原表中每组数据对应起来，认识到每个点代表汽车在一定时间内行驶的路程，从而了解图像上各点的实际意义。也就是说，每个点代表一组相应的时间和路程的数值。
2.连点成线，认识正比例图像
在连点成线的教学中，抓住学生错误资源，有效生成，让学生通过比较与讨论等学习活动，在思辨中感悟正比例图像的特点。让学生在操作中感知，通过把各个点连接成一条直线的过程，对正比例图像是一条直线有更深刻的体验和理解。讓学生通过学习知道正比例图像是直线，一是有助于学生根据图像的形状，判断两种相关联的量是否成正比例关系;二是可以帮助学生检查自己制作的正比例图像是否正确。
3.应用图像，解决实际问题
根据正比例图像进行判断，估计行驶时间所对应的路程或者行驶路程所对应的时间，要引导学生联系用数对确定位置的经验进行判断。根据图像进行估计，使学生进一步体会正比例图像的意义和作用。通过解决简单的实际问题，有助于培养学生分析问题和解决问题的能力，感受正比例图像的实际应用价值。
（二）着眼于图像的分析解读过程
皮亚杰认为：“比例是函数的最初形式”，抓住机会帮助学生理解两个变量之间的相互依存关系，丰富学生对变量的体验，渗透函数的思想，是小学“正比例图像”教学的核心。因此，在正比例图像的研究中，教师要善于利用丰富的正比例图像教学资源，引导学生在正比例图像分析和解读过程中，充分感受成正比例关系的两种量的变化，并使相应的关系“可视化”。在运用正比例图形解决问题的过程中，帮助学生积累解决问题的经验，促进学生思维的发展，渗透函数思想。
1.注重比较，深化对正比例图像的认识
结合例题（见图7）进行设计，例题中为学生展现了汽车在不同状态下的行驶情况。这三组数据虽然都反映的是路程与时间成正比例关系的两个量，且都是直线，但是由于速度不同，直线呈线的角度不同。学生通过对正比例图像的制作和比较，能够充分体会路程与时间的变化规律，感受到这三组数据，路程与时间的比值（速度）一定，但由于比值（速度）不同，制作的正比例图像也有所不同。速度越快，直线越陡，速度越慢，直线越缓。通过这样的比较实践，将生活经验与数学知识相结合，有助于学生加深对正比例关系的理解，为学生渗透了函数思想。
2.借助不同的生活场景，丰富对正比例图像的认识
教师结合实践中不同的生活场景，精心设计的练习可以丰富学生对正比例图像的理解。例如，汽车速度一定，时间和路程是成正比例关系的两个量;电脑打字的速度不变，字数和时间是成正比例关系的两个量;班级订阅同一种报纸，订阅数量和总价格是成正比例的两个量;弹簧秤悬挂每千克物体的伸长长度一定，悬挂物质量和弹簧伸长长度是成正比例关系的两个量……通过数形结合，变量之间的抽象关系变得生动、直观，为学生今后学习正比例函数和正比例函数图像铺平了道路。
在正比例图像教学中，要正视学生经验的负迁移，这需要教师了解学生已有的知识经验，尊重学生思维特点，通过丰富学生知识探究的过程，合理利用课堂生成资源，让课堂在错误处“正”生长，让学生在错误后有更多的收获和体会。
【参考文献】
[1]刘淑云，刘晓婷.正比例图像教学应该关注什么——由“小学生学习正比例图像的问题”引发的思考[J].小学教学（数学版），2012（12）.
[2]沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.