探究性学习最根本的特点是学生自主、独立的发现问题;其目标不仅仅是知识与技能、情感与态度的发展,更主要的是探究精神和创新能力的发展;探究既是一种学习方式,也是一种学习过程。
　　问题空间有多大,学生探究的空间就有多大。平时我们所说的开放性问题就能给学生提供探究空间。问题的设计可以来自于教师,也可以发动学生来设计问题。教师要从教学目标出发,更多地设计一些开放性的问题和探究类的问题。在进行例题教学中,可以对例题进行种种变式,设计成开放问题,学生在这个问题空间里,思维没有受阻,思维会尽可能的得到锻炼,性情也会得到陶冶。在解决问题的过程中,可以使学生自主学习、合作学习和交流活动得到极大限度的发挥,一环扣一环的问题使学生的思维始终处于兴奋状态,思维能力也会在问题探究中得到提高。
　　教学内容问题化,教学过程探索化,是研究性学习在课堂教学中的两个最显著的特征,深入挖掘例题也是探究性学习的基础。
　　题目:椭圆+=1的焦点为F1,F2,设点P为其上的动点,问当P点运动到哪一点时,使得∠F1PF2取到最大值。
　　分析:由于椭圆+=1关于两坐标轴对称,只需考虑点P在第一象限的运动和变换。
　　解:∵a=3 b=2 c= ∴|PF1|+|PF2|=6|F1F2|=2
　　∵|PF1|2+|PF2|2≥
　　|PF1|·|PF2|≥()
　　∴≥
　　在△F1PF2中,cos∠F1PF2=
　　≥·[-|F1F2|2]=-
　　当且仅当|PF1|+|PF2|时取等号。
　　又因为y=cot∠F1PF2在区间[0,π]单调递减。
　　所以,当点P运动到B2点时,∠F1PF2取到了最大值。
　　结论:当P点运动到B2点时最大,此时余弦值为-。
　　探究1:当点P在椭圆上运动时,∠F1PF2的变化趋势是怎么样呢?下面我们来构造∠F1PF2一个的函数,从函数的角度去研究它的变化趋势。
　　设|PF2|=x则|PF1|=6-xx∈「3-,3」所以在△F1PF2中,cos∠F1PF2==
　　 =1-
　　令y=x2-6x则此函数在区间「3-,3」内是减函数,所以由复合函数性质可知cos∠F1PF2=-1-在区间「3-,3」上是减函数。
　　又因为y=cos∠F1PF2在区间[0,π]上单调递减。
　　所以在F1PF2区间[0,3]
　　结论:所以当点P从点A2运动到B2时,∠F1PF2从0度逐渐增大,到达B2时最大。
　　探究2:把椭圆+=1变为一般的椭圆+=1(a>b>0)时,上面结论是否仍能成立?
　　设|PF2|=x则|PF1|=2a-xx∈|a-c,a|
　　所以在△F1PF2中,
　　cos∠F1PF2=
　　=
　　==1+
　　∵a2-c2>0,a>0
　　∴函数y=x2-2ax在区间[a-c,a]内是减函数,所以由复合函数性质可知cos∠F1PF2=1+在区间[a-c,a]上是减函数。
　　又因为y=cosx在区间[0,π]上单调递减
　　所以∠F1PF2在区间[0,π]是增函数。
　　结论:所以当点P从点A2运动到B2时,∠F1PF2从0度逐渐增大,到达B2时最大。
　　探究3:进一步推广,把点F1,F2变为T1(-t,0),T2(t,0)(0　　用几何画板进行探究,发现∠F1PF2有这个变化趋势。
　　证:连结OP,记|PT1|=r1,|PT2|=r2,|OP|=d,
　　在△POT1中,由余弦定理知
　　 r12=t2+d2-2td cos∠POT1 (1)
　　同理r22=t2+d2+2td cos∠POT1 (2)
　　由(1)+(2)得r12+r22=2t2+2d2
　　又在△PF1F2中,由余弦定理知
　　cos∠T1PT2= (3)
　　△PT1T2的面积s=r1r2sin∠F1PF2
　　∴sin∠T1PT2=(4)
　　由(3)÷(4)得cot∠T1PT2=
　　∴cot∠T1PT2===
　　设点P(x,y)(x≥0,y>0),d2=x2+y2,s=2ty
　　由+=1知,x2=a2(1-)=a2-y2
　　∴cos∠T1PT2==
　　=
　　=y+·(0　　∵1-<0,t>0,a2-t2≥0
　　∴cot∠T1PT2在[0,b]上单调递减。
　　又因为cot∠T1PT2在[0,π]上单调递减
　　所以∠T1PT2在[0,6]上单调递增。
　　即当点P由A2向B2运动时,∠T1PT2逐渐变大并且在B2点使得∠T1PT2达最大值。
　　学习方式是一个组合概念,自主学习、合作学习和探究学习才是学习方式的有机组成部分,探究性学习只是其中一种,要想培养学生的探究意识,必须与自主学习、合作学习结合起来。为此,在平时教学中我们只要通过对教学内容探究性学习,充分挖掘教学内容实质,就可以激发学生的学习兴趣,培养学生解决实际问题的能力和探索能力。这样才能真正体现新课标的理念,才是学生乐意接受的、感兴趣的课堂。