正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。
　　1 利用正弦定理判断三角形的形状
　　1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。
　　分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。
　　解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵ a2tanB=b2tanA∴ (2RsinA)2• =(2RsinB)2• 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴ 2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。
　　点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。
　　1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则•=•=•判断△ABC的形状。
　　分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。
　　解:如图所示:•=•得
　　∵ | |•||•cos(π-C)=| |•| |•cos(π-A), ∴ | |•cosC=| |•cosA
　　由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA
　　∴ sin(A-C)=0,又∵ -π　　点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。
　　2 利用余弦定理判断三角形的形状
　　2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。
　　分析:利用降幂公式,首先将已知条件转化成三角形的内角和边的关系后进行判断。
　　解: ∵cos2= ∴ =cosA=即=c2=a2+b2 ∴△ABC为直角三角形。
　　点评:判断三角形的形状,一般是利用正(余)弦定理进行代换转化,化简整理出具体边(角)关系进行判断。
　　2.2 在△ABC中,若B=60°,2b=a+c试判断△ABC的形状
　　分析:判断三角形形状有两种途径,即从角的关系或从边的关系入手,从角入手需边化角,从边入手角化边。
　　解:由余弦定理:b2=a2+c2-2bccosB,又∵ B=60°,b= ∴ ()2=a2+c2-ac(a-c)2=0a=c ∴ a=b=c∴△ABC为正三角形。
　　点评:在边角混合情况下判断三角形形状,主要利用正(余)弦定理将边角互化,使已知条件全部改为边或角的关系进行判断。
　　3 正、余弦定理的综合应用
　　3.1 在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状。
　　分析:已知条件中既有边的关系,又有角的关系,因此可以利用正(余)弦定理进行边化角或角化边,同一形式进行判断。
　　解:由正弦定理: ==,由余弦定理:cosA=,又∵ cosA==
　　∴ c2=b2+c2-a2a2=b2即a=b,又∵ (a+b+c)(a+b-c)=3ab(a+b)2-c2=3ab,又∵ a=b4b2=4c2b=c,所以△ABC为正三角形。
　　点评:关于三角形形状的判断方法重要的途径就是利用边角关系的转化,将已知条件转化为边的关系或角的关系对三角形作出正确的判断。
　　3.2 方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之和等于两根之积,且a、b是△ABC的两边, 两内角,试判断此三角形的形状。
　　分析:本题将△ABC的边角关系和一元二次方程的根联系起来,所以首先由韦达定理联系△ABC的边和角,处理好△ABC的边角关系后判断△ABC的形状。
　　解法1:设方程的两个根为x1、x2,由韦达定理知:x1+x2=bcosA,x1•x2=acosB,由题意知:acosB=bcosA,由余弦定理:cosB=,cosA=,代入acosB=bcosA得:a•=b•a2+c2-b2=b2+c2-a2a2=b2,即a=b,所以△ABC为等腰三角形。解法2:由正弦定理:=a:b=sinA:sinB
　　∴ sinAcosB:sinBcosAsin(A-B)=0,∵ A、B为△ABC内角,∴ -π　　点评:根据题意,由韦达定理正确得出△ABC的边角关系后,选择合适的方法将已知条件边角相互转化,得到△ABC的形状。
　　总之,利用正、余弦定理判断三角形的形状,是常见的数学解题方法之一,本人希望与广大同仁共同探究,使之在更广泛的领域得到应用。