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【摘要】 通过构造一系列的微分方程建立未来10年中国人口预测模型,结合历年已有的人口数据,并运用三点法,最小二乘法等方法,再结合编写的java程序求得预测结果.
【关键字】 人口预测 中国 微分方程
一､模型的假设
假设官方公布历年的人口数据真实可靠,忽略误差;
假设国家的计划生育政策像现在一样并将持续下去,即一对夫妇一胎.
二､问题分析
近几年人口数量:
2000年:12.674亿; 2001年:12.763亿;
2002年:12.845亿; 2003年:12.923亿;
2004年:12.998亿; 2005年:13.076亿;
2006年:13.145亿; 2007年:13.213亿.
由近几年人口数量可算出近几年人口的增量:
2000~2001年:0.089亿; 2001~2002年:0.082亿;
2002~2003年:0.078亿; 2003~2004年:0.075亿;
2004~2005年:0.073亿; 2005~2006年:0.069亿;
2006~2007年:0.068亿.
从这些数据中可看出:近几年人口的增长率一直在下降. 其实不难想象,由于自然资源和空间的限制,再加上国家的计划生育政策不断加强,使人口增长率不断下降. 当资源和空间不能再允许中国人口增长时,我大胆预
测:在未来的某一年中国人口的增长率会趋近于零,即中国人口数量趋于平衡,于是建立以下模型.
三､模型的建立
符号说明:t表示时间,K表示最大人口数量,N0表示预测前一年的人口数量,N(t)表示t时人口的数量.
人口增长率应当与人口数量有关,人口数量的多少会直接影响人口的增长率,即引出以下的式子:
= r(t)N.(1)
因为r(t)要取到任何一个实数,所以可令为一个一次函数,令:r(t) = r - aN.(2)
其中:r,a为一常量.
由(1)(2)得到微分方程:= (r - aN)N .
变形后得到: =(r - aN)N .
再令K =,得到= r1 -N.(3)
再令k = ,得到 =k(K - N)N.(4)
对(4)式求导得= k1 - = 0.
解得N =,即当人口数量达到最大允许值K的一半前属加速增长,超过后属减速增长,但增长率仍为正且随时间的增加而减少.
对(4)中的未知数k,K值的计算方法如下:
对K的计算:采用三点法计算,选择3对观测值(t1,N1),(t2,N2),(t3,N3) (这3对观测值为间距相等的2年的人口数据),将其代入 = Ke-kt得到= Ke,=Ke,= Ke .
上述方程消去k得到
= .
再令t2 =代入到上面的方程中并变形得 K = (N3 + N1)N22 -. (5)
对k的计算:采用最小二乘法.
令N(t0) = N0 . (6)
由(4)､(6)式,得N(t) =.(7)
对(7)式变形,得ln=-k(t-t0).
设y = ln , x=t -t0 ,a = -k ,即此问题转化为可用最小二乘法求解(y = ax 中a的求解).
设 f(a) = (axi - yi)2,
则= f(a) = (2axi2 - 2xiyi).
令= 0,求得a =,即k = - .
四､模型求解
1. 对模型中K值的求解
采用三点取值:取最接近的几年的数据较准确些(每组数据相隔两年),即(2007年,13.213亿),(2005年,13.076亿),(2003年,12.923亿),
记(t1,N1),(t2,N2),(t3,N3)分别为(2003,12.923),(2005,13.076),(2007,13.213).将上述数据代入到(5)式中利用java程序计算结果得K = 14.267(亿).
2. 对模型中k的求解
从2000年开始计算,所以取 t0 = 2000,即N0 = 12.674.
利用y = ln , x = t0 - t0,a = -k,这几个式子利用java程序求解.
结果:
t = 2001:y = -0.0645;t = 2002: y = -0.1270;
t = 2003:y = -0.189;t = 2004: y = -0.253;
t = 2005:y = -0.322;t = 2006: y = -0.387;
t = 2007:y = -0.455.
就上述整理得到(x,y)对应的点为(1,-0.0645), (2,-0.1270),(3,-0.189),(4,-0.253),(5,-0.322), (6,-0.387),(7,-0.455).
利用a =和所求的(x,y)的这些点结合编写的 java程序即可求出a ,从而求出了k.
计算得到a = -0.064,因为k = -a,即k = 0.064 ;所以到此已将方程中的未知数一一求出了:
K = 14.267;k = 0.064;N0 = 12.674;t0 = 2000.
将其代入(6)中得到人口预测方程:
N(t) =.
为了验证此方程的准确性,所以我选择从2000年开始,预测出2001年~2007年的人口,然后再与实际的人口进行比较,即可知道此预测方程是否准确.
利用java程序计算t=2001~2007时,N(2001)~N(2007)的结果为:
2001年:12.760;2002年:12.843;
2003年:12.923;2004年:12.999;
2005年:13.071;2006:13.139.
2007:13.214.
(注释:上面的结果只保留了小数点后的3位有效数字)
结合预测式子可以用来比较准确测出中国未来10年的人口数量. 计算得:
五､模型的评价
1. 模型的优点
1. 1该模型采用全部数据进行预测,数据信息基本完整,从2001年~2007年的预测结果准确性较高.
1.2 模型的求解采用的三点计算法和最小二乘法用得非常恰当,巧妙地推导出了K,k的模型公式.
2. 模型的缺点
2.1上面的模型只是基于历年的数据分析和目前国家的政策建立起来的模型,未来10年国家的政策如有较大的变化时,此模型就不适用.
2.2 此人口模型是基于国家的政策的前提下建立的,假如存在较多超生情况的话,将导致此模型的精确性大幅度降低.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键字】 人口预测 中国 微分方程
一､模型的假设
假设官方公布历年的人口数据真实可靠,忽略误差;
假设国家的计划生育政策像现在一样并将持续下去,即一对夫妇一胎.
二､问题分析
近几年人口数量:
2000年:12.674亿; 2001年:12.763亿;
2002年:12.845亿; 2003年:12.923亿;
2004年:12.998亿; 2005年:13.076亿;
2006年:13.145亿; 2007年:13.213亿.
由近几年人口数量可算出近几年人口的增量:
2000~2001年:0.089亿; 2001~2002年:0.082亿;
2002~2003年:0.078亿; 2003~2004年:0.075亿;
2004~2005年:0.073亿; 2005~2006年:0.069亿;
2006~2007年:0.068亿.
从这些数据中可看出:近几年人口的增长率一直在下降. 其实不难想象,由于自然资源和空间的限制,再加上国家的计划生育政策不断加强,使人口增长率不断下降. 当资源和空间不能再允许中国人口增长时,我大胆预
测:在未来的某一年中国人口的增长率会趋近于零,即中国人口数量趋于平衡,于是建立以下模型.
三､模型的建立
符号说明:t表示时间,K表示最大人口数量,N0表示预测前一年的人口数量,N(t)表示t时人口的数量.
人口增长率应当与人口数量有关,人口数量的多少会直接影响人口的增长率,即引出以下的式子:
= r(t)N.(1)
因为r(t)要取到任何一个实数,所以可令为一个一次函数,令:r(t) = r - aN.(2)
其中:r,a为一常量.
由(1)(2)得到微分方程:= (r - aN)N .
变形后得到: =(r - aN)N .
再令K =,得到= r1 -N.(3)
再令k = ,得到 =k(K - N)N.(4)
对(4)式求导得= k1 - = 0.
解得N =,即当人口数量达到最大允许值K的一半前属加速增长,超过后属减速增长,但增长率仍为正且随时间的增加而减少.
对(4)中的未知数k,K值的计算方法如下:
对K的计算:采用三点法计算,选择3对观测值(t1,N1),(t2,N2),(t3,N3) (这3对观测值为间距相等的2年的人口数据),将其代入 = Ke-kt得到= Ke,=Ke,= Ke .
上述方程消去k得到
= .
再令t2 =代入到上面的方程中并变形得 K = (N3 + N1)N22 -. (5)
对k的计算:采用最小二乘法.
令N(t0) = N0 . (6)
由(4)､(6)式,得N(t) =.(7)
对(7)式变形,得ln=-k(t-t0).
设y = ln , x=t -t0 ,a = -k ,即此问题转化为可用最小二乘法求解(y = ax 中a的求解).
设 f(a) = (axi - yi)2,
则= f(a) = (2axi2 - 2xiyi).
令= 0,求得a =,即k = - .
四､模型求解
1. 对模型中K值的求解
采用三点取值:取最接近的几年的数据较准确些(每组数据相隔两年),即(2007年,13.213亿),(2005年,13.076亿),(2003年,12.923亿),
记(t1,N1),(t2,N2),(t3,N3)分别为(2003,12.923),(2005,13.076),(2007,13.213).将上述数据代入到(5)式中利用java程序计算结果得K = 14.267(亿).
2. 对模型中k的求解
从2000年开始计算,所以取 t0 = 2000,即N0 = 12.674.
利用y = ln , x = t0 - t0,a = -k,这几个式子利用java程序求解.
结果:
t = 2001:y = -0.0645;t = 2002: y = -0.1270;
t = 2003:y = -0.189;t = 2004: y = -0.253;
t = 2005:y = -0.322;t = 2006: y = -0.387;
t = 2007:y = -0.455.
就上述整理得到(x,y)对应的点为(1,-0.0645), (2,-0.1270),(3,-0.189),(4,-0.253),(5,-0.322), (6,-0.387),(7,-0.455).
利用a =和所求的(x,y)的这些点结合编写的 java程序即可求出a ,从而求出了k.
计算得到a = -0.064,因为k = -a,即k = 0.064 ;所以到此已将方程中的未知数一一求出了:
K = 14.267;k = 0.064;N0 = 12.674;t0 = 2000.
将其代入(6)中得到人口预测方程:
N(t) =.
为了验证此方程的准确性,所以我选择从2000年开始,预测出2001年~2007年的人口,然后再与实际的人口进行比较,即可知道此预测方程是否准确.
利用java程序计算t=2001~2007时,N(2001)~N(2007)的结果为:
2001年:12.760;2002年:12.843;
2003年:12.923;2004年:12.999;
2005年:13.071;2006:13.139.
2007:13.214.
(注释:上面的结果只保留了小数点后的3位有效数字)
结合预测式子可以用来比较准确测出中国未来10年的人口数量. 计算得:
五､模型的评价
1. 模型的优点
1. 1该模型采用全部数据进行预测,数据信息基本完整,从2001年~2007年的预测结果准确性较高.
1.2 模型的求解采用的三点计算法和最小二乘法用得非常恰当,巧妙地推导出了K,k的模型公式.
2. 模型的缺点
2.1上面的模型只是基于历年的数据分析和目前国家的政策建立起来的模型,未来10年国家的政策如有较大的变化时,此模型就不适用.
2.2 此人口模型是基于国家的政策的前提下建立的,假如存在较多超生情况的话,将导致此模型的精确性大幅度降低.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”