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【摘要】 反思性数学学习就是学习者对自身数学学习活动的过程，及活动过程中所涉及的有关信息、思维、结果等进行反思，通过自主学习、探究学习，重构知识网络，促进知识的同化和迁移，产生新的发现。笔者从教学实践出发谈谈如何在课堂上营造对解题反思学习的氛围、引导学生对解题进行反思，使学生感受到反思对学习数学的作用和效果。帮助学生养成对解题进行反思的习惯，教会学生对解题反思的方法，使学生的学习能力得到更充分的发挥，进一步提高学生学习数学的兴趣和水平。
【关键词】引导；反思性学习；数学【中图分类号】G424.1 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）13-0272-02
反思是人们对于自身的行为思想进行思考的过程，是人有意识的考察自己行为的能力，它使人更清晰的理解自己的行为和行为的后果，从而更理性、更有目的的开展行动。
《新课程标准》指出：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、反思与建构等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。” 同时提出，评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法。”著名数学教育家弗赖母登塔尔也指出：“反思是数学活动的核心和动力”，“对于解题的反思”是比解题更高级的一种数学思维活动，因此，在数学教学中引导学生学会积极的反思，对于培养学生学会学习、提高思维能力是非常重要的。下面结合教学实践谈谈我对这一问题的探索和做法。
1创设问题情境，培养反思意识
新课标提倡在教学中，教师要有意识地创设问题情境，从而引发学生质疑的兴趣，以趣生疑，由疑点碰撞产生智慧的火花，调动其好奇心，由好奇引发需要，有了需要再积极思考，才能不断发现问题，提出问题。还有，教师要从学生的实际和认知水平出发，通过创设反思性问题情境，引发学生对学习过程中的基础知识、学习方法、解题策略、情感体验等做自觉的回顾反思，使不同个体和群体在思维激烈碰撞中，把学生活跃的思维推向深刻，也让学生体验到适时的反思对深化思维是一副催化剂。
2强化引导，培养反思习惯
按新课标的要求，教师的角色由指导者转化为是引导者，他的任务是启发诱导。课堂教学中，教师在讲解题目后，要注意多留空间和时间，引导学生进行解题后反思。教师在引导过程中，既不可放任自流，让学生毫无目的去反思，又不可“包办”学生的思维过程，要在学生无法解决问题时，给予适当的点拨。
3反复实践，掌握反思途径
教师在教学中要引导学生反复实践，让学生掌握反思的途径。解题后，学生需要反思什么呢？
3.1反思解题的正确性： 解题中往往受思维定势或粗心大意等因素的影响，导致解答不正确，因此在解题后需要对解题的正确性进行反思。如：求下列各数的
3.2反思解题过程与结果的准确性：教师要引导学生复查求解过程和结果有无错误，指出容易出错的地方，促使学生养成做题后检查的好习惯学生做题易发生以偏概全或漏解的错误，在教学中要引导学生反思解答是否全面，有无丢解现象。如：⊙A经过原点O，A点的坐标为（2，0），点P在x轴上，⊙P的半径为1且与⊙A 外切，则点P的坐标为 .学生往往只能写出一个解（5，0），忽略了P点在x轴的负半轴，正确答案是（5，0）或（-1，0）。
3.3反思结果的合理性： 学生在求出结果后，就以为解题结束，不再推敲结果是否与题设吻合，或是否符合实际意义，这是学生解题失误的原因之一，教师在解题教学中应恰当引导。如：若关于y的一元二次方程ky2-4y+1=0有实根，则k的取值范围是什么？学生易解得k≤4，但没考虑到当k=0时，该方程不是一元二次方程。
3.4反思思维迁移
3.4.1反思引申、推广： 引导学生将某些题目适当引申、推广，可以激发学生的求知欲望，培养學生自主探索的良好习惯，从而培养学生良好的思维品质。
例1如图，为了测量停留在空中气球的高度，小明先站在地面A点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时在D点观测气球，测得仰角为40°，如果小明的眼睛离地面约1.6m，请问小明如何计算气球离地面的高度？（精确到0.1m）
解：从题意己知，∠CAB=270，∠CDB=40O，AD=50m，点A、D、C在一条直线上，BC⊥AC。设CD=xm，CB=hm.
在Rt△ABC中，tan270=h50+x
h =（50+x）tan270〔1〕
在Rt△BCD中，tan400=hx
h=xtan400. 〔2〕
根据〔1〕和〔2〕，得：（50+x）tan270=xtan400
所以， x=50tan270tan400-tan270， h=50tan270tan400-tan270×tan400
计算得： h+1.6≈66.5（m）
答：气球的高度约为66.5m。
这是一道典型的三角函数应用题，讲解例题的目的在于使学生能够运用例题的方法去解决相关的问题。即要使学生形成相关知识、方法的迁移能力。“迁移”是以原有知识、技能作前提，跟随以下三个要素而产生的：一是同情境下的共同因素；二是知识、经验的概括水平；三是对事物、问题之间的相互关系的觉察。当该例题讲解完毕后，教师可以让学生进行下面的深入思考：
当该例题讲解完后，教师可以让学生进行下面的深入反思交流。
（1）在解习题1中运用了那些知识，又运用了什么方法。主要应用了角的正切知识，应用了建立方程（或方程组）模型的思维方法。当设BC=xm后，通过利用三角函数原理400角的正切函数，图中的CD、CA都能用含x的代数式来表示，再利用两一个角（270）的正切就能建立如下方程：
tan270=xtan40050+x或（50+x）tan270=xtan400. 对这一步解题的反思，是对解法进行概括和总结，能加深学生对于解法的认识、记忆和迁移。
变式：B、C是河一边的两点，A是对岸的一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，BC=60m，计算A到BC的距离。
（2）这两道题，在解题的过程中有那些不同之处，又有那些相同地方，让学生通过反思指出其中的共性。
共同之处：在图2中过A点向BC作高AD后，这样两个习题中都有两个直角三角形，且每个直角三角形中都各有一个锐角是已知的，要求的都是一条直角边。两个题目的解法是相同的。
对这一题的反思，可通过习题1与习题2的对比，引导学生对例题解法再次思考；使学生感受到解数学题的实质就是将要解的问题化归为以往所见的题型。
经过这样的反思，学生对本题的认识得到了升华。
3.4.2反思一题多解。一道题做完后，要引导学生反思能否从其他从另外角度或途径去分析、思考，从而寻找多种方法解决，寻找最佳解题方案，通过反思不但使学生对问题有更深层次的理解，而且开阔了学生的视野。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0）和（1，-4），求二次函数的函数关系式。
解法一：常规思路，三点代入，确定a，b，c
分别将（-1，0），（3，0）和（1，-4）代入y=ax2+bx+c，可得方程组：
a-b+c=0
9a+3b+c=0
a+b+c=-4
解得a=1，b=-2，c=-3
∴y=x2-2x-3
解法二：根据所提供的点的特点，两点都是与x轴的交点，
可设y=a（x+1）（x-3）
将点（1，-4）代入y=a（x+1）（x-3），解得 a=1
∴y=（x+1）（x-3）= x2-2x-3
解法三：根据抛物线的对称性，因点（-1，0）与点（3，0）对称，易知对称轴的横坐标为1，所以（1，-4）是抛物线的顶点。
设y=a（x-1）2-4
將（-1，0）代入y=a（x-1）2-4，得a=1
∴y= （x-1）2-4= x2-2x-3
让学生比较三种解法的优劣势，进一步培养学生解题后反思的习惯，从而激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题解决问题的能力。
总之，在数学教学中引导学生解题后反思，能使学生加深对题目特征的认识，使学习能达到举一反三的效果。反思是对数学思想的内化，是对数学方法的抽象概括，是对解题合理性和准确度的进一步审视。反思能深入地触及数学思维的本质，从而使学生的学习提升到学数学的思想方法上。在课堂教学中，重视对解题的反思，常此以往，学生就会养成对解题反思的习惯，在潜移默化中就掌握了反思的方法，养成解题后自我反思的习惯。
参考文献
[1]杨裕前，董林伟《数学教师教学用书》九年级（下册）〔M〕.江苏科学技术出版社，2007（第1版）
[2]刘显国、张丽晨 《初中数学课堂教学艺术》中国林业出版社
【关键词】引导；反思性学习；数学【中图分类号】G424.1 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）13-0272-02
反思是人们对于自身的行为思想进行思考的过程，是人有意识的考察自己行为的能力，它使人更清晰的理解自己的行为和行为的后果，从而更理性、更有目的的开展行动。
《新课程标准》指出：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、反思与建构等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。” 同时提出，评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法。”著名数学教育家弗赖母登塔尔也指出：“反思是数学活动的核心和动力”，“对于解题的反思”是比解题更高级的一种数学思维活动，因此，在数学教学中引导学生学会积极的反思，对于培养学生学会学习、提高思维能力是非常重要的。下面结合教学实践谈谈我对这一问题的探索和做法。
1创设问题情境，培养反思意识
新课标提倡在教学中，教师要有意识地创设问题情境，从而引发学生质疑的兴趣，以趣生疑，由疑点碰撞产生智慧的火花，调动其好奇心，由好奇引发需要，有了需要再积极思考，才能不断发现问题，提出问题。还有，教师要从学生的实际和认知水平出发，通过创设反思性问题情境，引发学生对学习过程中的基础知识、学习方法、解题策略、情感体验等做自觉的回顾反思，使不同个体和群体在思维激烈碰撞中，把学生活跃的思维推向深刻，也让学生体验到适时的反思对深化思维是一副催化剂。
2强化引导，培养反思习惯
按新课标的要求，教师的角色由指导者转化为是引导者，他的任务是启发诱导。课堂教学中，教师在讲解题目后，要注意多留空间和时间，引导学生进行解题后反思。教师在引导过程中，既不可放任自流，让学生毫无目的去反思，又不可“包办”学生的思维过程，要在学生无法解决问题时，给予适当的点拨。
3反复实践，掌握反思途径
教师在教学中要引导学生反复实践，让学生掌握反思的途径。解题后，学生需要反思什么呢？
3.1反思解题的正确性： 解题中往往受思维定势或粗心大意等因素的影响，导致解答不正确，因此在解题后需要对解题的正确性进行反思。如：求下列各数的
3.2反思解题过程与结果的准确性：教师要引导学生复查求解过程和结果有无错误，指出容易出错的地方，促使学生养成做题后检查的好习惯学生做题易发生以偏概全或漏解的错误，在教学中要引导学生反思解答是否全面，有无丢解现象。如：⊙A经过原点O，A点的坐标为（2，0），点P在x轴上，⊙P的半径为1且与⊙A 外切，则点P的坐标为 .学生往往只能写出一个解（5，0），忽略了P点在x轴的负半轴，正确答案是（5，0）或（-1，0）。
3.3反思结果的合理性： 学生在求出结果后，就以为解题结束，不再推敲结果是否与题设吻合，或是否符合实际意义，这是学生解题失误的原因之一，教师在解题教学中应恰当引导。如：若关于y的一元二次方程ky2-4y+1=0有实根，则k的取值范围是什么？学生易解得k≤4，但没考虑到当k=0时，该方程不是一元二次方程。
3.4反思思维迁移
3.4.1反思引申、推广： 引导学生将某些题目适当引申、推广，可以激发学生的求知欲望，培养學生自主探索的良好习惯，从而培养学生良好的思维品质。
例1如图，为了测量停留在空中气球的高度，小明先站在地面A点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时在D点观测气球，测得仰角为40°，如果小明的眼睛离地面约1.6m，请问小明如何计算气球离地面的高度？（精确到0.1m）
解：从题意己知，∠CAB=270，∠CDB=40O，AD=50m，点A、D、C在一条直线上，BC⊥AC。设CD=xm，CB=hm.
在Rt△ABC中，tan270=h50+x
h =（50+x）tan270〔1〕
在Rt△BCD中，tan400=hx
h=xtan400. 〔2〕
根据〔1〕和〔2〕，得：（50+x）tan270=xtan400
所以， x=50tan270tan400-tan270， h=50tan270tan400-tan270×tan400
计算得： h+1.6≈66.5（m）
答：气球的高度约为66.5m。
这是一道典型的三角函数应用题，讲解例题的目的在于使学生能够运用例题的方法去解决相关的问题。即要使学生形成相关知识、方法的迁移能力。“迁移”是以原有知识、技能作前提，跟随以下三个要素而产生的：一是同情境下的共同因素；二是知识、经验的概括水平；三是对事物、问题之间的相互关系的觉察。当该例题讲解完毕后，教师可以让学生进行下面的深入思考：
当该例题讲解完后，教师可以让学生进行下面的深入反思交流。
（1）在解习题1中运用了那些知识，又运用了什么方法。主要应用了角的正切知识，应用了建立方程（或方程组）模型的思维方法。当设BC=xm后，通过利用三角函数原理400角的正切函数，图中的CD、CA都能用含x的代数式来表示，再利用两一个角（270）的正切就能建立如下方程：
tan270=xtan40050+x或（50+x）tan270=xtan400. 对这一步解题的反思，是对解法进行概括和总结，能加深学生对于解法的认识、记忆和迁移。
变式：B、C是河一边的两点，A是对岸的一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，BC=60m，计算A到BC的距离。
（2）这两道题，在解题的过程中有那些不同之处，又有那些相同地方，让学生通过反思指出其中的共性。
共同之处：在图2中过A点向BC作高AD后，这样两个习题中都有两个直角三角形，且每个直角三角形中都各有一个锐角是已知的，要求的都是一条直角边。两个题目的解法是相同的。
对这一题的反思，可通过习题1与习题2的对比，引导学生对例题解法再次思考；使学生感受到解数学题的实质就是将要解的问题化归为以往所见的题型。
经过这样的反思，学生对本题的认识得到了升华。
3.4.2反思一题多解。一道题做完后，要引导学生反思能否从其他从另外角度或途径去分析、思考，从而寻找多种方法解决，寻找最佳解题方案，通过反思不但使学生对问题有更深层次的理解，而且开阔了学生的视野。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0）和（1，-4），求二次函数的函数关系式。
解法一：常规思路，三点代入，确定a，b，c
分别将（-1，0），（3，0）和（1，-4）代入y=ax2+bx+c，可得方程组：
a-b+c=0
9a+3b+c=0
a+b+c=-4
解得a=1，b=-2，c=-3
∴y=x2-2x-3
解法二：根据所提供的点的特点，两点都是与x轴的交点，
可设y=a（x+1）（x-3）
将点（1，-4）代入y=a（x+1）（x-3），解得 a=1
∴y=（x+1）（x-3）= x2-2x-3
解法三：根据抛物线的对称性，因点（-1，0）与点（3，0）对称，易知对称轴的横坐标为1，所以（1，-4）是抛物线的顶点。
设y=a（x-1）2-4
將（-1，0）代入y=a（x-1）2-4，得a=1
∴y= （x-1）2-4= x2-2x-3
让学生比较三种解法的优劣势，进一步培养学生解题后反思的习惯，从而激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题解决问题的能力。
总之，在数学教学中引导学生解题后反思，能使学生加深对题目特征的认识，使学习能达到举一反三的效果。反思是对数学思想的内化，是对数学方法的抽象概括，是对解题合理性和准确度的进一步审视。反思能深入地触及数学思维的本质，从而使学生的学习提升到学数学的思想方法上。在课堂教学中，重视对解题的反思，常此以往，学生就会养成对解题反思的习惯，在潜移默化中就掌握了反思的方法，养成解题后自我反思的习惯。
参考文献
[1]杨裕前，董林伟《数学教师教学用书》九年级（下册）〔M〕.江苏科学技术出版社，2007（第1版）
[2]刘显国、张丽晨 《初中数学课堂教学艺术》中国林业出版社