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摘要：《一次函数与方程、不等式（1）》一课教学，设计了四个环节：复习旧知，引出新知;从函数角度解释“解一元一次方程”;从函数角度解释“解一元一次不等式”;课堂小结，布置练习。回顾该课的打磨历程，虽然聚焦在板书的不断调整优化上，但是，教学立意却是基于“三个理解”，践行“问题驱动”的理念——理解数学：厘清函数对方程、不等式的统领作用;理解学生：在研判学情的基础上选编问题驱动学程;理解教学：根据学程中学生的表现相机引导与追问。
关键词：“三个理解”;问题驱动;《一次函数与方程、不等式（1）》
最近，笔者开设了一节公开课——人教版初中数学八年级下册《19.3.2一次函数与方程、不等式（1）》，取得了较好的教学效果。课后回顾该课的打磨历程，虽然聚焦在板书的不断调整优化上，但是，教学立意却是基于“三个理解”（章建跃博士语，即理解数学、理解学生、理解教学），践行“问题驱动”的理念。本文先给出该课的教学设计，再对教学立意做进一步阐释，来分享课例，以资研讨。
一、教学设计
课前写好板书：主板区，是如图1所示的留白式板书;副板区，画出几个平面直角坐标系以备学生上台展示时使用。需要指出的是，课前准备的板书内容并不涉及本课新学内容的“剧透”，只是为了节约正式上课之后的教学时间。
具体教学环节设计如下：
（一）复习旧知，引出新知
问题1如何从函数的角度研究代数式x+1？
师 最近，同学们刚学习了一次函数的图像和性质，也会利用待定系数法确定一次函数的解析式。这节课将继续研究一次函数，并从一次函数的角度解释以前的一些数学概念，如方程、不等式等。让我们从进入初中以来所学的一些数学概念说起。比如，老师写在黑板上的字母x可以表示一个数，而x+1则表示比它大1的数。如果给出x+1的值為0，就得到一个方程x+1=0（写在主板区相应位置），请你说出它的解（x=-1）。如果告诉你x+1是一个正数，则可得到一个不等式x+1>0（继续写在主板区），请你说出它的解集（x>-1）。若我们把x+1看成是关于x的函数y，则y=x+1（同时写在主板区的“y=kx+b”的下方，让学生感受特殊与一般的关系），请一位同学上台画出一次函数y=x+1的图像，并从函数的角度分别说说“解一元一次方程x+1=0”和“解不等式x+1>0”之间的联系。
在学生画图后的讲解过程中，教师采集、优化、完善，并板书补全本课学习的课题。此时，主板区的板书如图2所示。
（二）从函数角度解释“解一元一次方程”
问题2下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3;（2）2x+1=0;（3）2x+1=-1。
安排学生先独立思考，再同桌或小组交流，然后选代表上台讲解。在学生讲解的过程中，注意做好追问。比如，有些优秀学生可能会说得太快，或思路展开不充分，或不能从“形”的角度对3个方程的解进行形象生动的解释。这时，要注意继续追问其他学生的理解，可以使用提示语“从讲解来看，你应该是理解了这个问题，但老师觉得解释得还不太‘形象生动’，谁愿意再分享一下你的解释”等。在多名学生上台讲解后，在副板区的平面直角坐标系中根据学生的讲解板书（如图3所示）。
（三）从函数角度解释“解一元一次不等式”
问题3下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
（1）-1/3x+1>2;（2）-13x+1<0;（3）-13x+1≤-1。
与问题2的教学组织类似，经历学生独立思考、小组交流、全班展示，教师参与优化、完善之后，副板区的板书如图4所示。
（四）课堂小结，布置练习
小结本课内容，主要是从“特殊走向一般”，梳理直线y=kx+b与直线y=n相交后对应的方程或不等式的解或解集，结合图像进行解释和理解，并进一步揭示、补全本课研究的标题，引领学生展望后续还将研究的“一次函数与二元一次方程组”。整理、完善后的主板区板书如图5所示。
如果班级学情较好，教学时间充裕，可继续进行以下变式题组的巩固训练：
1.在同一平面直角坐标系xOy中画出函数y=2x+1和y=-13x+1的图像，并结合图像指出不等式0<-13x+1<2x+1的解集。
2.在同一平面直角坐标系xOy中画出函数y=2x+1和y=-13x+1的图像，并结合图像指出不等式0<2x+1<-13x+1的解集。
3.平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-12x+3的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若点M（m，m-2）恰在△AOB的内部（不包括边上），结合图像指出m的取值范围。
二、立意阐释
（一）理解数学：厘清函数对方程、不等式的统领作用
本节课的教学内容是从一次函数的角度讨论三个已学对象：一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。它们不是新知识，但是，对它们的认识可以进一步深化，也就是从函数的角度进行分析和解释。这种“再认识”不是简单的回顾复习，而是理解数学知识在不同年级、不同学段“螺旋上升”的一种方式。教师要“深刻理解”函数概念，特别是加强知识之间的横向、纵向联系，厘清函数对相关内容的统领作用，灵活运用函数的观点解释学生以前学过的方程和不等式。只有教师本人对从函数的角度（也就是从“形”的角度）动态分析方程和不等式达到较为全面和深刻的理解，在面对学生的不同表述时（比如，有些学生侧重于数的角度，有些学生“跳步”表述，等等），才可以做出精准的即时诊断与评价，从而促进不同思维风格的学生把问题想清、悟透、学活。
（二）理解学生：在研判学情的基础上选编问题驱动学程 根据教学经验，不少八年级学生初学函数时的困难常常表现在数、形的对应上。把函数之间的关系式转化为图像，是将数量关系直观化、形象化，多数学生能理解。但是，灵活运用数形结合的研究方法，善于从数和形两个方面共同分析问题、解决问题是需要不断精进的。以本课为例，虽然教材上安排的内容不多（只是两组“思考”，即上述教学设计中的“问题2”“问题3”），但是对于初次接触的八年级学生来说，难度却是很大的。这时，我們的教学不能急于求成，特别是当前一些“习题拼凑式”的导学案，意图用大量习题让学生掌握用函数观点看方程、不等式，其教学效果并不理想，往往只会加重适应性不好的学生在学习函数时的“学习焦虑”。基于以上认识，笔者教学教材本部分内容时，第1课时只安排学习一次函数与一元一次方程、一元一次不等式，将一次函数与二元一次方程组的学习安排在后续课时;并且，在教材两组“思考”前面，增设“问题1”，从一个“更简单”的“x+1”出发，让学生充分理解之后再独立思考，从函数的角度解释“问题2”“问题3”。看似一节课只有3个问题，内容太少，但是唯有这样，才能为更多学生赢得充分思考、感悟的宝贵时间。当然，课堂小结阶段，我们“从特殊走向一般”，梳理出一次函数y=kx+b的图像与直线y=n相交后对应的方程或不等式的解集，本身也可以看成一种成果扩大的问题深化，是向学生传递“从特殊到一般”地认识问题的一种研究方法，使学生认识到分析问题、解决问题时可以运用“先从特殊对象切入，再扩展、推广到一般对象”的研究套路。
（三）理解教学：根据学程中学生的表现相机引导与追问
本节课采用的是“问题驱动”式教学，而“显性问题”只有3个，所以内容看似比较少，课堂充分放开，对教师驾驭学程提出了较高的要求。比如，哪些内容需要教师讲授，哪些内容要先安排学生独立思考，何时安排同桌或小组交流讨论，在学生上台讲解时如何相机引导和追问，等等，都需要教师在备课时对各个问题和不同情况做好充分的预设。例如，当某个学生从函数的角度解释“解方程2x+1=3”不够生动形象时（可以追问其他学生是否理解该生的讲解），就需要适时追问“同学们觉得他讲得怎么样？你有什么更好的解释方法吗？请上台分享给大家”。这样的适时追问，既可以促进不同学生上台从不同的角度解释教学难点，又向学生传递了一种数学追求：“只有完美的表达才可以传递得更远”（李秉彝先生语）。
*本文系江苏省南通市教育科学“十三五”规划课题“基于‘三学’理念的初中数学课例研究”（编号：ZX2018007）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 刘东升.我们需要怎样的“问题”驱动课堂——由美国莎维女士执教的函数图像课说起[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（11）.
[2] 李庾南，刘东升.藤蔓之美：从数式方程走向变量函数——以八年级“函数（第1课时）”教学为例[J].数学通报，2015（2）.
[3] 马立平.小学数学的掌握和教学[M].李士锜，吴颖康，等译.上海：华东师范大学出版社，2011.
关键词：“三个理解”;问题驱动;《一次函数与方程、不等式（1）》
最近，笔者开设了一节公开课——人教版初中数学八年级下册《19.3.2一次函数与方程、不等式（1）》，取得了较好的教学效果。课后回顾该课的打磨历程，虽然聚焦在板书的不断调整优化上，但是，教学立意却是基于“三个理解”（章建跃博士语，即理解数学、理解学生、理解教学），践行“问题驱动”的理念。本文先给出该课的教学设计，再对教学立意做进一步阐释，来分享课例，以资研讨。
一、教学设计
课前写好板书：主板区，是如图1所示的留白式板书;副板区，画出几个平面直角坐标系以备学生上台展示时使用。需要指出的是，课前准备的板书内容并不涉及本课新学内容的“剧透”，只是为了节约正式上课之后的教学时间。
具体教学环节设计如下：
（一）复习旧知，引出新知
问题1如何从函数的角度研究代数式x+1？
师 最近，同学们刚学习了一次函数的图像和性质，也会利用待定系数法确定一次函数的解析式。这节课将继续研究一次函数，并从一次函数的角度解释以前的一些数学概念，如方程、不等式等。让我们从进入初中以来所学的一些数学概念说起。比如，老师写在黑板上的字母x可以表示一个数，而x+1则表示比它大1的数。如果给出x+1的值為0，就得到一个方程x+1=0（写在主板区相应位置），请你说出它的解（x=-1）。如果告诉你x+1是一个正数，则可得到一个不等式x+1>0（继续写在主板区），请你说出它的解集（x>-1）。若我们把x+1看成是关于x的函数y，则y=x+1（同时写在主板区的“y=kx+b”的下方，让学生感受特殊与一般的关系），请一位同学上台画出一次函数y=x+1的图像，并从函数的角度分别说说“解一元一次方程x+1=0”和“解不等式x+1>0”之间的联系。
在学生画图后的讲解过程中，教师采集、优化、完善，并板书补全本课学习的课题。此时，主板区的板书如图2所示。
（二）从函数角度解释“解一元一次方程”
问题2下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3;（2）2x+1=0;（3）2x+1=-1。
安排学生先独立思考，再同桌或小组交流，然后选代表上台讲解。在学生讲解的过程中，注意做好追问。比如，有些优秀学生可能会说得太快，或思路展开不充分，或不能从“形”的角度对3个方程的解进行形象生动的解释。这时，要注意继续追问其他学生的理解，可以使用提示语“从讲解来看，你应该是理解了这个问题，但老师觉得解释得还不太‘形象生动’，谁愿意再分享一下你的解释”等。在多名学生上台讲解后，在副板区的平面直角坐标系中根据学生的讲解板书（如图3所示）。
（三）从函数角度解释“解一元一次不等式”
问题3下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
（1）-1/3x+1>2;（2）-13x+1<0;（3）-13x+1≤-1。
与问题2的教学组织类似，经历学生独立思考、小组交流、全班展示，教师参与优化、完善之后，副板区的板书如图4所示。
（四）课堂小结，布置练习
小结本课内容，主要是从“特殊走向一般”，梳理直线y=kx+b与直线y=n相交后对应的方程或不等式的解或解集，结合图像进行解释和理解，并进一步揭示、补全本课研究的标题，引领学生展望后续还将研究的“一次函数与二元一次方程组”。整理、完善后的主板区板书如图5所示。
如果班级学情较好，教学时间充裕，可继续进行以下变式题组的巩固训练：
1.在同一平面直角坐标系xOy中画出函数y=2x+1和y=-13x+1的图像，并结合图像指出不等式0<-13x+1<2x+1的解集。
2.在同一平面直角坐标系xOy中画出函数y=2x+1和y=-13x+1的图像，并结合图像指出不等式0<2x+1<-13x+1的解集。
3.平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-12x+3的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若点M（m，m-2）恰在△AOB的内部（不包括边上），结合图像指出m的取值范围。
二、立意阐释
（一）理解数学：厘清函数对方程、不等式的统领作用
本节课的教学内容是从一次函数的角度讨论三个已学对象：一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。它们不是新知识，但是，对它们的认识可以进一步深化，也就是从函数的角度进行分析和解释。这种“再认识”不是简单的回顾复习，而是理解数学知识在不同年级、不同学段“螺旋上升”的一种方式。教师要“深刻理解”函数概念，特别是加强知识之间的横向、纵向联系，厘清函数对相关内容的统领作用，灵活运用函数的观点解释学生以前学过的方程和不等式。只有教师本人对从函数的角度（也就是从“形”的角度）动态分析方程和不等式达到较为全面和深刻的理解，在面对学生的不同表述时（比如，有些学生侧重于数的角度，有些学生“跳步”表述，等等），才可以做出精准的即时诊断与评价，从而促进不同思维风格的学生把问题想清、悟透、学活。
（二）理解学生：在研判学情的基础上选编问题驱动学程 根据教学经验，不少八年级学生初学函数时的困难常常表现在数、形的对应上。把函数之间的关系式转化为图像，是将数量关系直观化、形象化，多数学生能理解。但是，灵活运用数形结合的研究方法，善于从数和形两个方面共同分析问题、解决问题是需要不断精进的。以本课为例，虽然教材上安排的内容不多（只是两组“思考”，即上述教学设计中的“问题2”“问题3”），但是对于初次接触的八年级学生来说，难度却是很大的。这时，我們的教学不能急于求成，特别是当前一些“习题拼凑式”的导学案，意图用大量习题让学生掌握用函数观点看方程、不等式，其教学效果并不理想，往往只会加重适应性不好的学生在学习函数时的“学习焦虑”。基于以上认识，笔者教学教材本部分内容时，第1课时只安排学习一次函数与一元一次方程、一元一次不等式，将一次函数与二元一次方程组的学习安排在后续课时;并且，在教材两组“思考”前面，增设“问题1”，从一个“更简单”的“x+1”出发，让学生充分理解之后再独立思考，从函数的角度解释“问题2”“问题3”。看似一节课只有3个问题，内容太少，但是唯有这样，才能为更多学生赢得充分思考、感悟的宝贵时间。当然，课堂小结阶段，我们“从特殊走向一般”，梳理出一次函数y=kx+b的图像与直线y=n相交后对应的方程或不等式的解集，本身也可以看成一种成果扩大的问题深化，是向学生传递“从特殊到一般”地认识问题的一种研究方法，使学生认识到分析问题、解决问题时可以运用“先从特殊对象切入，再扩展、推广到一般对象”的研究套路。
（三）理解教学：根据学程中学生的表现相机引导与追问
本节课采用的是“问题驱动”式教学，而“显性问题”只有3个，所以内容看似比较少，课堂充分放开，对教师驾驭学程提出了较高的要求。比如，哪些内容需要教师讲授，哪些内容要先安排学生独立思考，何时安排同桌或小组交流讨论，在学生上台讲解时如何相机引导和追问，等等，都需要教师在备课时对各个问题和不同情况做好充分的预设。例如，当某个学生从函数的角度解释“解方程2x+1=3”不够生动形象时（可以追问其他学生是否理解该生的讲解），就需要适时追问“同学们觉得他讲得怎么样？你有什么更好的解释方法吗？请上台分享给大家”。这样的适时追问，既可以促进不同学生上台从不同的角度解释教学难点，又向学生传递了一种数学追求：“只有完美的表达才可以传递得更远”（李秉彝先生语）。
*本文系江苏省南通市教育科学“十三五”规划课题“基于‘三学’理念的初中数学课例研究”（编号：ZX2018007）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 刘东升.我们需要怎样的“问题”驱动课堂——由美国莎维女士执教的函数图像课说起[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（11）.
[2] 李庾南，刘东升.藤蔓之美：从数式方程走向变量函数——以八年级“函数（第1课时）”教学为例[J].数学通报，2015（2）.
[3] 马立平.小学数学的掌握和教学[M].李士锜，吴颖康，等译.上海：华东师范大学出版社，2011.