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所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数与形相互转化来解决数学问题的思想方法.某些数量关系的问题可以借助于它们图形的性质，使问题变得直观而形象；某些涉及图形的问题可以转化为数量关系，从而获得简洁而一般的解法；还有些问题同时使用图形和数量关系，也可以得到很简便的解法.因此，恰当地运用数形结合思想解题可以使许多数学问题变得形象而简单.
数形结合通常包括以形助数、以数助形、数形互助三方面.作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决.另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形说明数形结合思想在解题中的运用.
一、以形助数
许多数（式）的问题，如果依据“数”所存在的背景，按照某种对应规律，把“数”迁移到“形”还原成基本图形，再运用基本图形的性质来解，就显得直观而形象.
例1.求函数f（x）=-的最大值.
分析：由于f（x）的解析式中含有两个根号，根号内部是x的二次式，用中学的代数方法很难求出它的最大值，即使用高等数学中求导的方法，虽然可求得f（x）的最大值，但计算也十分繁琐.如果巧妙地用两点之间的距离公式的方法，问题就简单了.
设A（0,），B（3,2）,P（x,0），如图1，那么函数f（x）的表达式就是在x轴上的动点P到定点A的距离减去P到B的距离，这时，点A、B、P为顶点，组成△PAB.根据三角形两边之差小于第三边，那么当P位于AB和轴x的交点C的位置时，|PA|-|PB|最大，这时f（x）=|CA|-|CB|=|AB|==2.
例2.求函数y=的最大值和最小值.
分析：如果单纯从代数角度考虑这个题目，因为分子、分母都有变量，当x使y的分子取最大（小）值时，但分母却并不是最小（大）值，所以用sinx和cosx的有界性，难以求得y的最大（小）值.若令A（cosx,sinx），B（2,2），点A在单位圆上，如图2，则可以将y看成是点A与定点B连线AB的斜率（设为k）.
解：直线AB可以表示为（y-2）=k（x-2），直线与圆x+y=1相切，切点为M和M.则求函数最值的问题转化为求斜率最值的问题.因为圆心O到直线的距离为1，即=1，化简得3k-8k+3=0，解得k=，故y=，y=.
例3：已知a,b,c∈R，求证：a+b+c≥（a+b+c）.
分析：这道题如果单纯从代数角度入手，凭我们以往做题的经验是很繁杂的，这时就可以考虑用别的方法观察式子的结构，借助于图像来解决.
解：将原不等式化为≥（）.不妨设二次函数y=x，则可将（a,a），（b,b），（c,c）看作是这曲线的三个点，那么题目就可以看作是求证这三个点纵坐标的平均值和横坐标平均值平方的关系，由此可以联想到这三点构成的三角形重心（,）.如图3，作出函数y=x的图像，A，B，C三点在y=x上，分别表示（a,a），（b,b），（c,c）.G是三角形的重心.GP⊥x轴于点P且与曲线y=x交于点M，则G（,），M（,（））.显然有|GP|≥|MP|.即≥（）.
二、以数助形
以数助形是数形结合的又一妙用，它的思想与以形助数相反，即运用代数方法来解决涉及图形的问题.
例4.如图4，E是正方形ABCD外接圆AD上任一点，求证：EA+EC=EB，EA×EC=EB-AB.
分析：这是“形”的问题，但形中隐数，把它转化为“数”的问题来解决要简单得多.
证明：在△中和△中如图7由余弦定理得
AB=EA+EB-2EA·EBcos45°,
BC=EC+EB-2EC·EBcos45°.
由得AB=BC得
EA-EB×EA+EB-AB=0
EC-EB×EC+EB-AB=0
∴EA，EC是方程x-EBx+EB-AB=0的两根.
由韦达定理得：EA+EC=EB，EA×EC=EB-AB.
以数助形主要是解决一类在图形上无法直观看出或求出所需的结论，要通过一定的代数推理与计算，方能准确求得结果.
例5.在△ABC中,AB=5，AC=7，BC=8,点P是△ABC的内切圆周上一点.求P到△ABC三个顶点的距离的平方和S=|PA|+|PB|+|PC|的最值.
解：如图5，由余弦定理可得∠ABC=60°，令A（5，0），B（0，0），C（4，4）.设内切圆圆心为O，半径为r，D为⊙O′与AB边的切点.
∵|OD|=（|AB|+|BC|+|CA|）-|CA|=3,
∴在Rt△O′OD中，|O′D|=|OD|tg30°.
即x=，O′（3，），⊙O′方程为（x-3）+（y-）=3.
设P（3+cosθ,+sinθ）（0≤θ≤2π）是⊙O′上任意一点，
则S=|PA|+|PB|+|PC|=56-6sinθ.
当θ=时，S=62；当θ=时，S=50.
三、数形互助
有些例型的题目，单纯地用以形助数或以数助形求解都得不到简洁的方法，这时就要将“数”与“形”结合起来运用.在数形互助结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在运用数形结合的思想时，应掌握以下几点.
1）善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系；
2）正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系；
3）切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图.
例6.若cosα+cosβ=1，求sinα+sinβ的范围.
解：如图6，设角α，β的终边与单位圆分别交于A，B两点，那么A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），设弦BA的中点为P（x，y），则x==,y=.显然，当α，β变化时，弦AB的中点P的轨迹为弦CD，x=，-≤y≤，即y∈［-,］∴sinα+sinβ∈［-,］.
数学教材中的函数部分，无论是正反比例函数，还是一次与二次函数，处处体现数形结合的思想，也就是从函数的图像与性质两个不同的侧面全面反映函数的特征.
例7.方程x-1=2x的解的个数为（ ）
错解：在同一坐标系中画出函数y=x-1和y=2x的图像.由图可知两图像有个交点，所以选（B）.
分析：此题由于草图粗糙而导致误判.事实上，考查函数y=x-1和y=2x的增长“速度”变化，即知它们有2个交点，故正确答案应为（C）.
上例说明熟悉函数解析式与熟悉函数图像性质同样重要，熟练而正确地勾画出图像的轮廓是数形结合的基础.
数形结合思想实质上是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的辅助作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.由此可见，运用数形结合思想来解决问题的关键是能顺畅地进行数、形之间的相互转换。
任何一种思想的形成，都需要一个长期的体验过程.与其他的数学思想类似，数形结合思想的确立，也必然要经历一个由感性到理性、由模糊到清晰、由生疏到成熟的发展过程.数形结合的思想方法，其最大的优点是非常直观，常常能启发思维.最大的缺点是图像总有局限性，如果图像绘制得不够准确，常常引起误解或漏解.因此，我们用数形结合分析问题时，应尽可能地伴以严密的逻辑推理，使掌握方法和发展能力有机地结合起来.
数形结合通常包括以形助数、以数助形、数形互助三方面.作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决.另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形说明数形结合思想在解题中的运用.
一、以形助数
许多数（式）的问题，如果依据“数”所存在的背景，按照某种对应规律，把“数”迁移到“形”还原成基本图形，再运用基本图形的性质来解，就显得直观而形象.
例1.求函数f（x）=-的最大值.
分析：由于f（x）的解析式中含有两个根号，根号内部是x的二次式，用中学的代数方法很难求出它的最大值，即使用高等数学中求导的方法，虽然可求得f（x）的最大值，但计算也十分繁琐.如果巧妙地用两点之间的距离公式的方法，问题就简单了.
设A（0,），B（3,2）,P（x,0），如图1，那么函数f（x）的表达式就是在x轴上的动点P到定点A的距离减去P到B的距离，这时，点A、B、P为顶点，组成△PAB.根据三角形两边之差小于第三边，那么当P位于AB和轴x的交点C的位置时，|PA|-|PB|最大，这时f（x）=|CA|-|CB|=|AB|==2.
例2.求函数y=的最大值和最小值.
分析：如果单纯从代数角度考虑这个题目，因为分子、分母都有变量，当x使y的分子取最大（小）值时，但分母却并不是最小（大）值，所以用sinx和cosx的有界性，难以求得y的最大（小）值.若令A（cosx,sinx），B（2,2），点A在单位圆上，如图2，则可以将y看成是点A与定点B连线AB的斜率（设为k）.
解：直线AB可以表示为（y-2）=k（x-2），直线与圆x+y=1相切，切点为M和M.则求函数最值的问题转化为求斜率最值的问题.因为圆心O到直线的距离为1，即=1，化简得3k-8k+3=0，解得k=，故y=，y=.
例3：已知a,b,c∈R，求证：a+b+c≥（a+b+c）.
分析：这道题如果单纯从代数角度入手，凭我们以往做题的经验是很繁杂的，这时就可以考虑用别的方法观察式子的结构，借助于图像来解决.
解：将原不等式化为≥（）.不妨设二次函数y=x，则可将（a,a），（b,b），（c,c）看作是这曲线的三个点，那么题目就可以看作是求证这三个点纵坐标的平均值和横坐标平均值平方的关系，由此可以联想到这三点构成的三角形重心（,）.如图3，作出函数y=x的图像，A，B，C三点在y=x上，分别表示（a,a），（b,b），（c,c）.G是三角形的重心.GP⊥x轴于点P且与曲线y=x交于点M，则G（,），M（,（））.显然有|GP|≥|MP|.即≥（）.
二、以数助形
以数助形是数形结合的又一妙用，它的思想与以形助数相反，即运用代数方法来解决涉及图形的问题.
例4.如图4，E是正方形ABCD外接圆AD上任一点，求证：EA+EC=EB，EA×EC=EB-AB.
分析：这是“形”的问题，但形中隐数，把它转化为“数”的问题来解决要简单得多.
证明：在△中和△中如图7由余弦定理得
AB=EA+EB-2EA·EBcos45°,
BC=EC+EB-2EC·EBcos45°.
由得AB=BC得
EA-EB×EA+EB-AB=0
EC-EB×EC+EB-AB=0
∴EA，EC是方程x-EBx+EB-AB=0的两根.
由韦达定理得：EA+EC=EB，EA×EC=EB-AB.
以数助形主要是解决一类在图形上无法直观看出或求出所需的结论，要通过一定的代数推理与计算，方能准确求得结果.
例5.在△ABC中,AB=5，AC=7，BC=8,点P是△ABC的内切圆周上一点.求P到△ABC三个顶点的距离的平方和S=|PA|+|PB|+|PC|的最值.
解：如图5，由余弦定理可得∠ABC=60°，令A（5，0），B（0，0），C（4，4）.设内切圆圆心为O，半径为r，D为⊙O′与AB边的切点.
∵|OD|=（|AB|+|BC|+|CA|）-|CA|=3,
∴在Rt△O′OD中，|O′D|=|OD|tg30°.
即x=，O′（3，），⊙O′方程为（x-3）+（y-）=3.
设P（3+cosθ,+sinθ）（0≤θ≤2π）是⊙O′上任意一点，
则S=|PA|+|PB|+|PC|=56-6sinθ.
当θ=时，S=62；当θ=时，S=50.
三、数形互助
有些例型的题目，单纯地用以形助数或以数助形求解都得不到简洁的方法，这时就要将“数”与“形”结合起来运用.在数形互助结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在运用数形结合的思想时，应掌握以下几点.
1）善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系；
2）正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系；
3）切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图.
例6.若cosα+cosβ=1，求sinα+sinβ的范围.
解：如图6，设角α，β的终边与单位圆分别交于A，B两点，那么A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），设弦BA的中点为P（x，y），则x==,y=.显然，当α，β变化时，弦AB的中点P的轨迹为弦CD，x=，-≤y≤，即y∈［-,］∴sinα+sinβ∈［-,］.
数学教材中的函数部分，无论是正反比例函数，还是一次与二次函数，处处体现数形结合的思想，也就是从函数的图像与性质两个不同的侧面全面反映函数的特征.
例7.方程x-1=2x的解的个数为（ ）
错解：在同一坐标系中画出函数y=x-1和y=2x的图像.由图可知两图像有个交点，所以选（B）.
分析：此题由于草图粗糙而导致误判.事实上，考查函数y=x-1和y=2x的增长“速度”变化，即知它们有2个交点，故正确答案应为（C）.
上例说明熟悉函数解析式与熟悉函数图像性质同样重要，熟练而正确地勾画出图像的轮廓是数形结合的基础.
数形结合思想实质上是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的辅助作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.由此可见，运用数形结合思想来解决问题的关键是能顺畅地进行数、形之间的相互转换。
任何一种思想的形成，都需要一个长期的体验过程.与其他的数学思想类似，数形结合思想的确立，也必然要经历一个由感性到理性、由模糊到清晰、由生疏到成熟的发展过程.数形结合的思想方法，其最大的优点是非常直观，常常能启发思维.最大的缺点是图像总有局限性，如果图像绘制得不够准确，常常引起误解或漏解.因此，我们用数形结合分析问题时，应尽可能地伴以严密的逻辑推理，使掌握方法和发展能力有机地结合起来.