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【摘要】人教版二上册“简单的排列”只涉及到发现3个事物的排列数，在教师精心的教学设计中，构建了符合学生认知特点的数学学习活动。在组数、照相、送书等教学过程中，让学生感受数学与现实生活的联系，拓展学生的视野；在“体验——感悟——提升”的教学过程中，帮助学生形成有序、全面思考问题的方法，逐步渗透分类的数学思想方法，培养学生的数学思维能力和数学素养。
【关键词】小学数学；排列；思维；素养
一、案例背景
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）提出第一学段问题解决的要求是：“了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法”，而“数学广角”作为人教版教材独有的内容，其意图在于系统而有步骤地把一些重要的数学思想方法，通过学生可以理解的、日常生活中常见的最简单的事例呈现出来，借助一些操作等直观手段向学生进行渗透。
从二年级上册的第八单元开始设置“数学广角”单元，虽然这部分内容要求学生了解即可，不作为考试要求，但在生活中学生经常遇到简单的排列问题（照相问题、送书问题等），通过“简单的排列”一课，学生可以初步了解分类的数学思想，并根据分类依据不同可以了解到解决同一个问题可以用不同的方法，不仅可以提高学生的学习兴趣，激发学生的好奇心，还有利于学生逐渐学会从数学的角度看待身边的事物。
二、教材分析
从《义务教育教科书教师教学用书·数学二年级上册》的“第八单元 数学广角”的内容安排及其特点的内容中了解到，排列与组合的思想方法在现实生活中应用的广泛性，是学生以后学习概率统计知识的基础，还是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。因此人教版教材分两次在数学广角单元安排了排列与组合的内容，第一次是在二年级上册，第二次是在三年级下册（详见表一）。二年级上册第八单元数学广角的教学内容主要是让学生通过操作、观察、猜测等方法，发现3个不同数字组成两位数的排列数、3个数字两两求和的组合数，初步渗透排列与组合的思想方法，逐步培养学生有序、全面思考问题的意识，以及探索数学问题的兴趣与欲望，同时积累数学活动的基本经验，感受数学与现实生活的关系，进而达到《课标（2011年版）》第一学段的要求。
三、主要内容
基于以上认识，我认为可以借助例题，通过“审读题意 交流理解——独立尝试 小组交流——回顾过程 体会方法”三个环节，先让学生学会审题并独立思考，通过摆数字卡片、列表等方法展开的操作与观察，用自己喜欢的方式表达出来；然后，利用小组合作交流，感受他人的思考；最后明晰排列的方法，感受怎样才能不重复、不遗漏找出简单事物排列数。在“体验——感悟——提升”的过程中，初步培养学生进行有序、全面思考的意识，并逐步学会这种思考方法。
四、实践情况简介
片断一：审读题意，交流理解
师：PPT出示教科书P97例1题目：例1 用1、2和3组成两位数，要求每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？
师：请同学们齐读题目，整体把握题意。
生：（第一次读题）。
师：同学们读的非常整齐，请同学们再次读题，找出关键词，理解题意。
生：（第二次读题）。
师：再次读完题目，哪位同学来说说你找到的关键词是什么？
生1：我找到的关键词是“两位數”，也就是这个数是由2个数字组成的，最高位是十位。
生2：我找到的是“1、2、3”也就是只能从这几个数字中找。
生3：我找到的是“不能一样”，个位数和十位数不能一样就是说不能组成11或22、33。
生4：我找到的是“几个”，题目是要求的是数量。
师：PPT圈出关键词。同学们找的非常准确，解释的也很到位，那我们要知道有多少个两位数，就要先把所有满足条件的两位数都找出来。
点评：数学学习的过程就是解决问题的过程。因此要先让学生通过多次读题，把握、理解题意，明白组数的要求，为后面能正确解题铺垫，也能培养学生良好的审题习惯。
片断二：独立尝试，小组交流
师：请同学们先独立用数字卡片摆一摆，用你喜欢的方式记录下来。（学生独立活动）
师：你们都摆好并记录好了吗？下面请两人一组，说说各自的想法。（学生小组交流）
片断三：回顾过程，体会方法
师：通过小组交流，相信同学们都能有所收获，哪位同学先来说一说你的想法。
生1：我是先把1固定在十位上，那个位上就可以是2或3，组成12、13；然后把2固定在十位上，个位上就可以是1或3组成21、23；最后把3固定在十位上，个位上就是1或2组成31、32，一共能组成6个两位数。
师：讲得非常清晰！我们可以用分类的方法进行思考，先固定十位上的数，把再和个位上的不同数进行搭配。（板书：12、13、21、23、31、32 固定十位）还有不同的想法吗？
生2：我摆出来的数有12、31、23、21、32共5个两位数。
师：这两位同学数出来的结果不一样，为什么呢？哪位同学能来说一说？
生3：因为第2位同学他摆的太乱了，缺了一个数31。
师：同学们观察的真仔细，所以我们在摆数时怎样才能做到不遗漏、不重复呢？
生：要有顺序地思考！（师板书：有序思考 不重复 不遗漏）
师：如何有序思考呢，请你来说一说你的想法？
生4：因为要组成的是两位数，所以在3个数字中先选出了1和2，就可以组成12和21，选择2和3能组成23和32，选择1和3能组成13和31，也是能组成6个两位数。
师：是的，这3个数先进行两两搭配，再交换它们的位置，因为把同样的数字放在不同的数位上表示的数是不同的。所以在进行组数时需要考虑数的顺序。还有不同方法吗？（板书：12、21、23、32、13、31 调换位置） 生5：我用的方法跟第一位同学的很像，不过我是先固定个位，当个位是1的有21、31，个位上是2的有12、32，个位上是3的有13、23，能组成6个两位数。（板书：21、31、12、32、13、23 固定个位）
师：同学们真棒！同一个题目能想出3种不同的解决方法。但无论用哪一种方法，以上几位同学都能组成几个两位数？
生：能组成6个不同的两位数。（板书：答：能组成6个不同的两位数）
师小结：在解决简单的排列问题时，我们可以用分类的方法进行有序地思考，这样我们才能做到不重复，不遗漏。
点评：教学过程中应允许学生用不同的方法解决问题。让学生经历摆一摆、说一说等活动过程，亲身体会到在组数时，要有序思考，才能不重复、不遗漏的将所有的数全部列举出来，并在了解的基础上选用自己喜欢的方法加以运用。同时在汇报与交流中体会到排列方法的多样化和优化，培养学生的动手能力、合作意识和交流能力。在“体验——感悟——提升”的过程中，逐渐培养学生的数学素养。
五、教学后记与反思
1.立足更高视角，把握教学重点
学生的发展是课程的出发点和归宿，陶行知先生说过：“人像树木一样，要使他们尽量长上去，不能勉强都长得一样高，应当是：立脚点上求平等，于出头处谋自由。”所以本节课要把握住经历探索简单事物的排列过程，了解排列的基本方法这一教学重点，让大部分学生能知道可以用固定位置法和调换位置法来解决简单的排列问题，而思维敏捷的学生则能优化方法，遇到稍复杂的排列问题也能用同样的方法去思考去解决。
2.顺应学生思维，着力思维递进
教育家布鲁纳说过：“学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者。”基于对《教师教学用书》的解读，从学生原有思维水平出发，我先让学生读懂题意明白组数的要求，独立思考用自己喜欢的方式记录下来，体验解题的过程。再运用小组合作、共同探究的模式，让学生在互相交流、互相沟通从中感悟解题的多样性。在例题中“用1、2、3三个数字可以组成几个不同的两位数”，这个问题并不是学生看一眼就可以解答出来的，它需要认真观察、思考。因此，要求学生先独立完成，再通过组内交流、全班交流，感受他人的思考，感受怎样才能进行有序、全面地思考，并逐步学会用这种思考方式。接著学生在汇报用固定十位法或交换位置法解决问题时给学生渗透分类思想，感悟数学思想。最后希望学生通过自己的操作、思考与交流，能积累基本数学活动经验，获得全面、有序地思考问题的基本思路、基本方法。
每一个教学内容的发生与发展都有着一定的逻辑，一方面来自于学生思维发展的规律，另一方面源于学科知识本身的结构体系。在教学中先让学生独立完成，自主发现，而后借助交流、讨论完善，在主动参与中获取的知识学生会更有成就感。教师在听取汇报中也要顺应学生的思维，帮助学生细化认知的方法以达到知识内化的效果。
3.着眼数学思想，培育核心素养
教学不只是知识技能的教学，还承担着育人的功能，即培养人的核心素养。本节课把分类这一重要的数学思想方法，通过学生可以理解的、日常生活中常见的最简单的事例呈现出来，借助摆一摆、说一说等直观手段向学生进行渗透。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的分类等。在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。
（点评、指导老师：广州市天河区棠德南小学 阮蕾）
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012，1.
[2]教育部.义务教育教科书·数学二、三年级上册、下册[M].人民教育出版社，2013.
[3]教育部.义务教育教学科书教师教学用书·数学二、三年级上册、下册 [M].人民教育出版社，2013.
[4]王永春.小学数学与数学思想方法[M].华东师范大学出版社，2014，10.
【关键词】小学数学；排列；思维；素养
一、案例背景
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）提出第一学段问题解决的要求是：“了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法”，而“数学广角”作为人教版教材独有的内容，其意图在于系统而有步骤地把一些重要的数学思想方法，通过学生可以理解的、日常生活中常见的最简单的事例呈现出来，借助一些操作等直观手段向学生进行渗透。
从二年级上册的第八单元开始设置“数学广角”单元，虽然这部分内容要求学生了解即可，不作为考试要求，但在生活中学生经常遇到简单的排列问题（照相问题、送书问题等），通过“简单的排列”一课，学生可以初步了解分类的数学思想，并根据分类依据不同可以了解到解决同一个问题可以用不同的方法，不仅可以提高学生的学习兴趣，激发学生的好奇心，还有利于学生逐渐学会从数学的角度看待身边的事物。
二、教材分析
从《义务教育教科书教师教学用书·数学二年级上册》的“第八单元 数学广角”的内容安排及其特点的内容中了解到，排列与组合的思想方法在现实生活中应用的广泛性，是学生以后学习概率统计知识的基础，还是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。因此人教版教材分两次在数学广角单元安排了排列与组合的内容，第一次是在二年级上册，第二次是在三年级下册（详见表一）。二年级上册第八单元数学广角的教学内容主要是让学生通过操作、观察、猜测等方法，发现3个不同数字组成两位数的排列数、3个数字两两求和的组合数，初步渗透排列与组合的思想方法，逐步培养学生有序、全面思考问题的意识，以及探索数学问题的兴趣与欲望，同时积累数学活动的基本经验，感受数学与现实生活的关系，进而达到《课标（2011年版）》第一学段的要求。
三、主要内容
基于以上认识，我认为可以借助例题，通过“审读题意 交流理解——独立尝试 小组交流——回顾过程 体会方法”三个环节，先让学生学会审题并独立思考，通过摆数字卡片、列表等方法展开的操作与观察，用自己喜欢的方式表达出来；然后，利用小组合作交流，感受他人的思考；最后明晰排列的方法，感受怎样才能不重复、不遗漏找出简单事物排列数。在“体验——感悟——提升”的过程中，初步培养学生进行有序、全面思考的意识，并逐步学会这种思考方法。
四、实践情况简介
片断一：审读题意，交流理解
师：PPT出示教科书P97例1题目：例1 用1、2和3组成两位数，要求每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？
师：请同学们齐读题目，整体把握题意。
生：（第一次读题）。
师：同学们读的非常整齐，请同学们再次读题，找出关键词，理解题意。
生：（第二次读题）。
师：再次读完题目，哪位同学来说说你找到的关键词是什么？
生1：我找到的关键词是“两位數”，也就是这个数是由2个数字组成的，最高位是十位。
生2：我找到的是“1、2、3”也就是只能从这几个数字中找。
生3：我找到的是“不能一样”，个位数和十位数不能一样就是说不能组成11或22、33。
生4：我找到的是“几个”，题目是要求的是数量。
师：PPT圈出关键词。同学们找的非常准确，解释的也很到位，那我们要知道有多少个两位数，就要先把所有满足条件的两位数都找出来。
点评：数学学习的过程就是解决问题的过程。因此要先让学生通过多次读题，把握、理解题意，明白组数的要求，为后面能正确解题铺垫，也能培养学生良好的审题习惯。
片断二：独立尝试，小组交流
师：请同学们先独立用数字卡片摆一摆，用你喜欢的方式记录下来。（学生独立活动）
师：你们都摆好并记录好了吗？下面请两人一组，说说各自的想法。（学生小组交流）
片断三：回顾过程，体会方法
师：通过小组交流，相信同学们都能有所收获，哪位同学先来说一说你的想法。
生1：我是先把1固定在十位上，那个位上就可以是2或3，组成12、13；然后把2固定在十位上，个位上就可以是1或3组成21、23；最后把3固定在十位上，个位上就是1或2组成31、32，一共能组成6个两位数。
师：讲得非常清晰！我们可以用分类的方法进行思考，先固定十位上的数，把再和个位上的不同数进行搭配。（板书：12、13、21、23、31、32 固定十位）还有不同的想法吗？
生2：我摆出来的数有12、31、23、21、32共5个两位数。
师：这两位同学数出来的结果不一样，为什么呢？哪位同学能来说一说？
生3：因为第2位同学他摆的太乱了，缺了一个数31。
师：同学们观察的真仔细，所以我们在摆数时怎样才能做到不遗漏、不重复呢？
生：要有顺序地思考！（师板书：有序思考 不重复 不遗漏）
师：如何有序思考呢，请你来说一说你的想法？
生4：因为要组成的是两位数，所以在3个数字中先选出了1和2，就可以组成12和21，选择2和3能组成23和32，选择1和3能组成13和31，也是能组成6个两位数。
师：是的，这3个数先进行两两搭配，再交换它们的位置，因为把同样的数字放在不同的数位上表示的数是不同的。所以在进行组数时需要考虑数的顺序。还有不同方法吗？（板书：12、21、23、32、13、31 调换位置） 生5：我用的方法跟第一位同学的很像，不过我是先固定个位，当个位是1的有21、31，个位上是2的有12、32，个位上是3的有13、23，能组成6个两位数。（板书：21、31、12、32、13、23 固定个位）
师：同学们真棒！同一个题目能想出3种不同的解决方法。但无论用哪一种方法，以上几位同学都能组成几个两位数？
生：能组成6个不同的两位数。（板书：答：能组成6个不同的两位数）
师小结：在解决简单的排列问题时，我们可以用分类的方法进行有序地思考，这样我们才能做到不重复，不遗漏。
点评：教学过程中应允许学生用不同的方法解决问题。让学生经历摆一摆、说一说等活动过程，亲身体会到在组数时，要有序思考，才能不重复、不遗漏的将所有的数全部列举出来，并在了解的基础上选用自己喜欢的方法加以运用。同时在汇报与交流中体会到排列方法的多样化和优化，培养学生的动手能力、合作意识和交流能力。在“体验——感悟——提升”的过程中，逐渐培养学生的数学素养。
五、教学后记与反思
1.立足更高视角，把握教学重点
学生的发展是课程的出发点和归宿，陶行知先生说过：“人像树木一样，要使他们尽量长上去，不能勉强都长得一样高，应当是：立脚点上求平等，于出头处谋自由。”所以本节课要把握住经历探索简单事物的排列过程，了解排列的基本方法这一教学重点，让大部分学生能知道可以用固定位置法和调换位置法来解决简单的排列问题，而思维敏捷的学生则能优化方法，遇到稍复杂的排列问题也能用同样的方法去思考去解决。
2.顺应学生思维，着力思维递进
教育家布鲁纳说过：“学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者。”基于对《教师教学用书》的解读，从学生原有思维水平出发，我先让学生读懂题意明白组数的要求，独立思考用自己喜欢的方式记录下来，体验解题的过程。再运用小组合作、共同探究的模式，让学生在互相交流、互相沟通从中感悟解题的多样性。在例题中“用1、2、3三个数字可以组成几个不同的两位数”，这个问题并不是学生看一眼就可以解答出来的，它需要认真观察、思考。因此，要求学生先独立完成，再通过组内交流、全班交流，感受他人的思考，感受怎样才能进行有序、全面地思考，并逐步学会用这种思考方式。接著学生在汇报用固定十位法或交换位置法解决问题时给学生渗透分类思想，感悟数学思想。最后希望学生通过自己的操作、思考与交流，能积累基本数学活动经验，获得全面、有序地思考问题的基本思路、基本方法。
每一个教学内容的发生与发展都有着一定的逻辑，一方面来自于学生思维发展的规律，另一方面源于学科知识本身的结构体系。在教学中先让学生独立完成，自主发现，而后借助交流、讨论完善，在主动参与中获取的知识学生会更有成就感。教师在听取汇报中也要顺应学生的思维，帮助学生细化认知的方法以达到知识内化的效果。
3.着眼数学思想，培育核心素养
教学不只是知识技能的教学，还承担着育人的功能，即培养人的核心素养。本节课把分类这一重要的数学思想方法，通过学生可以理解的、日常生活中常见的最简单的事例呈现出来，借助摆一摆、说一说等直观手段向学生进行渗透。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的分类等。在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。
（点评、指导老师：广州市天河区棠德南小学 阮蕾）
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012，1.
[2]教育部.义务教育教科书·数学二、三年级上册、下册[M].人民教育出版社，2013.
[3]教育部.义务教育教学科书教师教学用书·数学二、三年级上册、下册 [M].人民教育出版社，2013.
[4]王永春.小学数学与数学思想方法[M].华东师范大学出版社，2014，10.