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摘要：无痕教育是徐斌近年来倾力倡导和深入研究的一种教育理念。它是“把教育意图与目的隐藏起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育的一种教育方式”，一种“润物无声”的教育。苏教版小学数学三年级上册《间隔排列》一课教学，围绕“无痕”，设计了“感知规律（不知不觉中开始）”“探索规律（潜移默化中理解）”“内化规律（循序渐进中掌握）”“运用规律（春风化雨中提升）”四个教学环节。
关键词：无痕教育 感知 探索 内化 运用
无痕教育是特级教师徐斌近年来倾力倡导和深入研究的一种教育理念。无痕教育，是指“把教育意图与目的隐藏起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育的一种教育方式”，一种“润物无声”的教育。笔者也深受无痕教育理念的影响，它已成为我课堂教学的指导思想与目标追求。下面，我就以苏教版小学数学三年级上册《间隔排列》一课为例，谈一谈我在实施无痕教育策略中的一些实践与思考。
新课程十分重视培养学生找规律的能力，在“数与代数”领域设计了“探索简单的变化规律”的培养目标，并作为重要的数学学习内容。本节课就是让学生探索两种物体间隔排列的简单规律，并进行简单应用，初步培养学生探索规律的意识和能力，其教学要点是让学生经历探索规律的过程。在无痕教育思想“把教育意图隐蔽起来”的指引之下，围绕“无痕”，我将本节课教学思路定为四步：“感知规律（不知不觉中开始）”“探索规律（潜移默化中理解）”“内化规律（循序渐进中掌握）”“运用规律（春风化雨中提升）”，并重新整合了教学内容，设计“排队游戏”活动作为学生发现规律的手段，把“兔子乐园”的情境图作为探索规律的途径，“动手操作”“身边的间隔排列”作为提升、巩固、内化规律的素材。
一、不知不觉中开始：在游戏中感知规律
教学中，根据学生已有的知识经验，从学生喜爱的游戏开始，通过教师的引导，让学生在不知不觉中产生学习的热情，是无痕教育追寻的基本境界。
【片段1】
师今天这堂课，我们来玩一个排队游戏，一起在游戏中边玩边学习，谁愿意来？
（请5名男生和5名女生上台。）
师如果让你来指挥，你能把他们，（指一指10名学生）按一定的规律排一排吗？
（学生做排队游戏，10名学生排成了“男女男女男女男女男女”的队形。）
师（问下面的学生）你们看出是按什么规律排的吗？
生我看出是按照一男一女一男一女地排的。
师观察得真仔細，老师也看出来了。这其实就是一种简单的“间隔排列”。
（板书：间隔排列。）
将排队游戏与间隔排列结合起来，在轻松的形式、活泼的内容中唤醒学生的生活经验和旧知，自然而然地揭示课题，不知不觉中激发热情，不知不觉中激活思维。
【片段2】
师排队游戏真是有趣！老师也想当回指挥了！让我也来试试好不好？
（课件出示排队要求：请女同学先排成一排，然后请男同学站到女同学中间，使男女同学间隔排列。注意，男同学的左右两边必须有女同学，看谁站得快。）
师男生们，准备好了！预备！开始！
（必然会出现两个男生排在一起的情况。）
师俗话说一山不容二虎啊！谁想个好办法解决他们之间的纷争！
生增加一个女生。
师真是个好办法！就请你吧！
（将这名女生排到队尾。）
师这样就符合要求了。
师观察一下，看看队伍的头和尾，你有什么发现？再数一数男生人数和女生人数，你又有什么发现？
生两边都是女生。
生女生比男生多一人。
师说得真是不错！通过观察我们发现，（课件出示小结）男生和女生一个隔着一个地间隔排列，并且两端都是女生，女生比男生多1人。或者说，男生就比女生——
生（齐）少1人。
先让学生做指挥官玩排队游戏，引人间隔排列这一排列现象，接着教师加入游戏做指挥官，创设了队伍不符合要求这一问题情境，学生观察发现，可以通过增加一个女生或者去掉一个男生的方法使队伍符合要求，初步形成“男生和女生一一间隔排列，并且两端都是女生，男生和女生相差1人”的认识。学生在不知不觉中经历了发现问题与解决问题的过程，初步感知了“间隔排列”的特点与规律。
二、潜移默化中理解：在情境中探索规律
皮亚杰在他的“认知发展阶段论”中将小学阶段儿童的认知发展水平定义为第三阶段，即“具体运算思维”阶段，其最明显的特征是面对问题情境时，能按照逻辑法则进行推理，但是这种能力只限于对当前的具体情境或熟悉的经验。
【片段3】
师同学们玩排队游戏玩得这么开心，小兔子们也想来玩一玩了，让咱们一起到“兔子乐园”里去看一看吧。
（出示“兔子乐园”情境图，如图1。）
师看看“兔子乐园”中有没有刚才发现的间隔排列现象呢？
生（齐）有。
生夹子和手帕、兔子和蘑菇、木桩和篱笆。
师真好，他一下子找到了三组间隔排列的现象，我们先看第一组，数一数有几个夹子？
生10个。
师几块手帕？
生9块。
师再数一数有几只兔子？
生8只。能不能不用数，直接说出蘑菇的个数呢？
生7个。
师最后这一组，老师想请同学们数一数篱笆的块数，看你们能不能直接说出木桩的根数。
（出示完整的表格，如表1。）
师比一比，你有什么发现？
生我发现兔子与蘑菇、木桩与篱笆、夹子与手帕的数量都相差1。
生每组排列的头和尾都同样。 师两位同学都有所发现，谁能把他们的发现合成一句话呢？
生如果每组排列的首尾相同，那么这两种物体的数量就相差1。
师两种物体一一间隔排列，并且两端的物体相同，这两种物体的个数就相差1。
用学生喜闻乐见的童话故事的形式展开学习活动，多媒体呈现了“兔子乐园”，让学生初步找一找间隔排列关系，接着依次呈现“夹子和手帕”“兔子和蘑菇”“篱笆和木桩”的图片，通过让学生数第一组的两个物体各是多少个，数第二组中小兔的只数直接说出蘑菇的个数，数第三组中篱笆的块数直接说出木桩的根数，从而使学生在潜移默化中经历了从感性认识向理性认识上升的过程。这时，学生对规律的认识已具有普遍意义。
三、循序渐进中掌握：在操作中内化规律
皮亚杰认为：“具体运算思维一般还离不开具体事物的支持，而且这些运算还是零散的，还不能组成一个结构的整体、一个完整的系统。随着具体运算的出现，儿童开始思考多种动作，这些动作是针对客体的实际操作。”课堂上，我立足于化静的知识为动的过程，让学生在做中学，在做中发现，经历知识的形成过程。
【片段4】
师刚才我们通过观察比较，归纳发现了间隔排列的规律，想不想通过自己的双手来创作一些这样的排列呢？
（出示操作要求：把6个■与一些●一个隔一个地摆成一行，你能想出哪些摆法？学生操作后展示。）
师谁愿意把自己的作品给大家欣赏一下？
（两位学生先后展示圖2、图3。）
师看来摆法还挺多，还有别的不同的形式吗？
生我觉得还可以像这样摆，（展示图4）或者像这样摆（展示图5）。
师你一下子说出了两种摆法，那刚才的两种你想到了吗？
生想到了。
师也就是，你想到了四种摆法！太厉害了，老师想采访你一下，有什么心得体会没有？你是先摆好所有的正方形，还是从一边开始依次一个一个地摆的？
生我是先把所有正方形摆好，再把圆填进去的，因为正方形的个数是固定的，而圆的个数却不一定。
师嗯，没有盲目开始，而是经过思考之后再付诸行动，真好！（出示完整的四种摆法）请同学们仔细观察，你能将四种情况分成两类吗？
数学活动经验是数学素养的重要标志，而数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，在数学学习活动过程中逐步积累。引导学生通过自己的双手来创作一个间隔排列，让学生动手画一画，作为“兔子乐园”情境的推广与深入，用图形代替具体物体，更具抽象性，难度更大。在学生充分动手画一画的基础上追问：你能将四种情况分成两类吗？旨在引导学生根据图形两端的情况分成“两端相同”和“两端不同”这两类，使学生对间隔排列现象的认识进一步得到丰满，也为接下来两种物体一一间隔围成封闭图形的规律的探索做好铺垫。
四、春风化雨中提升：在生活中运用规律
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。……课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”
【片段5】
师同学们，今天的课堂不止有我们，还有许多听课的老师呢！老师们坐到现在很辛苦啊！让我们来向听课的老师问声好吧！挥挥手，说声“Hi”！
（学生与教师一起挥手向听课的老师问好。）
师（伸出打招呼的手）这样叫作“五指并拢”，那把五指分开呢，出现了什么？
生空档！
师空档！这个词用得好！有几个空档呢？
生4个。有刚才发现的间隔排列的规律吗？
生有。
师再把拳头握紧，你还能发现吗？
生我发现拳头上高起来的地方比矮的地方多1。
师间隔排列在生活中真是非常常见，看看我们的大会场，你能找到这种间隔排列吗？
生我发现课桌和椅子是间隔排列的。
生我发现墙上的瓷砖和缝隙也是间隔排列的。
……
让学生向后面听课的老师挥手致意，由此自然地把学生的注意力吸引到对手的观察上来，发现手指和空档之间的规律，再进一步延伸到让学生发现生活中还有哪些间隔排列的现象。这样设计，既为教学目标服务，又活跃了课堂氛围，拉近了师生情感。再让学生寻找身边的间隔现象的事例，学生的感性材料更充实了，对规律的理性认识也必定更清楚、更牢固。生活的边界就是教育的边界，把教学内容和生活情景有机地结合起来，让数学贴近生活，能让学生真正体会到生活中充满了数学，生活真有趣，学习数学真有趣。
【片段6】
师课上到现在，大家觉得间隔排列有意思吗？其实最有意思的间隔排列在这里，让我们一起欣赏几张图片，体会间隔排列的美。
（课件依次呈现：间隔排列的蜡烛、圆柏与棕榈、精美手链、路灯、公共自行车。）
师红白相隔排列的蜡烛，晚餐时摆在桌面上，尽显温馨和浪漫。
生（齐声惊叹）哇！好美啊！
师苍翠的圆柏与棕榈间隔排列，在它们的点缀下，校园变得更加美丽了。
师一串精美的手链，简单而不失高贵，充满时尚韵味。
（众人皆惊叹。）
师马路边的路灯整齐有序地排列成行，既能给夜行的路人带来光明，又美化了城市的环境。
生（齐声惊叹）哇！
师我们提倡绿色低碳的出行方式，于是公共自行车便成为这个城市里一道靓丽的风景线。
生哇！
师孩子们，有人说，数学就是一些数字与符号进行的枯燥乏味的组合，看完了这么多美丽的间隔排列，大家觉得，数学美吗？
生（齐）美！
师套用一句广告词“生活可以更美的”，数 学，也可以更美的，希望同学们做个有心人，用你的敏锐的双眼去捕捉数学的美！
间隔排列本身就具有对称之美、和谐之美。引导学生用“间隔排列”这一新视角欣赏几幅常见物体的图片——这些图片的内容既指向本课的教学内容，又给学生以美的享受，配上富有感染力和美感的语言描述，使学生感受到有规律间隔排列的美妙，感受数学的奇妙和无所不在。
根深才能叶茂。无痕教育理念指导下的数学课堂，是学生享受教师服务的过程，在这样的过程中，学生的学习经历是充实而快乐的，师生之间的共鸣是强烈的，数学素养的提升便是水到渠成的。
关键词：无痕教育 感知 探索 内化 运用
无痕教育是特级教师徐斌近年来倾力倡导和深入研究的一种教育理念。无痕教育，是指“把教育意图与目的隐藏起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育的一种教育方式”，一种“润物无声”的教育。笔者也深受无痕教育理念的影响，它已成为我课堂教学的指导思想与目标追求。下面，我就以苏教版小学数学三年级上册《间隔排列》一课为例，谈一谈我在实施无痕教育策略中的一些实践与思考。
新课程十分重视培养学生找规律的能力，在“数与代数”领域设计了“探索简单的变化规律”的培养目标，并作为重要的数学学习内容。本节课就是让学生探索两种物体间隔排列的简单规律，并进行简单应用，初步培养学生探索规律的意识和能力，其教学要点是让学生经历探索规律的过程。在无痕教育思想“把教育意图隐蔽起来”的指引之下，围绕“无痕”，我将本节课教学思路定为四步：“感知规律（不知不觉中开始）”“探索规律（潜移默化中理解）”“内化规律（循序渐进中掌握）”“运用规律（春风化雨中提升）”，并重新整合了教学内容，设计“排队游戏”活动作为学生发现规律的手段，把“兔子乐园”的情境图作为探索规律的途径，“动手操作”“身边的间隔排列”作为提升、巩固、内化规律的素材。
一、不知不觉中开始：在游戏中感知规律
教学中，根据学生已有的知识经验，从学生喜爱的游戏开始，通过教师的引导，让学生在不知不觉中产生学习的热情，是无痕教育追寻的基本境界。
【片段1】
师今天这堂课，我们来玩一个排队游戏，一起在游戏中边玩边学习，谁愿意来？
（请5名男生和5名女生上台。）
师如果让你来指挥，你能把他们，（指一指10名学生）按一定的规律排一排吗？
（学生做排队游戏，10名学生排成了“男女男女男女男女男女”的队形。）
师（问下面的学生）你们看出是按什么规律排的吗？
生我看出是按照一男一女一男一女地排的。
师观察得真仔細，老师也看出来了。这其实就是一种简单的“间隔排列”。
（板书：间隔排列。）
将排队游戏与间隔排列结合起来，在轻松的形式、活泼的内容中唤醒学生的生活经验和旧知，自然而然地揭示课题，不知不觉中激发热情，不知不觉中激活思维。
【片段2】
师排队游戏真是有趣！老师也想当回指挥了！让我也来试试好不好？
（课件出示排队要求：请女同学先排成一排，然后请男同学站到女同学中间，使男女同学间隔排列。注意，男同学的左右两边必须有女同学，看谁站得快。）
师男生们，准备好了！预备！开始！
（必然会出现两个男生排在一起的情况。）
师俗话说一山不容二虎啊！谁想个好办法解决他们之间的纷争！
生增加一个女生。
师真是个好办法！就请你吧！
（将这名女生排到队尾。）
师这样就符合要求了。
师观察一下，看看队伍的头和尾，你有什么发现？再数一数男生人数和女生人数，你又有什么发现？
生两边都是女生。
生女生比男生多一人。
师说得真是不错！通过观察我们发现，（课件出示小结）男生和女生一个隔着一个地间隔排列，并且两端都是女生，女生比男生多1人。或者说，男生就比女生——
生（齐）少1人。
先让学生做指挥官玩排队游戏，引人间隔排列这一排列现象，接着教师加入游戏做指挥官，创设了队伍不符合要求这一问题情境，学生观察发现，可以通过增加一个女生或者去掉一个男生的方法使队伍符合要求，初步形成“男生和女生一一间隔排列，并且两端都是女生，男生和女生相差1人”的认识。学生在不知不觉中经历了发现问题与解决问题的过程，初步感知了“间隔排列”的特点与规律。
二、潜移默化中理解：在情境中探索规律
皮亚杰在他的“认知发展阶段论”中将小学阶段儿童的认知发展水平定义为第三阶段，即“具体运算思维”阶段，其最明显的特征是面对问题情境时，能按照逻辑法则进行推理，但是这种能力只限于对当前的具体情境或熟悉的经验。
【片段3】
师同学们玩排队游戏玩得这么开心，小兔子们也想来玩一玩了，让咱们一起到“兔子乐园”里去看一看吧。
（出示“兔子乐园”情境图，如图1。）
师看看“兔子乐园”中有没有刚才发现的间隔排列现象呢？
生（齐）有。
生夹子和手帕、兔子和蘑菇、木桩和篱笆。
师真好，他一下子找到了三组间隔排列的现象，我们先看第一组，数一数有几个夹子？
生10个。
师几块手帕？
生9块。
师再数一数有几只兔子？
生8只。能不能不用数，直接说出蘑菇的个数呢？
生7个。
师最后这一组，老师想请同学们数一数篱笆的块数，看你们能不能直接说出木桩的根数。
（出示完整的表格，如表1。）
师比一比，你有什么发现？
生我发现兔子与蘑菇、木桩与篱笆、夹子与手帕的数量都相差1。
生每组排列的头和尾都同样。 师两位同学都有所发现，谁能把他们的发现合成一句话呢？
生如果每组排列的首尾相同，那么这两种物体的数量就相差1。
师两种物体一一间隔排列，并且两端的物体相同，这两种物体的个数就相差1。
用学生喜闻乐见的童话故事的形式展开学习活动，多媒体呈现了“兔子乐园”，让学生初步找一找间隔排列关系，接着依次呈现“夹子和手帕”“兔子和蘑菇”“篱笆和木桩”的图片，通过让学生数第一组的两个物体各是多少个，数第二组中小兔的只数直接说出蘑菇的个数，数第三组中篱笆的块数直接说出木桩的根数，从而使学生在潜移默化中经历了从感性认识向理性认识上升的过程。这时，学生对规律的认识已具有普遍意义。
三、循序渐进中掌握：在操作中内化规律
皮亚杰认为：“具体运算思维一般还离不开具体事物的支持，而且这些运算还是零散的，还不能组成一个结构的整体、一个完整的系统。随着具体运算的出现，儿童开始思考多种动作，这些动作是针对客体的实际操作。”课堂上，我立足于化静的知识为动的过程，让学生在做中学，在做中发现，经历知识的形成过程。
【片段4】
师刚才我们通过观察比较，归纳发现了间隔排列的规律，想不想通过自己的双手来创作一些这样的排列呢？
（出示操作要求：把6个■与一些●一个隔一个地摆成一行，你能想出哪些摆法？学生操作后展示。）
师谁愿意把自己的作品给大家欣赏一下？
（两位学生先后展示圖2、图3。）
师看来摆法还挺多，还有别的不同的形式吗？
生我觉得还可以像这样摆，（展示图4）或者像这样摆（展示图5）。
师你一下子说出了两种摆法，那刚才的两种你想到了吗？
生想到了。
师也就是，你想到了四种摆法！太厉害了，老师想采访你一下，有什么心得体会没有？你是先摆好所有的正方形，还是从一边开始依次一个一个地摆的？
生我是先把所有正方形摆好，再把圆填进去的，因为正方形的个数是固定的，而圆的个数却不一定。
师嗯，没有盲目开始，而是经过思考之后再付诸行动，真好！（出示完整的四种摆法）请同学们仔细观察，你能将四种情况分成两类吗？
数学活动经验是数学素养的重要标志，而数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，在数学学习活动过程中逐步积累。引导学生通过自己的双手来创作一个间隔排列，让学生动手画一画，作为“兔子乐园”情境的推广与深入，用图形代替具体物体，更具抽象性，难度更大。在学生充分动手画一画的基础上追问：你能将四种情况分成两类吗？旨在引导学生根据图形两端的情况分成“两端相同”和“两端不同”这两类，使学生对间隔排列现象的认识进一步得到丰满，也为接下来两种物体一一间隔围成封闭图形的规律的探索做好铺垫。
四、春风化雨中提升：在生活中运用规律
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。……课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”
【片段5】
师同学们，今天的课堂不止有我们，还有许多听课的老师呢！老师们坐到现在很辛苦啊！让我们来向听课的老师问声好吧！挥挥手，说声“Hi”！
（学生与教师一起挥手向听课的老师问好。）
师（伸出打招呼的手）这样叫作“五指并拢”，那把五指分开呢，出现了什么？
生空档！
师空档！这个词用得好！有几个空档呢？
生4个。有刚才发现的间隔排列的规律吗？
生有。
师再把拳头握紧，你还能发现吗？
生我发现拳头上高起来的地方比矮的地方多1。
师间隔排列在生活中真是非常常见，看看我们的大会场，你能找到这种间隔排列吗？
生我发现课桌和椅子是间隔排列的。
生我发现墙上的瓷砖和缝隙也是间隔排列的。
……
让学生向后面听课的老师挥手致意，由此自然地把学生的注意力吸引到对手的观察上来，发现手指和空档之间的规律，再进一步延伸到让学生发现生活中还有哪些间隔排列的现象。这样设计，既为教学目标服务，又活跃了课堂氛围，拉近了师生情感。再让学生寻找身边的间隔现象的事例，学生的感性材料更充实了，对规律的理性认识也必定更清楚、更牢固。生活的边界就是教育的边界，把教学内容和生活情景有机地结合起来，让数学贴近生活，能让学生真正体会到生活中充满了数学，生活真有趣，学习数学真有趣。
【片段6】
师课上到现在，大家觉得间隔排列有意思吗？其实最有意思的间隔排列在这里，让我们一起欣赏几张图片，体会间隔排列的美。
（课件依次呈现：间隔排列的蜡烛、圆柏与棕榈、精美手链、路灯、公共自行车。）
师红白相隔排列的蜡烛，晚餐时摆在桌面上，尽显温馨和浪漫。
生（齐声惊叹）哇！好美啊！
师苍翠的圆柏与棕榈间隔排列，在它们的点缀下，校园变得更加美丽了。
师一串精美的手链，简单而不失高贵，充满时尚韵味。
（众人皆惊叹。）
师马路边的路灯整齐有序地排列成行，既能给夜行的路人带来光明，又美化了城市的环境。
生（齐声惊叹）哇！
师我们提倡绿色低碳的出行方式，于是公共自行车便成为这个城市里一道靓丽的风景线。
生哇！
师孩子们，有人说，数学就是一些数字与符号进行的枯燥乏味的组合，看完了这么多美丽的间隔排列，大家觉得，数学美吗？
生（齐）美！
师套用一句广告词“生活可以更美的”，数 学，也可以更美的，希望同学们做个有心人，用你的敏锐的双眼去捕捉数学的美！
间隔排列本身就具有对称之美、和谐之美。引导学生用“间隔排列”这一新视角欣赏几幅常见物体的图片——这些图片的内容既指向本课的教学内容，又给学生以美的享受，配上富有感染力和美感的语言描述，使学生感受到有规律间隔排列的美妙，感受数学的奇妙和无所不在。
根深才能叶茂。无痕教育理念指导下的数学课堂，是学生享受教师服务的过程，在这样的过程中，学生的学习经历是充实而快乐的，师生之间的共鸣是强烈的，数学素养的提升便是水到渠成的。