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摘要：随着我国素质教育的全面推进，用数学开放题培养学生的创新意识和能力，已经成了教改的热点，数学开放题是数学教学中的一种新题型。在初中数学教学中，切实培养学生发散性思维，加强创新教育，近几年出现了一批符合学生的年龄特点和认识水平，设计优美、个性独特的开放题。为了培养学生的发散思维能力，我们有必要对数学开放题进行研究和实践。
关键词：开放型试题；学生思维；创新
【中图分类号】G633.6
著名的数学教育家G.波利亚有言道："没有任何一道题目是可以解决得十全十美的，总是剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。"事实上，这些点滴的发现，恰恰是学生思维灵感的喷发。
所谓开放型试题是相对有明确条件和明确结论的封闭式试题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的试题。在教学过程中，恰当地设計一些开放型试题，犹如虽题意意境幽深，均可成为曲径通幽处。培养学生做个敏锐的探索者，不难发现散落在其中那些璀璨的明珠。下面我们针对几个典型展开讨论。
一、练条件多向型开放题，开发学生思维的发散性
所谓条件多向型开放题，就是对同一个问题可以有多重思维方向，使学生产生纵横联想，整合思路，探求解法。说白了就是一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散性思维，培养学生的思维的广阔性和灵活性。
如例1，⊙O是⊿ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，AD是⊿ABC中BC边上的高，EF⊥BC，垂足为F，求证：BF=CD.
分析：本题结论是证明两条线段相等，寻这一方向，我们不难思索出一些常用的方法，如"在同一个三角形中，等角对等边。"或"全等三角形对应边相等。"另有"在同圆或等圆中，通过圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距互相转化可证明线段相等。"又或"应用平行线分线段成比例定理。"等等。有了这些思想方法作为解题的基础，学生解答起来就轻松自如了。
二、练条件隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性
所谓条件隐藏型开放题，是指解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，若不注意深入挖掘，容易遗漏。在解题时既要考虑问题及明确的条件，又要考虑与问题有关的隐藏着的条件。这样有利于培养学生认真细致的审题习惯和思维的缜密性。
如例2、
分析：学生拿到题目，大都想到二次根式的性质，故直接将的化简分类讨论：a+1≥0，a+1<0两种情况。却没有考虑到中隐藏条件a≥0，则可得到a+1>0.
解：原式=a+1+a=2a+1
例3、已知a，b，c分别是三角形的三边长，化简
分析：学生初看这一串复杂的代数式，一下子难以下手。若不细细品味，一个重要的隐藏条件恐怕就要"藏在深闺无人识"了。a，b，c作为三角形的三边长，具备：a+b>c，a+c>b，b+c>a.则b+c-a>0，c-a-c>0，b-c-a>0.再利用二次根式的性质就不难得到答案了。
原式=（b+c-a）-（c-a-b）-（b-c-a）
=3b-a-c
三、练条件多余型开放题，成长学生思维品质的批判性
英国数学家阿蒂亚说过："研究数学的目的之一就是尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界。"简单性被人们公认数学美的一个特征。
而所谓的条件多余型开放题，是恰恰将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素。这就需要学生在解题时，认真分析题中的每一个条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性，寻找数学的美。
如例4、如图4，直线k‖l，∠2-∠1=∠3-∠2=∠4-∠3=d>0， ∠3<90°， ∠1=50°，则∠4的最大可能整数值是多少？
分析：学生一看到图结合条件"k‖l，"拼命地在寻找同位角，内错角的关系，把自己逼入了胡同。其实撇开k‖l，把剩余条件∠1，∠，2，∠，3，∠，4之间的关系代入计算，不难得出答案。
四、练结论不定性开放题，提高学生思维的深刻性
此类题目的基本特征是有条件无结论，或结论正确与否需要进一步证明，或在给定的条件下结论不唯一。解决此类题目需要学生研究特殊情况，对不同的情况进行分类讨论，整合自身数学系统的知识点，提高学生思维的深刻性。
如例5、在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在第二象限，点C在坐标轴上，且△ABC是Rt△，请问这样的△ABC有多少个。
分析：此题是典型的结论不唯一的开放题，学生咋看对于AB的画法有无数多种，难以归纳总结。此时不妨对它极端化，处理AB放在最为特殊的位置：AB∥x轴，且被y轴平分，原点O到AB的距离大于.那么另外一种最为普通的情况也浮出水面，即不满足AB特殊情况条件下AB的位置。
五、练缺少型开放题，锻炼学生思维的灵活性
缺少型开放题，大致可分为两类：条件缺少型开放题和结论缺少型开放题。
⒈条件缺少型开放题
此类题目给定了一个结论，但条件未知或满足结论的条件不唯一。故条件缺少型开放题的明显特征是缺少确定的条件，补充的条件有多种选择，解此类题得基本策略是执果索因，寻找结论成立的条件，从而锻炼学生思维的灵活性。
⒉结论缺少型开放题
此类题目条件充足甚至富余，但结论不确定，需要学生自己组合条件中的知识点，确定一个正确的结论，组合成一个新的正确的命题，并可给出必要的证明。
总而言之，练开放型试题关键在于教师要注意讲究"放"的策略，既要大胆地"放一放"，把时间留给学生，让学生有机会去探索全面、正确的结论，又要善于把握全局，调控"放"度，凡是学生能提的问题，教师决不代替；学生能思考的问题，教师决不暗示；学生能解决的问题，教师决不插手，真正做到适时而"放"，提高"放"的整体效率。长此以往，学生肯定能够形成应对变化的能力，从而达到"任尔东南西北风"，我亦游刃有余的境界。
关键词：开放型试题；学生思维；创新
【中图分类号】G633.6
著名的数学教育家G.波利亚有言道："没有任何一道题目是可以解决得十全十美的，总是剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。"事实上，这些点滴的发现，恰恰是学生思维灵感的喷发。
所谓开放型试题是相对有明确条件和明确结论的封闭式试题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的试题。在教学过程中，恰当地设計一些开放型试题，犹如虽题意意境幽深，均可成为曲径通幽处。培养学生做个敏锐的探索者，不难发现散落在其中那些璀璨的明珠。下面我们针对几个典型展开讨论。
一、练条件多向型开放题，开发学生思维的发散性
所谓条件多向型开放题，就是对同一个问题可以有多重思维方向，使学生产生纵横联想，整合思路，探求解法。说白了就是一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散性思维，培养学生的思维的广阔性和灵活性。
如例1，⊙O是⊿ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，AD是⊿ABC中BC边上的高，EF⊥BC，垂足为F，求证：BF=CD.
分析：本题结论是证明两条线段相等，寻这一方向，我们不难思索出一些常用的方法，如"在同一个三角形中，等角对等边。"或"全等三角形对应边相等。"另有"在同圆或等圆中，通过圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距互相转化可证明线段相等。"又或"应用平行线分线段成比例定理。"等等。有了这些思想方法作为解题的基础，学生解答起来就轻松自如了。
二、练条件隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性
所谓条件隐藏型开放题，是指解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，若不注意深入挖掘，容易遗漏。在解题时既要考虑问题及明确的条件，又要考虑与问题有关的隐藏着的条件。这样有利于培养学生认真细致的审题习惯和思维的缜密性。
如例2、
分析：学生拿到题目，大都想到二次根式的性质，故直接将的化简分类讨论：a+1≥0，a+1<0两种情况。却没有考虑到中隐藏条件a≥0，则可得到a+1>0.
解：原式=a+1+a=2a+1
例3、已知a，b，c分别是三角形的三边长，化简
分析：学生初看这一串复杂的代数式，一下子难以下手。若不细细品味，一个重要的隐藏条件恐怕就要"藏在深闺无人识"了。a，b，c作为三角形的三边长，具备：a+b>c，a+c>b，b+c>a.则b+c-a>0，c-a-c>0，b-c-a>0.再利用二次根式的性质就不难得到答案了。
原式=（b+c-a）-（c-a-b）-（b-c-a）
=3b-a-c
三、练条件多余型开放题，成长学生思维品质的批判性
英国数学家阿蒂亚说过："研究数学的目的之一就是尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界。"简单性被人们公认数学美的一个特征。
而所谓的条件多余型开放题，是恰恰将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素。这就需要学生在解题时，认真分析题中的每一个条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性，寻找数学的美。
如例4、如图4，直线k‖l，∠2-∠1=∠3-∠2=∠4-∠3=d>0， ∠3<90°， ∠1=50°，则∠4的最大可能整数值是多少？
分析：学生一看到图结合条件"k‖l，"拼命地在寻找同位角，内错角的关系，把自己逼入了胡同。其实撇开k‖l，把剩余条件∠1，∠，2，∠，3，∠，4之间的关系代入计算，不难得出答案。
四、练结论不定性开放题，提高学生思维的深刻性
此类题目的基本特征是有条件无结论，或结论正确与否需要进一步证明，或在给定的条件下结论不唯一。解决此类题目需要学生研究特殊情况，对不同的情况进行分类讨论，整合自身数学系统的知识点，提高学生思维的深刻性。
如例5、在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在第二象限，点C在坐标轴上，且△ABC是Rt△，请问这样的△ABC有多少个。
分析：此题是典型的结论不唯一的开放题，学生咋看对于AB的画法有无数多种，难以归纳总结。此时不妨对它极端化，处理AB放在最为特殊的位置：AB∥x轴，且被y轴平分，原点O到AB的距离大于.那么另外一种最为普通的情况也浮出水面，即不满足AB特殊情况条件下AB的位置。
五、练缺少型开放题，锻炼学生思维的灵活性
缺少型开放题，大致可分为两类：条件缺少型开放题和结论缺少型开放题。
⒈条件缺少型开放题
此类题目给定了一个结论，但条件未知或满足结论的条件不唯一。故条件缺少型开放题的明显特征是缺少确定的条件，补充的条件有多种选择，解此类题得基本策略是执果索因，寻找结论成立的条件，从而锻炼学生思维的灵活性。
⒉结论缺少型开放题
此类题目条件充足甚至富余，但结论不确定，需要学生自己组合条件中的知识点，确定一个正确的结论，组合成一个新的正确的命题，并可给出必要的证明。
总而言之，练开放型试题关键在于教师要注意讲究"放"的策略，既要大胆地"放一放"，把时间留给学生，让学生有机会去探索全面、正确的结论，又要善于把握全局，调控"放"度，凡是学生能提的问题，教师决不代替；学生能思考的问题，教师决不暗示；学生能解决的问题，教师决不插手，真正做到适时而"放"，提高"放"的整体效率。长此以往，学生肯定能够形成应对变化的能力，从而达到"任尔东南西北风"，我亦游刃有余的境界。