不等式是高中数学及相关学科的重要工具，是高考必考内容，而不等式中的基本不等式又是高考的重点与热点，基本不等式的应用是考查的重点，包括利用基本不等式求解函数的最大（小）值问题和简单的证明问题.
　　一、 典例探究
　　（一） 利用基本不等式证明不等式
　　【例1】 已知a>0，b>0，a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.
　　证明 解法一：因为a>0，b>0，a+b=1，
　　所以1+1a=1+a+ba=2+ba.
　　同理1+1b=2+ab.
　　（利用1与a+b的关系，将1代换为a+b并化简）
　　所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.
　　（结合式子特征，用基本不等式放缩）
　　所以1+1a1+1b≥9.（小结过程，呈现结论）
　　解法二：因为a,b为正数，a+b=1，
　　所以1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab=1+a+bab+1ab=1+2ab，
　　（对不等号左侧展开化简，并将a+b代换为1）
　　又ab≤a+b22=14，于是1ab≥4，2ab≥8， （利用基本不等式放缩）
　　因此1+1a1+1b≥1+8=9.（小结过程，呈现结论）
　　点评 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
　　（二） 利用基本不等式求最值
　　【例2】 已知x>1，则函数y=x+1x－1的最小值为
　　解 因为x>1，所以x－1>0，所以
　　y=x+1x－1=x－1+1x－1+1
　　≥2(x－1)1x－1+1=3，
　　当且仅当x－1=1x－1，即x=2时取“=”，所以函数的最小值为3，即本题答案为3.
　　变题1 已知t>0，则函数y=t2－4t+1t的最小值为．
　　解 ∵t>0，∴y=t2－4t+1t=t+1t－4
　　≥2t•1t－4=－2.
　　当且仅当t=1t，即t=1时，取得等号，故本题答案为－2．
　　思考 若题中“t>0”改为“t≥2”呢？
　　点评 运用基本不等式求函数的最小值，需具备条件：各数(式)均为正，积为定值，等号能取得．
　　变题2 若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是．
　　解 ∵x>0，∴x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号)，
　　∴xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15，即xx2+3x+1的最大值为15，故a≥15，故本题答案为15,+∞.
　　变题3 （1） 已知x>0，y>0，且
　　x+2y=1，求2x+1y的最小值.
　　（2） 已知x>0，y>0，且2x+1y=1，
　　求x+2y的最小值.
　　解 （1） ∵x>0，y>0，且x+2y=1，
　　∴2x+1y=(x+2y)2x+1y
　　=4+4yx+xy≥4+24yx•xy=8，
　　当且仅当4yx=xy，即4y2=x2，x=2y时取等号，又x+2y=1，此时x=12,y=14，
　　∴2x+1ymin=8
　　（2） ∵x>0，y>0，且2x+1y=1，
　　∴x+2y=(x+2y)2x+1y
　　=4+4yx+xy≥4+24yx•xy=8，
　　当且仅当4yx=xy，即4y2=x2，x=2y时取等号，又2x+1y=1，此时x=4，y=2，
　　∴(x+2y)min=8
　　点评 利用基本不等式求最值需注意的问题
　　(1) 各数(或式)均为正；
　　(2) 和或积为定值；
　　(3) 等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
　　若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值．
　　当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
　　牛刀小试
　　1. 已知a>0，b>0，a+b=1，求证：1a+1b≥4.
　　2． 当x<3时，求f(x)=x2－3x+4x－3的最大值.
　　3． 已知x>0,y>0，且x+y=1，求3x+4y的最小值.
　　4． 已知直角△ABC中，周长为L（L为正的常数），求△ABC面积S的最大值.
　　【参考答案】
　　1. ∵a>0，b>0，a+b=1，
　　∴1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab
　　≥2+2ba•ab=4.
　　∴1a+1b≥4.(当且仅当a=b=12时等号成立).
　　2. ∵x<3∴3－x>0，
　　∴f(x)=x+4x－3=(x－3)+4x－3+3
　　=
　　－43－x+(3－x)+3
　　≤
　　－243－x•(3－x)+3=－1，
　　当且仅当43－x=3－x，即x=1时等号成立，
　　∴f(x)的最大值为-1.
　　3. ∵x>0,y>0,且x+y=1，∴3x+4y
　　=3x+4y(x+y)=7+3yx+4xy
　　≥7+23yx•4xy=7+43,
　　当且仅当3yx=4xy,x+y=1时等号成立，即x=23－3,y=4－23，
　　∴3x+4y的最小值为7+43.
　　4. 设直角△ABC的两条直角边分别为a、b,斜边为c，
　　由题意知：a+b+c=L,a2+
　　b2=c2，∴a+b+a2+b2=L，
　　∵L=a+b+a2+b2≥2ab+2ab，
　　∴s=12ab≤3－224L2，当且仅当a=b=2－22L时等号成立.
　　∴面积S的最大值为3－224L2.