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摘 要：在单因子Gaussian Copula模型的框架下，基于蒙特卡罗模拟，提出全模拟方法、改进的全模拟方法、半解析3种CDO定价方法。在10万次数值试验下，对CDO产品定价，三种方法定价结果一致，改进的全模拟方法和半解析方法的计算效率大大提高。
关键词：蒙特卡罗模拟 连系动词 CDO定价 公平的传播
一、引言
担保债务凭证（Collateralized Debt Obligation，CDO）是以多个分散的债权资产作为资产池，并以此作为抵押，发行的具有不同优先层级的证券。定价效率是此类复杂衍生品交易的基础。本文运用因子Gaussian Copula模型刻画CDO资产池的违约相关性，提出3种计算效率依次提高的定价方法，并进行10万次数值试验。
二、基本定价模型
上下着点分别为a1，b1的分券层损失DL，在资产池损失L（T）不超过a1时，损失为0；超过b1时，损失为b1-a1；损失L（T）在两者之间时，分券损失为L（T）-a1。记投资者收益为PL，表示利息收入的现值。在完全市场下，收到的息差收益期望值等于潜在违约损失的总价值。公平价差s为DL期望与PL期望的比值。
定价CDO必须刻画资产池的损失分布。因子Copula模型认为影响资产的价值由市场共同因子和特殊因子决定，为：其中ρi表示资产间的相关系数；Z、ξi表示市场因子、特殊因子。Z、ξi、Vi服从标准正态分布，分布函数分别记为F（V），G（Z），H（ξ）。
结构模型构认为公司价值小于违约临界值，则违约。资产i的违约概率为Pi，违约临界值。实体i在市场Z1的违约概率为：
三、蒙特卡罗定价分析
1.全模拟方法。第一步：产生zj 、分别表示市场因子和特殊因子。市场j状态下资产i的价值；第二步：根据违约临界值，找出违约资产；第三步：计算资产池的总损失Lj，分配到分券得出在第j次模拟中分券层上的损失；第四步：蒙特卡罗方法计算分券层的损失期望E[L [a1，b1]]，即扣除损失后的名义价值；得到公平价差s。
2.改进的全模拟方法。第一步：模擬公共影响因子zj，得到此时资产i的违约概率为。此时，资产违约服从相互独立的伯努利分布。因此，模拟二项分布得到违约资产个数，求出资产池的损失 。
3.半解析方法。二项分布的极限分布是正态分布，均值为，方差为。在正态分布下，我们可以得到一个解析解，[a1，b1]分券层上收益期望：
4.方法比较。CDO基础资产池由200个同质资产构成，存续期为1期，违约概率为0.0228，违约回收率0.4分为股权级、夹层级、优先级分券的着点分别为0%，3%，14%，100%。基于10万个样本量的模拟发现，在相关系数为0.1，0.2，0.7的情况下，三种方法定出的夹层分券价格分别为0.08%，0.07%，0.05%；0.37%，0.36%，0.35%；1.01%，1.02%， 1.03%；5.07%，5.14%，5.16%。在相关系数为0.7的情形下，优先级分券的价格分别是0.31%，0.31%，0.17%。三种方法相互应证了定出价格的一致性。相关系数小，说明资产比较分散，组合避免了个别风险，优先、夹层级承担的风险小，风险溢价小。相关系数变大，资产池系统性风险变大，损失风险向尾部集聚，一旦发生损失，数额较大，所以高优先级分券也将承担更大的风险。三种方法效率依次提高，计算量分别为14000万次，70万次，60万次。
四、结语
本文在市场标准模型框架下，基于蒙特卡罗模拟，利用二项分布对模拟方法进行改善，提出改进的全模拟方法；借助二项分布的极限分布，利用数学积分求出近似的解析解，提出半解析方法对CDO产品进行定价。三种方法定价结果一致，效率依次提高。
参考文献：
[1]Lijuan Cao，Jingqing Zhang，Kian Guan LIM et al.An empirical study of pricing and hedging collateralized debt obligation（CDO）[J] .Advances in Econometrics，2007，22：15-54.
[2]Li，D. On default correlation.a copula function approach[J].Journal of Fixed Income，2000.9（4）：43-54.
[3]徐浩博. 基于Monte Carlo模拟的CDO的定价研究[J].管理与财富，2009（06）.
[4]杨军站.担保债务凭证（CDO）定价研究[J].经济与管理，2012（07）：34-37.
[5]袁吉伟.债务抵押凭证（CDO）的风险与信用评级研究[J].金融发展研究，2013（05）：38-42.
关键词：蒙特卡罗模拟 连系动词 CDO定价 公平的传播
一、引言
担保债务凭证（Collateralized Debt Obligation，CDO）是以多个分散的债权资产作为资产池，并以此作为抵押，发行的具有不同优先层级的证券。定价效率是此类复杂衍生品交易的基础。本文运用因子Gaussian Copula模型刻画CDO资产池的违约相关性，提出3种计算效率依次提高的定价方法，并进行10万次数值试验。
二、基本定价模型
上下着点分别为a1，b1的分券层损失DL，在资产池损失L（T）不超过a1时，损失为0；超过b1时，损失为b1-a1；损失L（T）在两者之间时，分券损失为L（T）-a1。记投资者收益为PL，表示利息收入的现值。在完全市场下，收到的息差收益期望值等于潜在违约损失的总价值。公平价差s为DL期望与PL期望的比值。
定价CDO必须刻画资产池的损失分布。因子Copula模型认为影响资产的价值由市场共同因子和特殊因子决定，为：其中ρi表示资产间的相关系数；Z、ξi表示市场因子、特殊因子。Z、ξi、Vi服从标准正态分布，分布函数分别记为F（V），G（Z），H（ξ）。
结构模型构认为公司价值小于违约临界值，则违约。资产i的违约概率为Pi，违约临界值。实体i在市场Z1的违约概率为：
三、蒙特卡罗定价分析
1.全模拟方法。第一步：产生zj 、分别表示市场因子和特殊因子。市场j状态下资产i的价值；第二步：根据违约临界值，找出违约资产；第三步：计算资产池的总损失Lj，分配到分券得出在第j次模拟中分券层上的损失；第四步：蒙特卡罗方法计算分券层的损失期望E[L [a1，b1]]，即扣除损失后的名义价值；得到公平价差s。
2.改进的全模拟方法。第一步：模擬公共影响因子zj，得到此时资产i的违约概率为。此时，资产违约服从相互独立的伯努利分布。因此，模拟二项分布得到违约资产个数，求出资产池的损失 。
3.半解析方法。二项分布的极限分布是正态分布，均值为，方差为。在正态分布下，我们可以得到一个解析解，[a1，b1]分券层上收益期望：
4.方法比较。CDO基础资产池由200个同质资产构成，存续期为1期，违约概率为0.0228，违约回收率0.4分为股权级、夹层级、优先级分券的着点分别为0%，3%，14%，100%。基于10万个样本量的模拟发现，在相关系数为0.1，0.2，0.7的情况下，三种方法定出的夹层分券价格分别为0.08%，0.07%，0.05%；0.37%，0.36%，0.35%；1.01%，1.02%， 1.03%；5.07%，5.14%，5.16%。在相关系数为0.7的情形下，优先级分券的价格分别是0.31%，0.31%，0.17%。三种方法相互应证了定出价格的一致性。相关系数小，说明资产比较分散，组合避免了个别风险，优先、夹层级承担的风险小，风险溢价小。相关系数变大，资产池系统性风险变大，损失风险向尾部集聚，一旦发生损失，数额较大，所以高优先级分券也将承担更大的风险。三种方法效率依次提高，计算量分别为14000万次，70万次，60万次。
四、结语
本文在市场标准模型框架下，基于蒙特卡罗模拟，利用二项分布对模拟方法进行改善，提出改进的全模拟方法；借助二项分布的极限分布，利用数学积分求出近似的解析解，提出半解析方法对CDO产品进行定价。三种方法定价结果一致，效率依次提高。
参考文献：
[1]Lijuan Cao，Jingqing Zhang，Kian Guan LIM et al.An empirical study of pricing and hedging collateralized debt obligation（CDO）[J] .Advances in Econometrics，2007，22：15-54.
[2]Li，D. On default correlation.a copula function approach[J].Journal of Fixed Income，2000.9（4）：43-54.
[3]徐浩博. 基于Monte Carlo模拟的CDO的定价研究[J].管理与财富，2009（06）.
[4]杨军站.担保债务凭证（CDO）定价研究[J].经济与管理，2012（07）：34-37.
[5]袁吉伟.债务抵押凭证（CDO）的风险与信用评级研究[J].金融发展研究，2013（05）：38-42.