论文部分内容阅读
【摘要】 学生在初中就已经学习了二次函数，到了高中对二次函数的学习更加深入，随着高考题型的不断改变，部分省市把教材中原有的导数章节删除了，所以函数解答题就以二次函数的综合题为主，含有绝对值的二次函数更加耐人寻味.
【关键词】 二次函数；绝对值；连续性；分类讨论；解题策略
学生在初中阶段就已经学习了二次函数，到了高中阶段更加深入的学习了该函数，不局限于解决对称轴、顶点的坐标、值域等问题，而是解决更加复杂的问题，如直线与二次函数的综合题、曲线与二次函数的问题、存在性与二次函数的问题、对称性与二次函数的问题，恒成立与二次函数的问题等.最近，含有绝对值的二次函数综合题目也越来越多，部分学生面对这样的题目举手无措.笔者举几例谈一谈含绝对值的二次函数综合题解题策略.
1.以数形结合为主线的解题策略
例1 求方程|x2-2x-3|-k=0（k∈ R ）根的个数.
图 1 解 原方程|x2-2x-3|=k.方程根的个数等于 函数y=|x2-2x-3|-k的零点个数，也等于函数y=|x2-2x-3| 与函数y=k图像交点个数.如图1，数形结合可知，当k<0时，直线与曲线无交点，也就是原方程无实根；
当k=0时，直线与曲线有2个交点，也就是原方程有
2个实根；当0 也就是原方程有4个实根；当k=4时，直线与曲线有
3个交点，也就是原方程有3个实根；当k>4时，直
线与曲线有2个交点，也就是原方程有2个实根.
评析 本题通过数形结合为主线，再辅以基础知识就
把问题解决了.需要掌握的知识点有两个：其一，函数y=f（x）与函数y=|f（x）|的图像之间的关系.把函数y=f（x）在x轴及以上部分的图像保持不变，在x轴下方部分的图像翻到x轴上方关于x轴对称，就得到了函数y=|f（x）|的图像.其二，直线g（x）=a与曲线
f（x）=|x2-2x-3|交点的横坐标也就是方程f（x）-g（x）=0的根.
2.以函数的奇偶性为主线的解题策略
图 2 例2 求方程x2-2|x|-3-k=0 k∈ R 根的个数.
解 原方程x2-2|x|-3=k，方程根的个数等于函数
f（x）=x2-2|x|-3与函数g（x）=k图像交点的个数.因为函
数f（x）是偶函数，所以其图像关于y轴对称.如图2，当k<-4时，直线与曲线无交点，即方程无实根；当k=-4时，直线与曲线有2个交点，即方程有2个实根；当-4 -3时，直线与曲线有2个交点，即方程有2个实根.
评析 本题通过函数的奇偶性画出了函数图像，笔者在教学中发现部分学生常遗忘该性质，使得解题过程陷入困境.需要掌握的知识点：函数y=f（|x|） x∈ R 是偶函数，其图像特点是：（1）关于y轴对称，（2）当x>0时，y=f（|x|）与y=f（x）的图像相同.没有理解第（2）点的学生忽视了“当x>0时，绝对值符号不起作用了”.
3.以分类讨论为主线的解题策略
例3 已知f（x）=x x-a -2，当x∈[0，1]时，f（x）<0恒成立，求a的取值范围.
图 3
解 分类讨论①当a<0时，函数f（x）=x2-ax-2在[0，1]上是增函数，
由[f（x）]max=f 1 =1-a-2<0 得-1 ②当0≤a≤1时，f（x）= x2-ax -2，由函数f（x）的图像
（如图3）可知，满足条件，则 f 1 <0f a 2 <0 ，得0≤a≤1-1 ③当a>1时，f（x）=-x2 ax-2，其图像对称轴x= a 2 > 1 2 ，满足条件，则
f（x）max<0，即 f 1 <0f a 2 <0 ，得1 评析 本题通过对a的分类讨论来解题，考虑如此分类的理由是：可以知道绝对值符号里代数式的值正负情况，第20情况通过图像解决了a的取值范围.分类讨论是高中数学的一个难点，相当一部分学生对分类讨论问题中的分类标准感到棘手.分类的要求就是：不重复，不遗漏；或者说分类变量的交集为空集，并集为全集.
综上所述，含有绝对值二次函数的综合问题解决起来确实比较困难，学生遇到类似的问题如果没有牢固的基础知识和灵活的数学思想做支撑，很难顺利完成解题过程.分类讨论问题的分类标准是难点，分段函数图像整合在一起的连续性思想是解题思考的习惯，平时教学中教师要有意识的培养学生反思、归纳、吸收先进解题思想的习惯，夯实基础，解题时便会水到渠成.
【关键词】 二次函数；绝对值；连续性；分类讨论；解题策略
学生在初中阶段就已经学习了二次函数，到了高中阶段更加深入的学习了该函数，不局限于解决对称轴、顶点的坐标、值域等问题，而是解决更加复杂的问题，如直线与二次函数的综合题、曲线与二次函数的问题、存在性与二次函数的问题、对称性与二次函数的问题，恒成立与二次函数的问题等.最近，含有绝对值的二次函数综合题目也越来越多，部分学生面对这样的题目举手无措.笔者举几例谈一谈含绝对值的二次函数综合题解题策略.
1.以数形结合为主线的解题策略
例1 求方程|x2-2x-3|-k=0（k∈ R ）根的个数.
图 1 解 原方程|x2-2x-3|=k.方程根的个数等于 函数y=|x2-2x-3|-k的零点个数，也等于函数y=|x2-2x-3| 与函数y=k图像交点个数.如图1，数形结合可知，当k<0时，直线与曲线无交点，也就是原方程无实根；
当k=0时，直线与曲线有2个交点，也就是原方程有
2个实根；当0
3个交点，也就是原方程有3个实根；当k>4时，直
线与曲线有2个交点，也就是原方程有2个实根.
评析 本题通过数形结合为主线，再辅以基础知识就
把问题解决了.需要掌握的知识点有两个：其一，函数y=f（x）与函数y=|f（x）|的图像之间的关系.把函数y=f（x）在x轴及以上部分的图像保持不变，在x轴下方部分的图像翻到x轴上方关于x轴对称，就得到了函数y=|f（x）|的图像.其二，直线g（x）=a与曲线
f（x）=|x2-2x-3|交点的横坐标也就是方程f（x）-g（x）=0的根.
2.以函数的奇偶性为主线的解题策略
图 2 例2 求方程x2-2|x|-3-k=0 k∈ R 根的个数.
解 原方程x2-2|x|-3=k，方程根的个数等于函数
f（x）=x2-2|x|-3与函数g（x）=k图像交点的个数.因为函
数f（x）是偶函数，所以其图像关于y轴对称.如图2，当k<-4时，直线与曲线无交点，即方程无实根；当k=-4时，直线与曲线有2个交点，即方程有2个实根；当-4
评析 本题通过函数的奇偶性画出了函数图像，笔者在教学中发现部分学生常遗忘该性质，使得解题过程陷入困境.需要掌握的知识点：函数y=f（|x|） x∈ R 是偶函数，其图像特点是：（1）关于y轴对称，（2）当x>0时，y=f（|x|）与y=f（x）的图像相同.没有理解第（2）点的学生忽视了“当x>0时，绝对值符号不起作用了”.
3.以分类讨论为主线的解题策略
例3 已知f（x）=x x-a -2，当x∈[0，1]时，f（x）<0恒成立，求a的取值范围.
图 3
解 分类讨论①当a<0时，函数f（x）=x2-ax-2在[0，1]上是增函数，
由[f（x）]max=f 1 =1-a-2<0 得-1
（如图3）可知，满足条件，则 f 1 <0f a 2 <0 ，得0≤a≤1-1
f（x）max<0，即 f 1 <0f a 2 <0 ，得1
综上所述，含有绝对值二次函数的综合问题解决起来确实比较困难，学生遇到类似的问题如果没有牢固的基础知识和灵活的数学思想做支撑，很难顺利完成解题过程.分类讨论问题的分类标准是难点，分段函数图像整合在一起的连续性思想是解题思考的习惯，平时教学中教师要有意识的培养学生反思、归纳、吸收先进解题思想的习惯，夯实基础，解题时便会水到渠成.