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[摘 要]数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，仅靠教师单向地传授数学知识，不能真正地培养学生的思维能力、思维方法和学习兴趣，也无法使学生领悟数学思想。数学课程提出了重视让学生经历知识的形成过程的過程性目标，其目的在于让学生有机会获得直接的数学活动经验，从中领悟数学思想。在数学教学过程中，教师要引导学生经历知识的形成过程，重视概念的形成和同化过程，强化数学规则学习的体验，使学生理解概念之间的内在联系，从而形成良好的知识结构，能够有效地利用数学的抽象思想、推理思想和模型思想学习数学并解决问题。
[关键词]经历；过程；领悟；数学思想
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）11-0032-02
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。” “数学是研究数量关系和空间形式的科学。”数学反映的是客观世界的本质特征与内在联系。数学知识最重要的一个特征就是抽象性。小学生获取数学知识本身就是了解数学抽象的过程，而数学思想方法恰恰就蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。东北师大孔凡哲教授认为：“基本思想、基本活动经验只能在过程中加以培养，而不能采取简单的结果式的教育方式。”因此，在小学数学教学中，教师要引导学生积极参与数学学习活动，让学生在数学知识的形成过程中，经历抽象、预测、探究、思考、推理、反思等过程，增强学生的学习体验，丰富学生的活动经验，让学生从中感悟数学思想。
一、在概念形成中领悟数学思想
概念是指客观事物在人们头脑中概括的、间接的反映。学习数学概念，一般需要对客观事物进行观察、分析、比较和综合，从中抽象出其本质属性。教材在呈现数学概念时，通常采用描述性的方法，而小学生由于受年龄、认知水平等因素的限制，他们不易理解文字叙述的内容，即使是描述性的语言，他们也无法一听就能理解。因此，在教学数学概念时，可以通过操作活动帮助学生形成动作表征，再借助画一画建立形象表征，最后才用数学符号进行表征。
例如，教学计数单位“十”时，首先让学生用小棒进行操作，从1数到20，边操作边说数。当学生数到10根的时候，要求学生将10根小棒捆成一捆，这样，学生就看到1捆是1个“十”，2捆是2个“十”。在数小棒的过程中，学生很容易就看到小棒由1到20的累积过程，逐步形成数感。由于学生有数小棒和捆小棒的经验，很快就建立1个10就是“十”的概念。在进一步的学习中，学生能够认识个位和十位，把“十位上的数表示几个十，个位上的数表示几个一”与之前的操作“十根就是一捆”建立起一一对应关系，从而深刻地理解了“十”这一计数单位。
又如，教学二年级下册“平均分”时，首先通过操作活动，使学生发现“同样是6颗糖果，分的结果各不相同”，然后通过比较、分类、归纳，逐步抽象出“每份分得同样多”这一共同的属性，也就是平均分的本质属性。这样，学生能比较容易地理解“平均分”这一概念。
上面两个例子都说明了，通过提供丰富的、典型的、正确的材料，让学生借助具体形象的感性材料进行分析、综合、比较、分类、抽象、概括，学生就能够主动参与教学活动，从而领悟数学的对应思想、分类思想、抽象思想和归纳思想。
有些数学的概念本身就蕴含着某种思想方法。例如，教学自然数、奇数、偶数等这些概念时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；教学直线、平行线时，可让学生体会“直线的两端是可以无限延长的”；教学“认识圆”时，让学生领悟“圆是由无限个点组成的”……在教学这些知识点时，都可以很好地渗透“有限与无限”的数学思想。
二、在概念同化中领悟数学思想
概念的同化就是学生在学习新概念的时候，将认知结构中已有的概念与新概念建立联系，从而掌握新概念的本质属性。一个新概念往往跟学生已有的认知结构有着一定的联系，因此，教师可以利用这种联系，在知识的迁移中让学生领悟数学思想。
例如，教学人教版六年级上册“百分数的意义”时，百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，是一种特殊的分数。因此，有关百分数的意义可以从分数的相关知识迁移过来。教学时，教师可先从学生熟悉的生活实际出发，从电脑安装程序格式化进度、服装面料和里料的成分、汽车销售情况等生活中的例子引入百分数，激活学生已有的生活经验，沟通新知与生活、新知与旧知的联系，通过知识迁移，使学生理解百分数的实际含义；接着，出示分别用分数和百分数表示月饼的含糖量，使学生明白用百分数表示更便于比较，从而体会学习百分数的价值；然后，通过比较百分数与分数的联系与区别，进一步明确“百分数只能表示两个量之间的关系的一种‘率’，因此不能带单位，以及百分号前面的数可以是小数，而一般情况下，分数的分子和分母都是以整数形式呈现的”。这样，通过比较分数和百分数，学生能从三个不同的层面理解百分数的意义，从而明确概念的内涵与外延，更重要的是，通过这样的学习，学生领悟了数学的类比思想和归纳思想。
三、在规则学习中领悟数学思想
“规则是公式、定律、法则、原理等的总称，小学数学中的规则主要是指运算规则、算律和公式。”数学规则是一种具有陈述性形式的程序性知识，它们是形成认知技能的基础。在数学知识的学习中，离不开规则的学习，而数学规则学习是学生发展推理能力、领悟数学思想的重要载体，教师必须加以重视。
在小学数学中，一些运算定律的得出都会用到合情推理。合情推理也是让学生领悟数学思想的重要途径。例如，教学人教版小学数学四年级下册“加法运算定律”时，为了让学生领悟数学思想，我首先出示例题：李叔叔骑车去旅行，上午骑了40千米，下午骑了56千米，一共骑了多少千米？学生得出等式：40 56=56 40。接着教师提出要求：“仔细观察，猜一猜、想一想，看看等式左右两边的数，你发现了什么？”学生猜想：“两个数相加，交换加数的位置，和不变。”为了让学生完整地经历数学建模的过程，教师让学生举例验证，并尝试举出反例。通过举例，学生发现，所有的例子都能说明“两个数相加，交换加数的位置，和不变”这个结论，但没有办法举出反例，从而证明了合情推理所得到结论的可靠性。最后，教师让学生用自己喜欢的方式表示加法交换律，并对结果进行优化，使学生感受到用字母表示“加法交换律”的简洁性。学生经历了“形成猜想、举例验证、得出结论”的完整、真实的过程，从中领悟了数学的类比思想、归纳思想、符号表示思想、简化思想和优化思想。 学习运算法则，也是学生感悟数学思想的重要内容。例如，教学“异分母分数加减法”时，对于算式“3/10 1/4”，学生给出了两种算法：
算法一：3/10 1/4=12/40 10/40=22/40=11/20。
算法二：3/10 1/4=6/20 5/20=11/20。
学生在交流和评价中初步理解方法的合理性，同时领悟转化和优化的数学思想。紧接着，教师通过课件演示“3/10 1/4”化为同分母分数相加的过程，让学生具体说一说是怎样算的，使学生在直观形象的演示中理解算理，领悟数形结合的数学思想。在学习异分母分数加法之后，教师让学生计算异分母分数相减，学生通过将知识进行迁移，并探究、计算、表达，从中感悟类比推理的数学思想。最后，教师引导学生归纳概括异分母分数加、减法的计算方法。由于异分母分数加减法的计算过程都是学生自己探索出来的，他们很快就归纳出异分母分数加减法的计算法则：先通分，然后按同分母分数加减法进行计算。在这一教学过程中，学生不但经历了知识的形成过程，也领悟了转化、优化、类比、归纳等数学思想。
学生领悟数学思想，必须通过具体的教学过程加以实现。因此，只有加强学生的学习活动体验，让学生经历概念的形成、概念的同化、揭示数学规律、探求数学结论的过程，潜移默化地启发学生领悟蕴涵于数学知识之中的数学思想，才能使数学思想的教学变成一种实实在在的、可以把握的学习内容。要注意的是，教学过程中教师要防止生搬硬套，不要直接告诉学生是什么数学思想，避免学生为记住“是什么数学思想”而增加学习负担。
参考文献
[1] 中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 人民教育出版社中学数学室.小学数学教学与研究[M].北京：人民教育出版社，2003.
[3] 王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4] 郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1996.
[5] 李光树.小学数学学习论[M].北京：人民教育出版社.2014.
[6] 王永春.小学数学与数学思想方法[M] . 上海：华东师范大学出版社，2014.
（责编 金 铃）
[关键词]经历；过程；领悟；数学思想
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）11-0032-02
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。” “数学是研究数量关系和空间形式的科学。”数学反映的是客观世界的本质特征与内在联系。数学知识最重要的一个特征就是抽象性。小学生获取数学知识本身就是了解数学抽象的过程，而数学思想方法恰恰就蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。东北师大孔凡哲教授认为：“基本思想、基本活动经验只能在过程中加以培养，而不能采取简单的结果式的教育方式。”因此，在小学数学教学中，教师要引导学生积极参与数学学习活动，让学生在数学知识的形成过程中，经历抽象、预测、探究、思考、推理、反思等过程，增强学生的学习体验，丰富学生的活动经验，让学生从中感悟数学思想。
一、在概念形成中领悟数学思想
概念是指客观事物在人们头脑中概括的、间接的反映。学习数学概念，一般需要对客观事物进行观察、分析、比较和综合，从中抽象出其本质属性。教材在呈现数学概念时，通常采用描述性的方法，而小学生由于受年龄、认知水平等因素的限制，他们不易理解文字叙述的内容，即使是描述性的语言，他们也无法一听就能理解。因此，在教学数学概念时，可以通过操作活动帮助学生形成动作表征，再借助画一画建立形象表征，最后才用数学符号进行表征。
例如，教学计数单位“十”时，首先让学生用小棒进行操作，从1数到20，边操作边说数。当学生数到10根的时候，要求学生将10根小棒捆成一捆，这样，学生就看到1捆是1个“十”，2捆是2个“十”。在数小棒的过程中，学生很容易就看到小棒由1到20的累积过程，逐步形成数感。由于学生有数小棒和捆小棒的经验，很快就建立1个10就是“十”的概念。在进一步的学习中，学生能够认识个位和十位，把“十位上的数表示几个十，个位上的数表示几个一”与之前的操作“十根就是一捆”建立起一一对应关系，从而深刻地理解了“十”这一计数单位。
又如，教学二年级下册“平均分”时，首先通过操作活动，使学生发现“同样是6颗糖果，分的结果各不相同”，然后通过比较、分类、归纳，逐步抽象出“每份分得同样多”这一共同的属性，也就是平均分的本质属性。这样，学生能比较容易地理解“平均分”这一概念。
上面两个例子都说明了，通过提供丰富的、典型的、正确的材料，让学生借助具体形象的感性材料进行分析、综合、比较、分类、抽象、概括，学生就能够主动参与教学活动，从而领悟数学的对应思想、分类思想、抽象思想和归纳思想。
有些数学的概念本身就蕴含着某种思想方法。例如，教学自然数、奇数、偶数等这些概念时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；教学直线、平行线时，可让学生体会“直线的两端是可以无限延长的”；教学“认识圆”时，让学生领悟“圆是由无限个点组成的”……在教学这些知识点时，都可以很好地渗透“有限与无限”的数学思想。
二、在概念同化中领悟数学思想
概念的同化就是学生在学习新概念的时候，将认知结构中已有的概念与新概念建立联系，从而掌握新概念的本质属性。一个新概念往往跟学生已有的认知结构有着一定的联系，因此，教师可以利用这种联系，在知识的迁移中让学生领悟数学思想。
例如，教学人教版六年级上册“百分数的意义”时，百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，是一种特殊的分数。因此，有关百分数的意义可以从分数的相关知识迁移过来。教学时，教师可先从学生熟悉的生活实际出发，从电脑安装程序格式化进度、服装面料和里料的成分、汽车销售情况等生活中的例子引入百分数，激活学生已有的生活经验，沟通新知与生活、新知与旧知的联系，通过知识迁移，使学生理解百分数的实际含义；接着，出示分别用分数和百分数表示月饼的含糖量，使学生明白用百分数表示更便于比较，从而体会学习百分数的价值；然后，通过比较百分数与分数的联系与区别，进一步明确“百分数只能表示两个量之间的关系的一种‘率’，因此不能带单位，以及百分号前面的数可以是小数，而一般情况下，分数的分子和分母都是以整数形式呈现的”。这样，通过比较分数和百分数，学生能从三个不同的层面理解百分数的意义，从而明确概念的内涵与外延，更重要的是，通过这样的学习，学生领悟了数学的类比思想和归纳思想。
三、在规则学习中领悟数学思想
“规则是公式、定律、法则、原理等的总称，小学数学中的规则主要是指运算规则、算律和公式。”数学规则是一种具有陈述性形式的程序性知识，它们是形成认知技能的基础。在数学知识的学习中，离不开规则的学习，而数学规则学习是学生发展推理能力、领悟数学思想的重要载体，教师必须加以重视。
在小学数学中，一些运算定律的得出都会用到合情推理。合情推理也是让学生领悟数学思想的重要途径。例如，教学人教版小学数学四年级下册“加法运算定律”时，为了让学生领悟数学思想，我首先出示例题：李叔叔骑车去旅行，上午骑了40千米，下午骑了56千米，一共骑了多少千米？学生得出等式：40 56=56 40。接着教师提出要求：“仔细观察，猜一猜、想一想，看看等式左右两边的数，你发现了什么？”学生猜想：“两个数相加，交换加数的位置，和不变。”为了让学生完整地经历数学建模的过程，教师让学生举例验证，并尝试举出反例。通过举例，学生发现，所有的例子都能说明“两个数相加，交换加数的位置，和不变”这个结论，但没有办法举出反例，从而证明了合情推理所得到结论的可靠性。最后，教师让学生用自己喜欢的方式表示加法交换律，并对结果进行优化，使学生感受到用字母表示“加法交换律”的简洁性。学生经历了“形成猜想、举例验证、得出结论”的完整、真实的过程，从中领悟了数学的类比思想、归纳思想、符号表示思想、简化思想和优化思想。 学习运算法则，也是学生感悟数学思想的重要内容。例如，教学“异分母分数加减法”时，对于算式“3/10 1/4”，学生给出了两种算法：
算法一：3/10 1/4=12/40 10/40=22/40=11/20。
算法二：3/10 1/4=6/20 5/20=11/20。
学生在交流和评价中初步理解方法的合理性，同时领悟转化和优化的数学思想。紧接着，教师通过课件演示“3/10 1/4”化为同分母分数相加的过程，让学生具体说一说是怎样算的，使学生在直观形象的演示中理解算理，领悟数形结合的数学思想。在学习异分母分数加法之后，教师让学生计算异分母分数相减，学生通过将知识进行迁移，并探究、计算、表达，从中感悟类比推理的数学思想。最后，教师引导学生归纳概括异分母分数加、减法的计算方法。由于异分母分数加减法的计算过程都是学生自己探索出来的，他们很快就归纳出异分母分数加减法的计算法则：先通分，然后按同分母分数加减法进行计算。在这一教学过程中，学生不但经历了知识的形成过程，也领悟了转化、优化、类比、归纳等数学思想。
学生领悟数学思想，必须通过具体的教学过程加以实现。因此，只有加强学生的学习活动体验，让学生经历概念的形成、概念的同化、揭示数学规律、探求数学结论的过程，潜移默化地启发学生领悟蕴涵于数学知识之中的数学思想，才能使数学思想的教学变成一种实实在在的、可以把握的学习内容。要注意的是，教学过程中教师要防止生搬硬套，不要直接告诉学生是什么数学思想，避免学生为记住“是什么数学思想”而增加学习负担。
参考文献
[1] 中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 人民教育出版社中学数学室.小学数学教学与研究[M].北京：人民教育出版社，2003.
[3] 王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4] 郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1996.
[5] 李光树.小学数学学习论[M].北京：人民教育出版社.2014.
[6] 王永春.小学数学与数学思想方法[M] . 上海：华东师范大学出版社，2014.
（责编 金 铃）