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2015年7月笔者接到了一个全国数学教师的基本功大赛，讲解中考数学压轴题.刚开始觉得不是难事，毕竟工作这么多年，讲个题目还是不在话下的.比赛规定：每个人分别讲解2015年不同省市的数学中考压轴题，笔者讲解上海市的中考压轴题，做好准备后便欣然前往.
到了比赛城市，还有两天的准备时间，便又细细琢磨.题目是研究得滚瓜烂熟了，不过听讲的不是学生，而是几百位来自全国各地的数学老师，心里不免有点慌，到底思路怎么顺才能比较接地气呢？讲压轴题最重要的就是切忌“满堂灌”，使听者听得云里雾里，我该怎么讲才能让老师们听得兴趣盎然呢？和著名的几何画板专家马学斌老师作了沟通后，题目变得更透彻了.下面我们一起看看这道题目.
2015年上海中考25题：如图1，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB=20，cos∠AOC=.设OP=x，△CPF的面积为y.
（1）求证：AP=OQ；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长.
图1
题意分析：本题是两动点问题，我们先分析题目的基本条件.
①AB=20，cos∠AOC=.
由于CD∥AB，可知∠AOC=∠OCD=∠ODC=∠DOB.
如图2，过点O作OH⊥CD于点H，则在Rt△OCH中，容易得到CH=HD=8，OH=6.
图2
②根据题目条件，我们来看题目中的四个点.首先，在OC上有一主动点P，在CD上有一从动点Q，满足DQ=OP.AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F，如图3所示.
图3
当然，如果让点P再向上移动一部分，如图4，就会发现图形有所不同：当点P运动靠近C点时，点E就在弦CD的上方了，即随着点P的运动，点E的位置可能在弦CD的下方，也可能在弦CD的上方.
图4
③反过来，在运动过程中，如果我们以F作为主动点，连接AF，则AF和OC的交点即为点P，由DQ=OP可确定点Q，再连接OQ并延长交AF的延长线于点E.随着F在弦CD上运动（不与点C、D点重合），点P、点Q和点E也随之确定.这样我们就将题目的条件完整地呈现在图形中了.那么E的不同位置影响我们做题吗？下面我们一起看看题目所求.
（1）证明线段相等，无非可以利用三角形全等、等角对等边、角平分线性质、中垂线性质，等等.在本题中，除了有显性条件DQ=OP外，还有隐性条件∠AOP=∠ODQ和OA=DO，可得△AOP≌△ODQ（SAS），如图5所示，故可得AP=OQ.该问较简单，大多数考生容易解决.
图5
（2）本问求y（△CPF的面积）关于x（OP的长度）的函数解析式及其定义域，解决关键即为寻找恰当的等量关系.三角形面积分为直接求解和间接求解两种.直接求解只要找出三角形的底和高即可，而间接求法即可通过求解其同（等）底等（同）高的三角形或者其相似三角形来解决.我们看看“主角”△CPF.由CD∥AB容易看出△CPF∽△OPA，因此我们可以利用相似三角形的面积比例关系求解.由cos∠AOC=，OP=x可知△OPA中OA边上的高为x，S=3x，再由=（）=（）可得y=.
那么x的范围如何界定呢？点F在弦CD上运动，那么F的极限位置就是点C、点D两个位置（且不与C、D重合）.当点F与点D重合时，x=；当点F与点C重合时，x=10.因此x的范围为 （3）当△OPE是直角三角形时，需要分类讨论直角顶点.
①当∠OPE=90°时，如图6所示，此时，在Rt△AOP中，OP=OA·cos∠AOC=8.
图6
②当∠POE=90°时，如图7所示，此时，我们从图形看到点F跑到了弦CD的延长线上，因此这种情况是不成立的.但是仅仅看图还不行，还需要严谨的计算证明才可以.在Rt△COQ中，OC=10，且cos∠OCQ==，则CQ=，DQ=CD-CQ=.因此OP=DQ=.由（2）知 图7
③当∠OEP=90°时，如图8所示.我们来看此时OP是多少.
图8
∵∠QOB=∠QOD ∠DOB
∠QOB=∠PAO ∠OEP
∠QOD=∠PAO
∴∠DOB=∠OEP.
∵cos∠DOB=cos∠AOC=，∴∠OEP=90°不成立，此情况舍去.
另外，我们还可以这样理解：在△OAP和△QEF中，∠OAP=∠QFE（由CD∥AB可得），∠APO=∠EQF，因此∠AOP=∠QEF=∠OEP.而cos∠AOC=，可见cos∠OEP=，∠OEP不可能是直角，该情况不成立，舍去.
通过对这道题目的分析与解答，我们能深刻体会到“数因形而生动，形因数而具体”这句名言.不是说板书写得越多、越详细、越整齐效果就越好.要想讲好压轴题，第一要务就是把题目中的各种几何关系在图形中清晰地表现出来，如各个角、线段、三角形、抛物线等之间的关系，让听者看到图形就仿佛看到了题目思路，这样听起来就既清晰又舒服，同时印象深刻，此时的图形胜过文字千千万.另外，在做压轴题的时候，也应该恰当合理地利用图形关系，准确寻找目标，再进行代数求解，这样不但能将题目难度逐一化解，还能使得做题脉络更清晰明了.
到了比赛城市，还有两天的准备时间，便又细细琢磨.题目是研究得滚瓜烂熟了，不过听讲的不是学生，而是几百位来自全国各地的数学老师，心里不免有点慌，到底思路怎么顺才能比较接地气呢？讲压轴题最重要的就是切忌“满堂灌”，使听者听得云里雾里，我该怎么讲才能让老师们听得兴趣盎然呢？和著名的几何画板专家马学斌老师作了沟通后，题目变得更透彻了.下面我们一起看看这道题目.
2015年上海中考25题：如图1，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB=20，cos∠AOC=.设OP=x，△CPF的面积为y.
（1）求证：AP=OQ；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长.
图1
题意分析：本题是两动点问题，我们先分析题目的基本条件.
①AB=20，cos∠AOC=.
由于CD∥AB，可知∠AOC=∠OCD=∠ODC=∠DOB.
如图2，过点O作OH⊥CD于点H，则在Rt△OCH中，容易得到CH=HD=8，OH=6.
图2
②根据题目条件，我们来看题目中的四个点.首先，在OC上有一主动点P，在CD上有一从动点Q，满足DQ=OP.AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F，如图3所示.
图3
当然，如果让点P再向上移动一部分，如图4，就会发现图形有所不同：当点P运动靠近C点时，点E就在弦CD的上方了，即随着点P的运动，点E的位置可能在弦CD的下方，也可能在弦CD的上方.
图4
③反过来，在运动过程中，如果我们以F作为主动点，连接AF，则AF和OC的交点即为点P，由DQ=OP可确定点Q，再连接OQ并延长交AF的延长线于点E.随着F在弦CD上运动（不与点C、D点重合），点P、点Q和点E也随之确定.这样我们就将题目的条件完整地呈现在图形中了.那么E的不同位置影响我们做题吗？下面我们一起看看题目所求.
（1）证明线段相等，无非可以利用三角形全等、等角对等边、角平分线性质、中垂线性质，等等.在本题中，除了有显性条件DQ=OP外，还有隐性条件∠AOP=∠ODQ和OA=DO，可得△AOP≌△ODQ（SAS），如图5所示，故可得AP=OQ.该问较简单，大多数考生容易解决.
图5
（2）本问求y（△CPF的面积）关于x（OP的长度）的函数解析式及其定义域，解决关键即为寻找恰当的等量关系.三角形面积分为直接求解和间接求解两种.直接求解只要找出三角形的底和高即可，而间接求法即可通过求解其同（等）底等（同）高的三角形或者其相似三角形来解决.我们看看“主角”△CPF.由CD∥AB容易看出△CPF∽△OPA，因此我们可以利用相似三角形的面积比例关系求解.由cos∠AOC=，OP=x可知△OPA中OA边上的高为x，S=3x，再由=（）=（）可得y=.
那么x的范围如何界定呢？点F在弦CD上运动，那么F的极限位置就是点C、点D两个位置（且不与C、D重合）.当点F与点D重合时，x=；当点F与点C重合时，x=10.因此x的范围为
①当∠OPE=90°时，如图6所示，此时，在Rt△AOP中，OP=OA·cos∠AOC=8.
图6
②当∠POE=90°时，如图7所示，此时，我们从图形看到点F跑到了弦CD的延长线上，因此这种情况是不成立的.但是仅仅看图还不行，还需要严谨的计算证明才可以.在Rt△COQ中，OC=10，且cos∠OCQ==，则CQ=，DQ=CD-CQ=.因此OP=DQ=.由（2）知
③当∠OEP=90°时，如图8所示.我们来看此时OP是多少.
图8
∵∠QOB=∠QOD ∠DOB
∠QOB=∠PAO ∠OEP
∠QOD=∠PAO
∴∠DOB=∠OEP.
∵cos∠DOB=cos∠AOC=，∴∠OEP=90°不成立，此情况舍去.
另外，我们还可以这样理解：在△OAP和△QEF中，∠OAP=∠QFE（由CD∥AB可得），∠APO=∠EQF，因此∠AOP=∠QEF=∠OEP.而cos∠AOC=，可见cos∠OEP=，∠OEP不可能是直角，该情况不成立，舍去.
通过对这道题目的分析与解答，我们能深刻体会到“数因形而生动，形因数而具体”这句名言.不是说板书写得越多、越详细、越整齐效果就越好.要想讲好压轴题，第一要务就是把题目中的各种几何关系在图形中清晰地表现出来，如各个角、线段、三角形、抛物线等之间的关系，让听者看到图形就仿佛看到了题目思路，这样听起来就既清晰又舒服，同时印象深刻，此时的图形胜过文字千千万.另外，在做压轴题的时候，也应该恰当合理地利用图形关系，准确寻找目标，再进行代数求解，这样不但能将题目难度逐一化解，还能使得做题脉络更清晰明了.