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摘 要：本文由“两类问题学生”引发了对学生数学思维的生长点的思考，本文认为概念定义是数学思维的生长点，两类问题学生的问题出在对概念定义的理解、掌握和回归上，我们应该更加注重夯实概念教学，本文就如何夯实概念教学也提出了一些不全面的建议.
关键词：概念定义；数学思维
[?] 两类问题学生
在大学阶段，笔者学了一些数学教育领域的理论知识，从教三年，理论和实践都告诉笔者，数学教学最重要的是要培养学生的数学思维能力，并不断地提高他们的思维品质. 就数学思维能力的培养，很多专家学者都从各自的角度提出了很好的具有建设性的建议，但这些建议大都把重点放在“提高能力”上. 结合自己的教学实践，笔者发现存在两类典型的“问题”学生：第一类学生不会（数学地）思考问题，能力几乎得不到提高；第二类学生数学解题能力提高了，但思维常出现漏洞，甚至有时陷入出路闭塞状态.
对于第一类学生，由于他们往往基础很薄弱，反应较迟钝，没有很清晰地理解和掌握概念定义，甚至对相关概念定义一点印象都没有，哪怕面对的是基础题，他们也不会思考，一脸茫然. 笔者曾经精选了五道考查相关概念定义的基础题作为测试题，分发给班上10名后进生（100分的试卷，他们正常考四五十分左右），让他们当场完成，结果五个人能做对两道，三个人做对一道，两个人一道也不会，不排除还有蒙对的. 然后笔者问他们这五道题所考查的相关概念定义的内容是什么，他们大都支支吾吾说不出来. 在之后的两三天里，笔者在课堂上有意识地把这些概念定义和学生们一起详细地复习了，并加强对这些概念定义的辨析，对概念定义运用的训练，重点关注这10名学生的掌握情况，直到确认他们掌握这些概念定义为止. 笔者把之前的那份测试卷稍作修改，再一次发给这10名学生，结果两个人全对，六个人做对四道，两个人做对三道. 笔者不禁反思：这些后进生的思维存在什么问题？
对于第二类学生，他们往往基础不错，反应也快，理解了相关的概念定义，解题能力蛮强，但经常考虑问题不全面或找不到解题的突破口. 在一次高一期终考试的试卷上有这样一道题：“函数f（x）=是定义在R上的奇函数，求实数a的值.” 当时班上很多好学生都做错了，他们根据“f（-x）=f（x）”解出“a=1或-1”，而忽视了定义域R. 一开始笔者以为是因为学生粗心大意而忘了限制条件才出错，后来想不对，如果仅仅是由于“粗心大意”，那应该是少数学生出错，而大多数学生错了，况且题中的定义域R这个条件又不“隐晦”. 再如，笔者曾经在课堂上给出这样一道例题：“设长为l（l2p）的线段AB的两端点A，B在抛物线x2=2py（p>0）上运动，则AB的中点M到x轴的最短距离是多少？”笔者给了充足的时间让他们思考，大多数人（包括不少数学成绩还不错的学生）的解法是“设直线AB的方程，与抛物线方程联立，算A，B两点的坐标，进而算出M点的纵坐标”，陷入了烦琐的运算，个别计算能力较强的人花很长时间算出来了，有的人算不下去，想换方法又苦无对策.其实学生们没有充分利用圆锥曲线的统一定义，如果将M点到x轴的距离转化为A，B两点到x轴的距离之和的一半，再利用圆锥曲线的统一定义将A，B两点到x轴的距离转化为用A，B两点到焦点的距离表示，就能求解. 这两个事例不能不促使笔者思考：“这些好学生的思维还存在哪些方面的不足？”
[?] 概念定义——数学思维的生长点
笔者认为上述两类问题学生的问题出在他们的数学思维没有“生长”好，数学思维的生长和发展与多方面的因素有关，学生对概念定义的内化吸收是数学思维生长的前提和基础. 数学概念是人脑对现实世界中的数量关系和空间形式的本质属性的反映；而定义是对概念的本质特征的规定或描述. 数学中的一切性质、定理、公式、方法、思想、技巧等都是在概念定义的基础上建立起来的.
数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动. 数学思维能力主要包括四个方面的内容：（1）观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；（2）归纳、演绎、类比和推理；（3）合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；（4）运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质. 《高中数学课程标准》中的“空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理”等基本能力指的就是学生的数学思维能力.
概念定义是数学思维的细胞和基石，学生从获得数学概念定义的那一刻起，他大脑中的“数学思维”就开始形成和生长. 如学生掌握了函数的概念“函数是建立在两个非空数集之间的单值对应”后，就可以依据函数的概念定义将现实世界中的问题抽象为函数问题，也可以判断一个对应是不是函数.
第一类学生没有理解概念定义，而数学思维从概念定义开始，所以面对题目，他们不会思考，无法切入，而当他们掌握了概念定义，大脑中就建立了对概念的本质属性的反映，数学思维就有了赖以生长的土壤，面对题目，他们才有可能找到问题的切入点. 第二类学生理解了概念定义，但没有养成时时紧扣定义和回归定义的思维习惯，较易出现思维漏洞或陷入出路闭塞的情况.
作为教师，笔者反思了自己平时的概念教学，事实上，受各种因素的影响，笔者明显地存在着“重结论轻过程”的倾向，即直接把概念塞给学生，把大量的时间和精力放在做题讲题上，学生不了解概念产生的背景、过程以及意义，他们被动地接受概念，机械地背概念，遇到问题，不会运用概念去思维.
[?] 夯实概念教学，培育数学思维
从基本概念到理论体系是数学科学发展也是人类认知发展的客观规律，我们平时必须重视概念教学，夯实学生数学思维生长发展的基石.
1. 创设情境引入概念
建构主义学习理论认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的.” 因此，教师应该创设良好的问题情境，联系学生已有的经验，呈现直观性强的例子，使学生在具体问题情境中感知概念，形成感性认识，提炼出概念的本质属性，引入数学概念. 如在“异面直线”的教学中，教师可以先和学生一起回顾一下旧知“同一平面内两条直线之间的位置关系：平行或相交”，再让学生观察长方体模型并思考问题“在长方体的各条棱中，是否存在两条既不平行又不相交的直线”. 学生找出来之后，教师告诉学生这样的两条直线叫做异面直线，然后再让学生尝试给出异面直线的定义，教师可能需要引导学生对他们给出的语言表述加以概括提炼，最终形成概念. 最好再让学生举出生活中一些异面直线的例子，加深对概念的理解. 学生经历并体验了概念发生发展过程，才会对概念有深刻的理解，为数学的思维的生长提供优良的土壤. 2. 循序渐进逐步加深
有的概念比较抽象，学生对它们的认识很难一步到位，就需要联系学生已经学过的概念或熟悉的事物，分成若干个层次，逐步加深. 如“三角函数的定义”的教学，教师如果直接给出定义，学生由于不知道三角函数是什么，哪来的，有何意义或背景，就会觉得它们很抽象，难以接受和理解. 他们需要经历了以下三个逐步加深的过程：（1）回顾旧知：直角三角形中锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义. 这样学生才能顺利地内化概念，不断地拓展、建构自身的认知结构.
3. 充分挖掘概念的内涵与外延
概念的内涵是指反映在概念中的对象的本质属性（总和）；概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象（总和）. 概念的内涵和外延分别是对事物的质和量的规定. 如“函数零点的定义”的教学，零点的定义：使得函数f（x）的值为0的实数x叫做函数的零点. 挖掘定义的内涵时需强调“零点是实数，而不是点”，以免学生把函数的零点写成坐标. 挖掘定义的外延时需强调三种等价表述：函数f（x）的零点，即方程f（x）=0的实数根，即函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标. 只有学生把概念的内涵和外延都搞透了，遇到问题，他们才能够灵活运用概念.
4. 进行多维度的辨析
郑毓信教授说过：“现代教学思想的一个重要内容，即是认为学生的错误不可能单纯依靠下面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个自我否定的过程”. 有些数学概念，仅从字面上，学生很难准确把握，教师可以从不同的维度设置一些与概念相似的表述，让学生对比、辨别，从而更准确地理解概念. 如“周期的概念”， 教师可以设置以下几个表述让学生回答或判断：（1）函数f（x）满足f（0）=f（2π），则它的周期为2π；（2）函数f（x）=1是周期函数，有最小正周期吗？（3）函数f（x）=sinx，x∈[2π， ∞）是周期函数吗？（4）函数f（x）=sinx，x∈（-∞，2π]是周期函数吗？经过几轮思想斗争和自我否定，学生对周期性概念的几个关键要点才会有更清晰的认识.
5. 发挥图形、图象和实例的重要功能
数形结合是一个非常重要的数学思想，但笔者过去只是在教学生解题时注意数形结合，而在概念教学时没有注意充分发挥图形、图象和实例在促进学生理解概念中的重要功能. 在数学概念教学中，应该充分利用图形、图象和实例使抽象的概念直观化、形象化和具体化，从而易于接受. 如在引入“函数的单调性和奇偶性定义”之前，应先让学生观察呈上升和下降趋势，关于y轴对称和关于原点对称的函数图象的特征，然后再让学生从“数”的角度刻画“形”的特征，这样学生才能把握函数单调性和奇偶性的概念的意义和作用.
6. 反复练习、熟能生巧
用大量的数学题让学生反复练习，可以使学生巩固加深对概念的理解，熟能生巧. 但又不能训练过度，过度的训练可能剥夺学生反思、钻研的时间，甚至使学生产生厌学情绪，最终束缚他们思维的积极性和创造性.
在当前的制度下，考虑到各种因素，数学概念究竟应该怎样讲，讲到什么程度，才恰到好处，是理论问题，更是实践问题，有待进一步研究. 但无论怎样，都要为学生的数学思维生长培育“优良的土壤”.
关键词：概念定义；数学思维
[?] 两类问题学生
在大学阶段，笔者学了一些数学教育领域的理论知识，从教三年，理论和实践都告诉笔者，数学教学最重要的是要培养学生的数学思维能力，并不断地提高他们的思维品质. 就数学思维能力的培养，很多专家学者都从各自的角度提出了很好的具有建设性的建议，但这些建议大都把重点放在“提高能力”上. 结合自己的教学实践，笔者发现存在两类典型的“问题”学生：第一类学生不会（数学地）思考问题，能力几乎得不到提高；第二类学生数学解题能力提高了，但思维常出现漏洞，甚至有时陷入出路闭塞状态.
对于第一类学生，由于他们往往基础很薄弱，反应较迟钝，没有很清晰地理解和掌握概念定义，甚至对相关概念定义一点印象都没有，哪怕面对的是基础题，他们也不会思考，一脸茫然. 笔者曾经精选了五道考查相关概念定义的基础题作为测试题，分发给班上10名后进生（100分的试卷，他们正常考四五十分左右），让他们当场完成，结果五个人能做对两道，三个人做对一道，两个人一道也不会，不排除还有蒙对的. 然后笔者问他们这五道题所考查的相关概念定义的内容是什么，他们大都支支吾吾说不出来. 在之后的两三天里，笔者在课堂上有意识地把这些概念定义和学生们一起详细地复习了，并加强对这些概念定义的辨析，对概念定义运用的训练，重点关注这10名学生的掌握情况，直到确认他们掌握这些概念定义为止. 笔者把之前的那份测试卷稍作修改，再一次发给这10名学生，结果两个人全对，六个人做对四道，两个人做对三道. 笔者不禁反思：这些后进生的思维存在什么问题？
对于第二类学生，他们往往基础不错，反应也快，理解了相关的概念定义，解题能力蛮强，但经常考虑问题不全面或找不到解题的突破口. 在一次高一期终考试的试卷上有这样一道题：“函数f（x）=是定义在R上的奇函数，求实数a的值.” 当时班上很多好学生都做错了，他们根据“f（-x）=f（x）”解出“a=1或-1”，而忽视了定义域R. 一开始笔者以为是因为学生粗心大意而忘了限制条件才出错，后来想不对，如果仅仅是由于“粗心大意”，那应该是少数学生出错，而大多数学生错了，况且题中的定义域R这个条件又不“隐晦”. 再如，笔者曾经在课堂上给出这样一道例题：“设长为l（l2p）的线段AB的两端点A，B在抛物线x2=2py（p>0）上运动，则AB的中点M到x轴的最短距离是多少？”笔者给了充足的时间让他们思考，大多数人（包括不少数学成绩还不错的学生）的解法是“设直线AB的方程，与抛物线方程联立，算A，B两点的坐标，进而算出M点的纵坐标”，陷入了烦琐的运算，个别计算能力较强的人花很长时间算出来了，有的人算不下去，想换方法又苦无对策.其实学生们没有充分利用圆锥曲线的统一定义，如果将M点到x轴的距离转化为A，B两点到x轴的距离之和的一半，再利用圆锥曲线的统一定义将A，B两点到x轴的距离转化为用A，B两点到焦点的距离表示，就能求解. 这两个事例不能不促使笔者思考：“这些好学生的思维还存在哪些方面的不足？”
[?] 概念定义——数学思维的生长点
笔者认为上述两类问题学生的问题出在他们的数学思维没有“生长”好，数学思维的生长和发展与多方面的因素有关，学生对概念定义的内化吸收是数学思维生长的前提和基础. 数学概念是人脑对现实世界中的数量关系和空间形式的本质属性的反映；而定义是对概念的本质特征的规定或描述. 数学中的一切性质、定理、公式、方法、思想、技巧等都是在概念定义的基础上建立起来的.
数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动. 数学思维能力主要包括四个方面的内容：（1）观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；（2）归纳、演绎、类比和推理；（3）合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；（4）运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质. 《高中数学课程标准》中的“空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理”等基本能力指的就是学生的数学思维能力.
概念定义是数学思维的细胞和基石，学生从获得数学概念定义的那一刻起，他大脑中的“数学思维”就开始形成和生长. 如学生掌握了函数的概念“函数是建立在两个非空数集之间的单值对应”后，就可以依据函数的概念定义将现实世界中的问题抽象为函数问题，也可以判断一个对应是不是函数.
第一类学生没有理解概念定义，而数学思维从概念定义开始，所以面对题目，他们不会思考，无法切入，而当他们掌握了概念定义，大脑中就建立了对概念的本质属性的反映，数学思维就有了赖以生长的土壤，面对题目，他们才有可能找到问题的切入点. 第二类学生理解了概念定义，但没有养成时时紧扣定义和回归定义的思维习惯，较易出现思维漏洞或陷入出路闭塞的情况.
作为教师，笔者反思了自己平时的概念教学，事实上，受各种因素的影响，笔者明显地存在着“重结论轻过程”的倾向，即直接把概念塞给学生，把大量的时间和精力放在做题讲题上，学生不了解概念产生的背景、过程以及意义，他们被动地接受概念，机械地背概念，遇到问题，不会运用概念去思维.
[?] 夯实概念教学，培育数学思维
从基本概念到理论体系是数学科学发展也是人类认知发展的客观规律，我们平时必须重视概念教学，夯实学生数学思维生长发展的基石.
1. 创设情境引入概念
建构主义学习理论认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的.” 因此，教师应该创设良好的问题情境，联系学生已有的经验，呈现直观性强的例子，使学生在具体问题情境中感知概念，形成感性认识，提炼出概念的本质属性，引入数学概念. 如在“异面直线”的教学中，教师可以先和学生一起回顾一下旧知“同一平面内两条直线之间的位置关系：平行或相交”，再让学生观察长方体模型并思考问题“在长方体的各条棱中，是否存在两条既不平行又不相交的直线”. 学生找出来之后，教师告诉学生这样的两条直线叫做异面直线，然后再让学生尝试给出异面直线的定义，教师可能需要引导学生对他们给出的语言表述加以概括提炼，最终形成概念. 最好再让学生举出生活中一些异面直线的例子，加深对概念的理解. 学生经历并体验了概念发生发展过程，才会对概念有深刻的理解，为数学的思维的生长提供优良的土壤. 2. 循序渐进逐步加深
有的概念比较抽象，学生对它们的认识很难一步到位，就需要联系学生已经学过的概念或熟悉的事物，分成若干个层次，逐步加深. 如“三角函数的定义”的教学，教师如果直接给出定义，学生由于不知道三角函数是什么，哪来的，有何意义或背景，就会觉得它们很抽象，难以接受和理解. 他们需要经历了以下三个逐步加深的过程：（1）回顾旧知：直角三角形中锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义. 这样学生才能顺利地内化概念，不断地拓展、建构自身的认知结构.
3. 充分挖掘概念的内涵与外延
概念的内涵是指反映在概念中的对象的本质属性（总和）；概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象（总和）. 概念的内涵和外延分别是对事物的质和量的规定. 如“函数零点的定义”的教学，零点的定义：使得函数f（x）的值为0的实数x叫做函数的零点. 挖掘定义的内涵时需强调“零点是实数，而不是点”，以免学生把函数的零点写成坐标. 挖掘定义的外延时需强调三种等价表述：函数f（x）的零点，即方程f（x）=0的实数根，即函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标. 只有学生把概念的内涵和外延都搞透了，遇到问题，他们才能够灵活运用概念.
4. 进行多维度的辨析
郑毓信教授说过：“现代教学思想的一个重要内容，即是认为学生的错误不可能单纯依靠下面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个自我否定的过程”. 有些数学概念，仅从字面上，学生很难准确把握，教师可以从不同的维度设置一些与概念相似的表述，让学生对比、辨别，从而更准确地理解概念. 如“周期的概念”， 教师可以设置以下几个表述让学生回答或判断：（1）函数f（x）满足f（0）=f（2π），则它的周期为2π；（2）函数f（x）=1是周期函数，有最小正周期吗？（3）函数f（x）=sinx，x∈[2π， ∞）是周期函数吗？（4）函数f（x）=sinx，x∈（-∞，2π]是周期函数吗？经过几轮思想斗争和自我否定，学生对周期性概念的几个关键要点才会有更清晰的认识.
5. 发挥图形、图象和实例的重要功能
数形结合是一个非常重要的数学思想，但笔者过去只是在教学生解题时注意数形结合，而在概念教学时没有注意充分发挥图形、图象和实例在促进学生理解概念中的重要功能. 在数学概念教学中，应该充分利用图形、图象和实例使抽象的概念直观化、形象化和具体化，从而易于接受. 如在引入“函数的单调性和奇偶性定义”之前，应先让学生观察呈上升和下降趋势，关于y轴对称和关于原点对称的函数图象的特征，然后再让学生从“数”的角度刻画“形”的特征，这样学生才能把握函数单调性和奇偶性的概念的意义和作用.
6. 反复练习、熟能生巧
用大量的数学题让学生反复练习，可以使学生巩固加深对概念的理解，熟能生巧. 但又不能训练过度，过度的训练可能剥夺学生反思、钻研的时间，甚至使学生产生厌学情绪，最终束缚他们思维的积极性和创造性.
在当前的制度下，考虑到各种因素，数学概念究竟应该怎样讲，讲到什么程度，才恰到好处，是理论问题，更是实践问题，有待进一步研究. 但无论怎样，都要为学生的数学思维生长培育“优良的土壤”.