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摘要：根据学生的年龄特征，教材对计算内容的编排以单元形式螺旋上升，但具体到某一课时的设计，受知识难易程度和学生已有经验等影响，似乎略顯简单。计算问题虽“小”，学问却“大”——知识之间的联系、隐藏在知识背后的策略性方法、学生计算素养的形成等，都是教师必须关注和研究的问题。以《不含括号的三步混合计算》一课为例，说明可以通过例题拓展，算法、算理结合，题组比较等途径，让计算教学“小题大做”“小中见大”。
关键词：计算教学例题拓展算法算理题组比较
“数的运算”历来是小学数学课程的重要组成部分。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”由此可见，计算教学应该体现三个基本特征：正确运算、理解算理、方法合理。
根据学生的年龄特征，教材对计算内容的编排以单元形式螺旋上升，但具体到某一课时的设计，受知识难易程度和学生已有经验等影响，似乎略显简单。苏教版小学数学四年级上册《不含括号的三步混合计算》一课是整数混合运算最后一个教学单元的起始课，正确理解并掌握这部分内容，既是发展学生计算能力的需要，又是学习运算律（含简便运算），以及小数、分数混合运算的基础。此教学内容本身较为简单，教材只编排了1道例题及相应的“试一试”，学生只需把两步混合运算的运算顺序（三年级下册）迁移到三步混合运算中来，即可解决。显然，这对四年级的学生来说并不困难。
不过，问题虽“小”，学问却“大”——知识之间的联系、隐藏在知识背后的策略性方法、学生计算素养的形成等，都是教师必须关注和研究的问题。所谓“小”题也应“大”做，让简单的内容丰富起来。现以《不含括号的三步混合计算》一课为例，略谈笔者的实践与思考。
一、例题拓展
教材例题（问题情境）是探究的驱动力、教学的出发点，首先要研究教材例题，看它是如何呈现关键知识点的。例题是独立的，但知识点不是孤立的，还要分析知识之间的联系，思考教学中可以进行怎样的丰富与拓展。如此，才有可能形成知识系统。
本节课教材中的例题，出示的情境为：“中国象棋每副12元，围棋每副15元，买3副中国象棋和4副围棋，一共要付多少元？”引导的解题方法是先分步再综合，并在综合方法中给出了等号和横线，引导学生用递等式的格式进行计算和填空，同时也对运算顺序做了小小的提示。
为了给学生更好地展示自主学习过程的空间，我尝试对教材例题进行了改编拓展，让学生自主探究算式的运算顺序，并结合实际问题及两步混合运算的运算顺序，说明探究理由。改编后的教学设计沟通了两步混合运算和三步混合运算的联系，符合学生的认知规律，给了学生更开放的探索和思考空间。具体如下：
（一）情境导入
1.谈话：这节课，我们来到学校兴趣社团研究一些数学问题。棋社准备买一些中国象棋和围棋，一位同学和老师来到了商店（出示改编后的情境图，如图1）。
2.启发：“买5副棋，两种棋都要买”你是怎么理解的？可以怎样买呢？
预设：①买4副中国象棋和1副围棋;②买1副中国象棋和4副围棋;③买3副中国象棋和2副围棋;④买2副中国象棋和3副围棋。
3.复习两步混合运算，解决第①和第②种购买方案。（省略）
（二）新知探究
1.探究：你能解决第③种购买方案中的问题吗？列成综合算式你会算吗？
2.试一试：对于第④种购买方案，你能运用学到的知识独立解答吗？
……
此教学设计做了三处加工：一是在结构上将原例题改编成开放性问题，丰富了例题的功能。二是增加了思维难度。显然，对于“买5副棋，两种棋都要买”这一信息，学生要稍加思索才能理解其含义。三是体现了前后知识的衔接。上述四种购买方案中，①和②是复习以前学过的两步混合运算;③作为新课的例题教学;④作为即时反馈。解决这四个问题，既复习了旧知，又自然引出了新知，还预留了巩固练习，可谓一举多得。
二、“法”“理”结合
算法和算理是运算能力的两翼。算理是计算的依据，是算法的基础;算法是依据算理提炼出来的计算方法和规则，是算理的具体体现。两者相辅相成，缺一不可。本节课的内容是“三步混合运算”，运算顺序（算法）学生通过迁移可以获得，但是对于算理“先乘除再加减”，则必须让学生回归现实世界，通过情境来说明其合理性。
史宁中教授有一个有趣的比喻：运算可以看作是讲故事，一步运算就是讲述一个简单的故事;两步或三步运算都是讲述多个故事。按照故事发生的先后顺序，有的是大故事包含小故事，必须讲完一个故事才能开始讲下一个故事;有的是几个故事并列。这些故事用数学上的一个式子来表达，就形成了混合运算;要让运算结果和这些故事发生的先后顺序一致，就需要制订一些规则，就是运算顺序。因此，教学中我有意识地进行了这方面的渗透。具体如下：
1.例题：买3副中国象棋和2副围棋，一共要付多少元？
引导：
①解决这个问题要先算什么？为什么？
②分步列式的同学，请说说前两步算的什么？再算什么？
③综合算式的同学，想想应该先算哪个部分？是按怎样的运算顺序来计算的？你能联系题意说说为什么要先算乘法吗？
2.模仿，解决问题。（即上述第④题，省略）
3.试一试（出示图2）：
①你能把这个综合算式补充完整吗？
②“100-90÷6×4”，要先算什么？再算什么？最后算什么？你能结合题意说一说吗？
4.比较归纳：这些三步混合计算要先算什么呢？和两步混合计算的运算顺序一样吗？
5.拓展：你能从乘法（除法）的定义出发，说说在含有乘法（除法）的算式中先算加法（减法），会导致什么结果吗？ 例题其实讲了一个买棋的故事，引导可以分三个层次。一是看问题，初步领会故事发生的先后顺序。二是引導分步列式，发现包含3个“小故事”：①买3副中国象棋付多少元？②买2副围棋付多少元？③一共要付多少元？只有把①和②这两个故事讲完了，才能继续第③个故事。至于是先讲述“①买3副中国象棋”还是“②买2副围棋”，都是可以的。在分步列式的过程中把顺序理清楚了，之后用综合算式来解答就水到渠成了。三是列出综合式。根据故事的先后顺序，“①买3副中国象棋”和“②买2副围棋”先发生，所以要先算这两步乘法，接着才能算“③一共要付多少元”的加法;而“买3副中国象棋”和“买2副围棋”是并列关系，先算哪个都可以，不会影响最后的结果，因此可以一起算。
接下来的“试一试”也进行了适当改编，增加了生活情境。同时，为了降低难度，以填空的形式引导学生列出算式。根据情境，要先算出“①1副国际象棋多少元”，再算出“②4副国际象棋多少元”，最后算出“③找回多少元”。这三个小故事是一环套一环的，必须讲完上一个故事，才能继续下一个故事，因此运算顺序必须是“除法→乘法→减法”，不然故事就讲不下去了。在学生结合生活情境获得运算顺序的体验与认识后，教师说明“像这样的三步混合计算（不含括号），数学上是这样规定运算顺序的：先算乘（除）法，再算加（减）法”。
拓展问题引导学生利用乘法的定义把乘法还原成加法，然后按照加法的先后顺序算出结果，接着与先算加法再算乘法的结果比较，指出后者的不合理，由此进一步从数学内部强化对算理的理解。
讲的是故事，理的是顺序。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性;而算法保证了计算的正确性和快速性。算法和算理结合，可以让学生更直观地理解和掌握运算顺序。
三、题组比较
题组训练是苏教版数学教材编写上的一大特色。小学生还不具备主动将知识融会贯通的能力，而“题组”以其沟通相近知识联系、突出相异知识对比的特性，能有效促进学生对数学知识和方法本质的真正理解。本节课，我设计了三次题组比较（变式辨析）。
（一）不同计算方式的比较，体会运算顺序的合理性
对于例题的探究，学生交流分步解答的过程后，列出综合算式“12×3+15×2”并尝试计算，出现了两种不同的运算顺序（如图3）。引导学生比较这两种算法有什么相同和不同，让学生在比较的过程中，理解二者的实质是讲同一个“故事”，体会同时计算两个乘法的优越性。
① 12×3+15×2
=36+15×2
=36+30
=66（元）② 12×3+15×2
=36+30
=66（元）
（二）同结构算式的比较，实现运算顺序的快速迁移
解决了方案③“买3副中国象棋和2副围棋，一共要付多少元？”和方案④“买2副中国象棋和3副围棋，一共要付多少元？”后，比较“12×3+15×2”和“12×2+15×3”这两个算式的特征，使学生对“乘加乘”结构的三步混合计算有进一步的认识。为了让学生牢固掌握这种结构，我设计了游戏“算式变变变”，进行题组变形：12×3-15×2→12÷2+15÷3→12×2+15÷3→……引导学生观察每次是怎样变化的，可以按怎样的顺序算，让学生体会：虽然数字和运算符号在不断变化，但是算式结构没有变，由此建立起“扁担题”的结构模型。并得出：都要先算乘（除）法，再算加（减）法;也可以同时算出乘（除）法，再算加（减）法，这样可以使书写过程简略一些。
（三）不同结构算式的比较，感受“变和不变”的数学思想
接着，是第二次“算式变变变”：……→12-2×15÷3→12+2×15÷3→12○2○15○3，呈现三步混合计算的各种不同结构，让学生说说要先算什么、后算什么。算式结构的改变，再次激发了学生探索的欲望。最后让学生在“○”中填上运算符号，编写出不同的三步混合计算式，然后说说每个算式的运算顺序。学生感受到虽然每个算式具体的运算顺序在变，但是“先乘（除）、后加（减）”的方法不变。
参考文献：
[1] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.
关键词：计算教学例题拓展算法算理题组比较
“数的运算”历来是小学数学课程的重要组成部分。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”由此可见，计算教学应该体现三个基本特征：正确运算、理解算理、方法合理。
根据学生的年龄特征，教材对计算内容的编排以单元形式螺旋上升，但具体到某一课时的设计，受知识难易程度和学生已有经验等影响，似乎略显简单。苏教版小学数学四年级上册《不含括号的三步混合计算》一课是整数混合运算最后一个教学单元的起始课，正确理解并掌握这部分内容，既是发展学生计算能力的需要，又是学习运算律（含简便运算），以及小数、分数混合运算的基础。此教学内容本身较为简单，教材只编排了1道例题及相应的“试一试”，学生只需把两步混合运算的运算顺序（三年级下册）迁移到三步混合运算中来，即可解决。显然，这对四年级的学生来说并不困难。
不过，问题虽“小”，学问却“大”——知识之间的联系、隐藏在知识背后的策略性方法、学生计算素养的形成等，都是教师必须关注和研究的问题。所谓“小”题也应“大”做，让简单的内容丰富起来。现以《不含括号的三步混合计算》一课为例，略谈笔者的实践与思考。
一、例题拓展
教材例题（问题情境）是探究的驱动力、教学的出发点，首先要研究教材例题，看它是如何呈现关键知识点的。例题是独立的，但知识点不是孤立的，还要分析知识之间的联系，思考教学中可以进行怎样的丰富与拓展。如此，才有可能形成知识系统。
本节课教材中的例题，出示的情境为：“中国象棋每副12元，围棋每副15元，买3副中国象棋和4副围棋，一共要付多少元？”引导的解题方法是先分步再综合，并在综合方法中给出了等号和横线，引导学生用递等式的格式进行计算和填空，同时也对运算顺序做了小小的提示。
为了给学生更好地展示自主学习过程的空间，我尝试对教材例题进行了改编拓展，让学生自主探究算式的运算顺序，并结合实际问题及两步混合运算的运算顺序，说明探究理由。改编后的教学设计沟通了两步混合运算和三步混合运算的联系，符合学生的认知规律，给了学生更开放的探索和思考空间。具体如下：
（一）情境导入
1.谈话：这节课，我们来到学校兴趣社团研究一些数学问题。棋社准备买一些中国象棋和围棋，一位同学和老师来到了商店（出示改编后的情境图，如图1）。
2.启发：“买5副棋，两种棋都要买”你是怎么理解的？可以怎样买呢？
预设：①买4副中国象棋和1副围棋;②买1副中国象棋和4副围棋;③买3副中国象棋和2副围棋;④买2副中国象棋和3副围棋。
3.复习两步混合运算，解决第①和第②种购买方案。（省略）
（二）新知探究
1.探究：你能解决第③种购买方案中的问题吗？列成综合算式你会算吗？
2.试一试：对于第④种购买方案，你能运用学到的知识独立解答吗？
……
此教学设计做了三处加工：一是在结构上将原例题改编成开放性问题，丰富了例题的功能。二是增加了思维难度。显然，对于“买5副棋，两种棋都要买”这一信息，学生要稍加思索才能理解其含义。三是体现了前后知识的衔接。上述四种购买方案中，①和②是复习以前学过的两步混合运算;③作为新课的例题教学;④作为即时反馈。解决这四个问题，既复习了旧知，又自然引出了新知，还预留了巩固练习，可谓一举多得。
二、“法”“理”结合
算法和算理是运算能力的两翼。算理是计算的依据，是算法的基础;算法是依据算理提炼出来的计算方法和规则，是算理的具体体现。两者相辅相成，缺一不可。本节课的内容是“三步混合运算”，运算顺序（算法）学生通过迁移可以获得，但是对于算理“先乘除再加减”，则必须让学生回归现实世界，通过情境来说明其合理性。
史宁中教授有一个有趣的比喻：运算可以看作是讲故事，一步运算就是讲述一个简单的故事;两步或三步运算都是讲述多个故事。按照故事发生的先后顺序，有的是大故事包含小故事，必须讲完一个故事才能开始讲下一个故事;有的是几个故事并列。这些故事用数学上的一个式子来表达，就形成了混合运算;要让运算结果和这些故事发生的先后顺序一致，就需要制订一些规则，就是运算顺序。因此，教学中我有意识地进行了这方面的渗透。具体如下：
1.例题：买3副中国象棋和2副围棋，一共要付多少元？
引导：
①解决这个问题要先算什么？为什么？
②分步列式的同学，请说说前两步算的什么？再算什么？
③综合算式的同学，想想应该先算哪个部分？是按怎样的运算顺序来计算的？你能联系题意说说为什么要先算乘法吗？
2.模仿，解决问题。（即上述第④题，省略）
3.试一试（出示图2）：
①你能把这个综合算式补充完整吗？
②“100-90÷6×4”，要先算什么？再算什么？最后算什么？你能结合题意说一说吗？
4.比较归纳：这些三步混合计算要先算什么呢？和两步混合计算的运算顺序一样吗？
5.拓展：你能从乘法（除法）的定义出发，说说在含有乘法（除法）的算式中先算加法（减法），会导致什么结果吗？ 例题其实讲了一个买棋的故事，引导可以分三个层次。一是看问题，初步领会故事发生的先后顺序。二是引導分步列式，发现包含3个“小故事”：①买3副中国象棋付多少元？②买2副围棋付多少元？③一共要付多少元？只有把①和②这两个故事讲完了，才能继续第③个故事。至于是先讲述“①买3副中国象棋”还是“②买2副围棋”，都是可以的。在分步列式的过程中把顺序理清楚了，之后用综合算式来解答就水到渠成了。三是列出综合式。根据故事的先后顺序，“①买3副中国象棋”和“②买2副围棋”先发生，所以要先算这两步乘法，接着才能算“③一共要付多少元”的加法;而“买3副中国象棋”和“买2副围棋”是并列关系，先算哪个都可以，不会影响最后的结果，因此可以一起算。
接下来的“试一试”也进行了适当改编，增加了生活情境。同时，为了降低难度，以填空的形式引导学生列出算式。根据情境，要先算出“①1副国际象棋多少元”，再算出“②4副国际象棋多少元”，最后算出“③找回多少元”。这三个小故事是一环套一环的，必须讲完上一个故事，才能继续下一个故事，因此运算顺序必须是“除法→乘法→减法”，不然故事就讲不下去了。在学生结合生活情境获得运算顺序的体验与认识后，教师说明“像这样的三步混合计算（不含括号），数学上是这样规定运算顺序的：先算乘（除）法，再算加（减）法”。
拓展问题引导学生利用乘法的定义把乘法还原成加法，然后按照加法的先后顺序算出结果，接着与先算加法再算乘法的结果比较，指出后者的不合理，由此进一步从数学内部强化对算理的理解。
讲的是故事，理的是顺序。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性;而算法保证了计算的正确性和快速性。算法和算理结合，可以让学生更直观地理解和掌握运算顺序。
三、题组比较
题组训练是苏教版数学教材编写上的一大特色。小学生还不具备主动将知识融会贯通的能力，而“题组”以其沟通相近知识联系、突出相异知识对比的特性，能有效促进学生对数学知识和方法本质的真正理解。本节课，我设计了三次题组比较（变式辨析）。
（一）不同计算方式的比较，体会运算顺序的合理性
对于例题的探究，学生交流分步解答的过程后，列出综合算式“12×3+15×2”并尝试计算，出现了两种不同的运算顺序（如图3）。引导学生比较这两种算法有什么相同和不同，让学生在比较的过程中，理解二者的实质是讲同一个“故事”，体会同时计算两个乘法的优越性。
① 12×3+15×2
=36+15×2
=36+30
=66（元）② 12×3+15×2
=36+30
=66（元）
（二）同结构算式的比较，实现运算顺序的快速迁移
解决了方案③“买3副中国象棋和2副围棋，一共要付多少元？”和方案④“买2副中国象棋和3副围棋，一共要付多少元？”后，比较“12×3+15×2”和“12×2+15×3”这两个算式的特征，使学生对“乘加乘”结构的三步混合计算有进一步的认识。为了让学生牢固掌握这种结构，我设计了游戏“算式变变变”，进行题组变形：12×3-15×2→12÷2+15÷3→12×2+15÷3→……引导学生观察每次是怎样变化的，可以按怎样的顺序算，让学生体会：虽然数字和运算符号在不断变化，但是算式结构没有变，由此建立起“扁担题”的结构模型。并得出：都要先算乘（除）法，再算加（减）法;也可以同时算出乘（除）法，再算加（减）法，这样可以使书写过程简略一些。
（三）不同结构算式的比较，感受“变和不变”的数学思想
接着，是第二次“算式变变变”：……→12-2×15÷3→12+2×15÷3→12○2○15○3，呈现三步混合计算的各种不同结构，让学生说说要先算什么、后算什么。算式结构的改变，再次激发了学生探索的欲望。最后让学生在“○”中填上运算符号，编写出不同的三步混合计算式，然后说说每个算式的运算顺序。学生感受到虽然每个算式具体的运算顺序在变，但是“先乘（除）、后加（减）”的方法不变。
参考文献：
[1] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.