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解圆锥曲线问题常用方法有定义法、待定系数法、消元求解法、向量法等。主要涉及圆锥曲线的定义、几何性质、最值、对称等问题。突出考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法。
类型1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等
【例1】 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.
分析 设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1或x2b2+y2a2=1(a>b>0)。根据题意列出关于a,b,c的方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离。
解 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1或x2b2+y2a2=1(a>b>0)，则b=c，a－c=4(2－1)a2=b2+c2，，解之得：a=42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为x232+y216=1或x216+y232=1，离心率e=22；准线方程x=±8或y=±8，两准线的距离为16.
点拨 充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关。本题易错点是：对“对称轴为坐标轴”不作讨论，从而漏解。
【奇思妙想】 如图，已知△P1OP2的面积为274，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为132的双曲线方程.
分析 本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P在
曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值。
得a2=4,b2=9，故双曲线方程为x24－y29=1.
类型2：利用圆锥曲线定义
【例2】 F是椭圆x24+y23=1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，求|PA|+2|PF|的最小值．
分析 PF为椭圆的一个焦半径，常须将另一焦半径PF′或准线
作出来考虑问题。
解 作出右准线l，作PH⊥l交于点H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=12，
∴|PF|=12|PH|,即2|PF|=|PH|，
∴|PA|+2|PF|=|PA|+|PH|，
当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a2c－xA=4－1=3.
点拨 这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，依据是将两点转化为“异面”，请仔细体会。
【奇思妙想】 已知条件不变，求|PA|+|PF|的最小值．
解 设另一焦点为F′，则F′(-1,0),连接AF′,PF′，|PA|+|PF|=|PA|+2a－|PF′|=
2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|=4－5，当P是F′A的延长线与椭圆的交点时,|PA|+|PF|取得最小值为4-5．
类型3：与圆锥曲线有关的定值、最值问题
【例3】 点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
（1） 求点P的坐标；
（2） 设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
分析 设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值。
解 （1） 由已知可得点A(－6,0),F(4,0),设点P(x,y),则AP=（x+6,y）,FP=（x－4,y）,
由已知可得x236+y220=1,(x+6)(x－4)+y2=0,
则2x2+9x－18=0,x=32或x=－6．
由于y>0,只能x=32,于是y=532.
∴点P的坐标是32,532.
(2) 直线AP的方程是x－3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是|m+6|2.
于是|m+6|2=|m-6|,又∵－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
d2=(x－2)2+y2=x2－4x+4+20－59x2=49x－922+15,
由于－6≤x≤6，∴当x=92时,d取得最小值15．
点拨 解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解。
【奇思妙想】 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点
F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交
点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(1) 求椭圆的方程；
牛刀小试
1. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=π2,则椭圆离心率的范围是 .
2. (1) 抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为 ．
(2) 抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 ．
3. P、Q、M、N四点都在椭圆x2+y22=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF•MF=0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
【参考答案】
1. 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得a2－b
3. 如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx－1=0，
设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1=－k－2k2+22+k2,x2=－k+2k2+22+k2，
从而|PQ|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=8(1+k2)2(2+k2)2,亦即|PQ|=22(1+k2)2+k2.
(1) 当k≠0时，MN的斜率为－1k，同上可推得|MN|=221+－1k22+－1k2，
故四边形面积S=12|PQ||MN|=4(1+k2)1+1k2(2+k2)2+1k2=42+k2+1k25+2k2+2k2,
令u=k2+1k2得S=4(2+u)5+2u=21－15+2u，∵u=k2+1k2≥2，
当k=±1时u=2，S=169且S是以u为自变量的增函数，∴169≤S<2.
(2) 当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2.∴S=12|PQ||MN|=2.
综合(1)(2)知四边形PMQN的最大值为2，最小值为169.
（作者：吴志华，启东市吕四中学）
类型1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等
【例1】 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.
分析 设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1或x2b2+y2a2=1(a>b>0)。根据题意列出关于a,b,c的方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离。
解 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1或x2b2+y2a2=1(a>b>0)，则b=c，a－c=4(2－1)a2=b2+c2，，解之得：a=42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为x232+y216=1或x216+y232=1，离心率e=22；准线方程x=±8或y=±8，两准线的距离为16.
点拨 充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关。本题易错点是：对“对称轴为坐标轴”不作讨论，从而漏解。
【奇思妙想】 如图，已知△P1OP2的面积为274，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为132的双曲线方程.
分析 本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P在
曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值。
得a2=4,b2=9，故双曲线方程为x24－y29=1.
类型2：利用圆锥曲线定义
【例2】 F是椭圆x24+y23=1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，求|PA|+2|PF|的最小值．
分析 PF为椭圆的一个焦半径，常须将另一焦半径PF′或准线
作出来考虑问题。
解 作出右准线l，作PH⊥l交于点H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=12，
∴|PF|=12|PH|,即2|PF|=|PH|，
∴|PA|+2|PF|=|PA|+|PH|，
当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a2c－xA=4－1=3.
点拨 这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，依据是将两点转化为“异面”，请仔细体会。
【奇思妙想】 已知条件不变，求|PA|+|PF|的最小值．
解 设另一焦点为F′，则F′(-1,0),连接AF′,PF′，|PA|+|PF|=|PA|+2a－|PF′|=
2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|=4－5，当P是F′A的延长线与椭圆的交点时,|PA|+|PF|取得最小值为4-5．
类型3：与圆锥曲线有关的定值、最值问题
【例3】 点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
（1） 求点P的坐标；
（2） 设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
分析 设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值。
解 （1） 由已知可得点A(－6,0),F(4,0),设点P(x,y),则AP=（x+6,y）,FP=（x－4,y）,
由已知可得x236+y220=1,(x+6)(x－4)+y2=0,
则2x2+9x－18=0,x=32或x=－6．
由于y>0,只能x=32,于是y=532.
∴点P的坐标是32,532.
(2) 直线AP的方程是x－3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是|m+6|2.
于是|m+6|2=|m-6|,又∵－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
d2=(x－2)2+y2=x2－4x+4+20－59x2=49x－922+15,
由于－6≤x≤6，∴当x=92时,d取得最小值15．
点拨 解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解。
【奇思妙想】 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点
F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交
点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(1) 求椭圆的方程；
牛刀小试
1. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=π2,则椭圆离心率的范围是 .
2. (1) 抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为 ．
(2) 抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 ．
3. P、Q、M、N四点都在椭圆x2+y22=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF•MF=0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
【参考答案】
1. 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得a2－b
3. 如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx－1=0，
设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1=－k－2k2+22+k2,x2=－k+2k2+22+k2，
从而|PQ|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=8(1+k2)2(2+k2)2,亦即|PQ|=22(1+k2)2+k2.
(1) 当k≠0时，MN的斜率为－1k，同上可推得|MN|=221+－1k22+－1k2，
故四边形面积S=12|PQ||MN|=4(1+k2)1+1k2(2+k2)2+1k2=42+k2+1k25+2k2+2k2,
令u=k2+1k2得S=4(2+u)5+2u=21－15+2u，∵u=k2+1k2≥2，
当k=±1时u=2，S=169且S是以u为自变量的增函数，∴169≤S<2.
(2) 当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2.∴S=12|PQ||MN|=2.
综合(1)(2)知四边形PMQN的最大值为2，最小值为169.
（作者：吴志华，启东市吕四中学）