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文献[1]中，许晓天老师对数学归纳法进行了系统研究，并在听课、评课的基础之上对数学归纳法进行了理性思考.笔者欣赏之余亦发现文献[1]中存在着三个“忽视”，而这三个“忽视”的内容恰是揭示数学归纳法本质的重要支撑点，是学生发现、认识、理解数学归纳法必须要经历的阶段，笔者借此机会把这三个“忽视”给予补充，供同行参阅.
1第一个忽视——如何确定第一步中n的起始值
文献[2]把数学归纳法分成2课时，例题的个数达到5个，包含了与正整数有关的恒等式、数的整除性、数列的通项及前n项的和等问题，但没有涉及不等式的证明问题.对于数学归纳法的教学，在文献[3]中明确指出：要把重点放在第二步上，其关键在于让学生弄清“归纳假设”是什么（即当n=k时，命题是什么），要证明的又是什么（即当n=k 1时，命题是什么）.在此教学建议下，第二步成为了课堂上讨论、研究的核心.笔者认为，这样的教学处理，虽对学生的做题有帮助，但却不利于学生理解数学归纳法本质.文献[1]虽然对第一步做了理性的思考，并概括为“一个足够，多了没用”，但是仍然没有揭示数学归纳法第一步的本质问题.下面笔者结合文献[2]中的一道纠错题给出说明.
题目设n∈N*，求证：2n>n2.
证明：①n=1时，21>12，不等式显然成立.②假设当n=k时不等式成立，即2k>k2，那么，当n=k 1时，有2k 1=2×2k=2k 2k>k2 k2≥k2 2k 1=（k 1）2.这就是说，当n=k 1时不等式也成立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都成立.
请分析上述问题用数学归纳法证明过程中的错误.
错误剖析第二步证明有错.一般地，对自然数k，当k≥3时，k2≥2k 1才成立，即当k≥3时，第二步才能无限地运行下去.那么，如何来确定第一步中n的起始值呢？我们现在来规定多米诺骨牌一个新的游戏规则：从第三块骨牌开始，前一块倒下后一定能击倒下一块.在这样的规则要求下，如果要使所有的骨牌都倒下，只要做三件事：第一，推倒第一块骨牌（第二块骨牌未倒下）；第二，推倒第二块骨牌（第三块骨牌未倒下）；第三，推倒第三块骨牌（从第三块开始，前一块倒下后一定能击倒下一块）.即第二步能无限传递下去的基础是第三块骨牌倒下，也就是说第一步中起始值不一定是1，因此，起始值的选择要根据题目所给条件和第二步综合确定.需要特别指出的是，多米诺骨牌毕竟不是数学问题，重要的是通过直观化处理为学生提供了一种“数学化”（所谓数学化，是指通过一种组织与构建的活动，运用已有的知识与技能去发现未知的规律、关系和结构.简言之，数学地组织现实世界的过程就是数学化）思想，有利于帮助学生对第一步本质的认识.在此题目中，我们要找出n≥3时，不等式2n>n2成立的最小正整数.当n=3时，2nn2.从而，本题中第一步起始值应为5，当n≥5时，第二步才具有实质上的无限传递性，即证得n≥5时，2n>n2.至此，数学归纳法第一步的本质不攻自破.
因此，在教学过程中，教师必须让学生经历起始值的讨论，因为这是数学归纳法第二步论证的基础.就像玩多米诺骨牌一样，在“前一块倒下后一定能击倒下一块”的游戏规则下，如果我们不推倒第一块骨牌，那么所有的骨牌能倒下吗？
下面再利用文献[4]中的一道题说明确定起始值的重要性：
例题用数学归纳法证明：（1 2 3 … n）（1 12 13 … 1n）≥n2，其中n∈N*.
证明①n=1时，不等式显然成立，n=2时，不等式的左边=（1 2）×（1 12）=92，右边=22=4，不等式也成立.
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即（1 2 3 … k）（1 12 13 … 1k）≥k2成立，则当n=k 1时，有[1 2 3 … k （k 1）]1 12 13 … 1k （1k 1）=（1 2 3 … k）（1 12 13 … 1k） 1 2 3 … kk 1 （1 12 13 … 1k）（k 1） 1≥k2 k（k 1）2（k 1） （1 12）（k 1） 1>k2 k2 3k2 1=（k 1）2.这就是说，当n=k 1时不等式也成立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都成立.
说明本题结合不等关系1 12 13 … 1n≥1 12，n≥2来证明，但注意要将第一步的起点后移，即第一步中的起始值为2.因此，在第一步证明中，不仅要证明当n=2时，不等式成立，还要说明当n=1时不等式成立.
2第二个忽视——为什么在第二步的证明中要用“假设”两字
对于这个问题，想必有很多教师现在还无法进行清晰的解释.笔者认为：这一知识点是这节课最重要的难点之一，在数学归纳法起始课的教学中，教师应该让学生对此有一个清楚的认识，否则，学生只是掌握了数学归纳法的“形”，而没有真正掌握数学归纳法的“神”.
譬如，要使多米诺骨牌全部倒下需要两个条件，第一个条件：第一块骨牌倒下；第二个条件：若第k块骨牌倒下，则第k 1块骨牌也倒下.从实际教学看，第一个条件容易理解，第二个条件理解起来比较困难.如何解释呢？为了方便起见，记命题P（n）是与自然数n有关的命题.P（n）可以理解为是编了号的命题.第1号命题是P（1），第2号命题是P（2），……，第k号命题是P（k），第k 1号命题是P（k 1），…….第一步只是验证命题P（n）中的第1号命题P（1）成立.第二步实质上也是一个命题，即如果P（k）成立，则有P（k 1）成立.P（k）到底成立还是不成立，不是第二步的任务.第二步的任务是：假设P（k）成立；证明P（k 1）也成立.这就好像命题“如果0>1，那么1>2”是真命题，因为尽管0<1，但如果有0>1，则由不等式的性质有0 1>1 1，即1>2.至此，学生就会明白第二步中的命题P（k）和P（k 1）实质上断定的是一种关系，而不是对P（k）的断定.如果更形象一点说，第二步所断言的是有了一台功能特殊的“递推机”，该递推机的功能是：只要把原料P（k）递进去，那么该机便能输出P（k 1）这个产品.当然，有了递推机并不能保证一定有原料.现在就可结合第一步来看数学归纳法.第一步断言了P（1）为真，而第二步就是一台递推机，这样将P（1）作为初次原料送进递推机，它立即输出P（2），有了P（2）就可以把它作为原料再次送入递推机，于是就有了P（3），如此重复地运用递推机，就可相应地得到P（4），P（5），……，这样就看清楚了数学归纳法的“递推机”在有初始原料P（1）的情况下的“工作”原理，这里实质上也就是数学归纳法为什么能作为一个严密的证题方法的逻辑原理.因此应该让学生清楚：数学归纳法是一种演绎推理，是典型的三段论，而这种演绎推理又是为了归纳.数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性. 3第三个忽视——第二步中的归纳假设如何使用
在实际的教学过程中，教师必须要强调：由假设P（k）成立证P（k 1）时，要推导详实，并且一定要运用P（k）.文献[1]中虽提到：第二步中“假设”也是条件，不用不行，但遗憾的是却没有指出如何使用这个假设条件？下面借助于第二个“忽视”中的例题来说明如何使用假设条件.
另证①当n=1时，不等式显然成立.
②假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即（1 2 3 … k）（1 12 13 … 1k）≥k2成立，即1 12 13 … 1k≥k21 2 3 … k=k2k（k 1）2=2kk 1成立.则当n=k 1时，
（1 2 3 … k k 1）（1 12 13 … 1k 1k 1）≥（k 1）（k 2）2（2kk 1 1k 1）=（k 1）2 k2≥（k 1）2.……
分析数学归纳法规定：在P（k）成立的前提下，证明P（k 1）成立.但是如何使用P（k）就要适时考虑.在第二个“忽视”中，证明（放缩法）思路体现在：要证P（k 1）成立，必须在P（k 1）的结构中凑出P（k）的结构.另证在P（k）成立的前提下，对P（k）进行深加工，为P（k 1）的成立创造更优越的条件.如果教师过度强调“证明P（k 1）时要凑出P（k）的结构”，就有掩盖数学归纳法第二步本质的嫌疑.因此，教师要让学生清楚地了解每一个知识点的来龙去脉，了解每一个知识点的应用范围，了解每一个知识点的所以然，才能更好地讲授数学归纳法.
4一个担心——直观与形式化不能代替数学本质
关于强调本质的问题，高中数学课程标准明确指出：“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.”事实上，没有对数学本质的理解，就不可能有应用和创新[5].这就要求我们，教学中必须要弄清问题产生的背景，抽象的过程以及结果的表述，体会其内在的本质.但目前的现状是：模仿操作的多了，体会内在本质的少了.教学中不能因学生学会了数学归纳法的基本步骤，就忽视数学归纳法的基本思想.甚至有的教师过度追求形式化，把数学归纳法程序化（见矩形框图），并要求学生做题时填空就可以了.对此，笔者在此呼吁：数学归纳法的教学决不能得鱼而忘筌.
证明：①n=n0时结论成立。
②假设n=k时成立，即 ，则当n=k 1时，
即结论对于所有的n=k 1都成立.
综合①②，可知结论成立.
另外，多米诺骨牌是一个经典的教学实例，很多专家与一线教师在反复探讨之后，仍然觉得其它实例都无法代替多米诺骨牌这个经典实例[6].由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.通过师生的共同讨论得出结论：（1）第一块要倒下；（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤.最后让学生套用这个模式解题.鉴于学生的实际，我们认为这些做法十分必要.但遗憾的是，这些做法对隐藏在实例背后的实质性问题揭露不够，虽然多米诺骨牌这个例子学生确实比较容易理解，但无论你如何解释，这只是对数学归纳法思想的一个直观认识，它决不能替代其丰富的理性内涵.学生也因此被稀里糊涂地带进了模仿操作的怪圈里，学生对它的掌握仅仅停留在被称作“表象”的水平上，还并没有真正掌握.因此，对于直观的东西应用一定要适可而止，少了，会降低理解上的难度，多了，会抑制数学思维，只有恰到好处，才能发挥它的应用作用.
最后，如果因为教师自身感到某个数学本质不好解释、不自然，所以就放弃对它的诠释，那就放弃了一次让学生真正体验“数学化”思想的历程，学生也就失去了一次数学理性思维提升的过程.课堂上，教师应该展示数学归纳法的形成过程，让数学归纳法的原理水到渠成.在教学过程中让学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正走入学生的内心世界.总之，课堂教学既是一门学问，也是一门艺术.衷心愿我们的课堂教学真正做到远离浮躁，回归本质.
参考文献
[1]许晓天.提炼问题，理性分析，整体设计——对“数学归纳法”评课中问题的反思[J].中学数学教学参考，2013（10）：25-28.
[2]单墫.普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-2（苏教版）[M].南京：江苏教育出版社，2012.
[3]单墫.高中数学教学参考书：选修2-2（苏教版）[M].南京：江苏教育出版社，2012.
[4]李善良.学习与评价——高中数学选修2-2[M].南京：江苏教育出版社，2013.
[5]陈云平.数学教学应是数学本质的教学[J].中学数学教学参考，2005（10）：12.
[6]马茂年，俞昕.课堂教学回归“数学化”的讨论和分析[J].数学教育学报，2013，22（3）：80.
作者简介 曹军，1986年出生，中教二级.主要从事高中数学教育教学，研究方向为课堂教学研究，中学数学解题研究.发表论文近30篇.
1第一个忽视——如何确定第一步中n的起始值
文献[2]把数学归纳法分成2课时，例题的个数达到5个，包含了与正整数有关的恒等式、数的整除性、数列的通项及前n项的和等问题，但没有涉及不等式的证明问题.对于数学归纳法的教学，在文献[3]中明确指出：要把重点放在第二步上，其关键在于让学生弄清“归纳假设”是什么（即当n=k时，命题是什么），要证明的又是什么（即当n=k 1时，命题是什么）.在此教学建议下，第二步成为了课堂上讨论、研究的核心.笔者认为，这样的教学处理，虽对学生的做题有帮助，但却不利于学生理解数学归纳法本质.文献[1]虽然对第一步做了理性的思考，并概括为“一个足够，多了没用”，但是仍然没有揭示数学归纳法第一步的本质问题.下面笔者结合文献[2]中的一道纠错题给出说明.
题目设n∈N*，求证：2n>n2.
证明：①n=1时，21>12，不等式显然成立.②假设当n=k时不等式成立，即2k>k2，那么，当n=k 1时，有2k 1=2×2k=2k 2k>k2 k2≥k2 2k 1=（k 1）2.这就是说，当n=k 1时不等式也成立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都成立.
请分析上述问题用数学归纳法证明过程中的错误.
错误剖析第二步证明有错.一般地，对自然数k，当k≥3时，k2≥2k 1才成立，即当k≥3时，第二步才能无限地运行下去.那么，如何来确定第一步中n的起始值呢？我们现在来规定多米诺骨牌一个新的游戏规则：从第三块骨牌开始，前一块倒下后一定能击倒下一块.在这样的规则要求下，如果要使所有的骨牌都倒下，只要做三件事：第一，推倒第一块骨牌（第二块骨牌未倒下）；第二，推倒第二块骨牌（第三块骨牌未倒下）；第三，推倒第三块骨牌（从第三块开始，前一块倒下后一定能击倒下一块）.即第二步能无限传递下去的基础是第三块骨牌倒下，也就是说第一步中起始值不一定是1，因此，起始值的选择要根据题目所给条件和第二步综合确定.需要特别指出的是，多米诺骨牌毕竟不是数学问题，重要的是通过直观化处理为学生提供了一种“数学化”（所谓数学化，是指通过一种组织与构建的活动，运用已有的知识与技能去发现未知的规律、关系和结构.简言之，数学地组织现实世界的过程就是数学化）思想，有利于帮助学生对第一步本质的认识.在此题目中，我们要找出n≥3时，不等式2n>n2成立的最小正整数.当n=3时，2n
因此，在教学过程中，教师必须让学生经历起始值的讨论，因为这是数学归纳法第二步论证的基础.就像玩多米诺骨牌一样，在“前一块倒下后一定能击倒下一块”的游戏规则下，如果我们不推倒第一块骨牌，那么所有的骨牌能倒下吗？
下面再利用文献[4]中的一道题说明确定起始值的重要性：
例题用数学归纳法证明：（1 2 3 … n）（1 12 13 … 1n）≥n2，其中n∈N*.
证明①n=1时，不等式显然成立，n=2时，不等式的左边=（1 2）×（1 12）=92，右边=22=4，不等式也成立.
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即（1 2 3 … k）（1 12 13 … 1k）≥k2成立，则当n=k 1时，有[1 2 3 … k （k 1）]1 12 13 … 1k （1k 1）=（1 2 3 … k）（1 12 13 … 1k） 1 2 3 … kk 1 （1 12 13 … 1k）（k 1） 1≥k2 k（k 1）2（k 1） （1 12）（k 1） 1>k2 k2 3k2 1=（k 1）2.这就是说，当n=k 1时不等式也成立.根据①和②，可知对任何n∈N*不等式都成立.
说明本题结合不等关系1 12 13 … 1n≥1 12，n≥2来证明，但注意要将第一步的起点后移，即第一步中的起始值为2.因此，在第一步证明中，不仅要证明当n=2时，不等式成立，还要说明当n=1时不等式成立.
2第二个忽视——为什么在第二步的证明中要用“假设”两字
对于这个问题，想必有很多教师现在还无法进行清晰的解释.笔者认为：这一知识点是这节课最重要的难点之一，在数学归纳法起始课的教学中，教师应该让学生对此有一个清楚的认识，否则，学生只是掌握了数学归纳法的“形”，而没有真正掌握数学归纳法的“神”.
譬如，要使多米诺骨牌全部倒下需要两个条件，第一个条件：第一块骨牌倒下；第二个条件：若第k块骨牌倒下，则第k 1块骨牌也倒下.从实际教学看，第一个条件容易理解，第二个条件理解起来比较困难.如何解释呢？为了方便起见，记命题P（n）是与自然数n有关的命题.P（n）可以理解为是编了号的命题.第1号命题是P（1），第2号命题是P（2），……，第k号命题是P（k），第k 1号命题是P（k 1），…….第一步只是验证命题P（n）中的第1号命题P（1）成立.第二步实质上也是一个命题，即如果P（k）成立，则有P（k 1）成立.P（k）到底成立还是不成立，不是第二步的任务.第二步的任务是：假设P（k）成立；证明P（k 1）也成立.这就好像命题“如果0>1，那么1>2”是真命题，因为尽管0<1，但如果有0>1，则由不等式的性质有0 1>1 1，即1>2.至此，学生就会明白第二步中的命题P（k）和P（k 1）实质上断定的是一种关系，而不是对P（k）的断定.如果更形象一点说，第二步所断言的是有了一台功能特殊的“递推机”，该递推机的功能是：只要把原料P（k）递进去，那么该机便能输出P（k 1）这个产品.当然，有了递推机并不能保证一定有原料.现在就可结合第一步来看数学归纳法.第一步断言了P（1）为真，而第二步就是一台递推机，这样将P（1）作为初次原料送进递推机，它立即输出P（2），有了P（2）就可以把它作为原料再次送入递推机，于是就有了P（3），如此重复地运用递推机，就可相应地得到P（4），P（5），……，这样就看清楚了数学归纳法的“递推机”在有初始原料P（1）的情况下的“工作”原理，这里实质上也就是数学归纳法为什么能作为一个严密的证题方法的逻辑原理.因此应该让学生清楚：数学归纳法是一种演绎推理，是典型的三段论，而这种演绎推理又是为了归纳.数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性. 3第三个忽视——第二步中的归纳假设如何使用
在实际的教学过程中，教师必须要强调：由假设P（k）成立证P（k 1）时，要推导详实，并且一定要运用P（k）.文献[1]中虽提到：第二步中“假设”也是条件，不用不行，但遗憾的是却没有指出如何使用这个假设条件？下面借助于第二个“忽视”中的例题来说明如何使用假设条件.
另证①当n=1时，不等式显然成立.
②假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即（1 2 3 … k）（1 12 13 … 1k）≥k2成立，即1 12 13 … 1k≥k21 2 3 … k=k2k（k 1）2=2kk 1成立.则当n=k 1时，
（1 2 3 … k k 1）（1 12 13 … 1k 1k 1）≥（k 1）（k 2）2（2kk 1 1k 1）=（k 1）2 k2≥（k 1）2.……
分析数学归纳法规定：在P（k）成立的前提下，证明P（k 1）成立.但是如何使用P（k）就要适时考虑.在第二个“忽视”中，证明（放缩法）思路体现在：要证P（k 1）成立，必须在P（k 1）的结构中凑出P（k）的结构.另证在P（k）成立的前提下，对P（k）进行深加工，为P（k 1）的成立创造更优越的条件.如果教师过度强调“证明P（k 1）时要凑出P（k）的结构”，就有掩盖数学归纳法第二步本质的嫌疑.因此，教师要让学生清楚地了解每一个知识点的来龙去脉，了解每一个知识点的应用范围，了解每一个知识点的所以然，才能更好地讲授数学归纳法.
4一个担心——直观与形式化不能代替数学本质
关于强调本质的问题，高中数学课程标准明确指出：“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.”事实上，没有对数学本质的理解，就不可能有应用和创新[5].这就要求我们，教学中必须要弄清问题产生的背景，抽象的过程以及结果的表述，体会其内在的本质.但目前的现状是：模仿操作的多了，体会内在本质的少了.教学中不能因学生学会了数学归纳法的基本步骤，就忽视数学归纳法的基本思想.甚至有的教师过度追求形式化，把数学归纳法程序化（见矩形框图），并要求学生做题时填空就可以了.对此，笔者在此呼吁：数学归纳法的教学决不能得鱼而忘筌.
证明：①n=n0时结论成立。
②假设n=k时成立，即 ，则当n=k 1时，
即结论对于所有的n=k 1都成立.
综合①②，可知结论成立.
另外，多米诺骨牌是一个经典的教学实例，很多专家与一线教师在反复探讨之后，仍然觉得其它实例都无法代替多米诺骨牌这个经典实例[6].由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.通过师生的共同讨论得出结论：（1）第一块要倒下；（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤.最后让学生套用这个模式解题.鉴于学生的实际，我们认为这些做法十分必要.但遗憾的是，这些做法对隐藏在实例背后的实质性问题揭露不够，虽然多米诺骨牌这个例子学生确实比较容易理解，但无论你如何解释，这只是对数学归纳法思想的一个直观认识，它决不能替代其丰富的理性内涵.学生也因此被稀里糊涂地带进了模仿操作的怪圈里，学生对它的掌握仅仅停留在被称作“表象”的水平上，还并没有真正掌握.因此，对于直观的东西应用一定要适可而止，少了，会降低理解上的难度，多了，会抑制数学思维，只有恰到好处，才能发挥它的应用作用.
最后，如果因为教师自身感到某个数学本质不好解释、不自然，所以就放弃对它的诠释，那就放弃了一次让学生真正体验“数学化”思想的历程，学生也就失去了一次数学理性思维提升的过程.课堂上，教师应该展示数学归纳法的形成过程，让数学归纳法的原理水到渠成.在教学过程中让学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正走入学生的内心世界.总之，课堂教学既是一门学问，也是一门艺术.衷心愿我们的课堂教学真正做到远离浮躁，回归本质.
参考文献
[1]许晓天.提炼问题，理性分析，整体设计——对“数学归纳法”评课中问题的反思[J].中学数学教学参考，2013（10）：25-28.
[2]单墫.普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-2（苏教版）[M].南京：江苏教育出版社，2012.
[3]单墫.高中数学教学参考书：选修2-2（苏教版）[M].南京：江苏教育出版社，2012.
[4]李善良.学习与评价——高中数学选修2-2[M].南京：江苏教育出版社，2013.
[5]陈云平.数学教学应是数学本质的教学[J].中学数学教学参考，2005（10）：12.
[6]马茂年，俞昕.课堂教学回归“数学化”的讨论和分析[J].数学教育学报，2013，22（3）：80.
作者简介 曹军，1986年出生，中教二级.主要从事高中数学教育教学，研究方向为课堂教学研究，中学数学解题研究.发表论文近30篇.