我们大家知道,在相同的条件下,对于同一个思维对象做出的两个互相矛盾的判断,不能同假,必有一真。这在逻辑学中称为排中律,应用于证明数学命题,得出了反证法的证题方法。
　　用反证法证明一个结论为B的命题时,先假定结论B不成立,加上原来的题设条件,经过一系列正确,严密的逻辑推理,最后导出矛盾,追究产生这矛盾的原因,只能是“结论B不成立”这个假定。由此可知这个假定是错误的,从而证明了结论B成立。
　　反证法的证题步骤可以概括为三步:①反设;②归谬;③得出结论。反证法的实质是证明命题的逆否命题成立。反证法的特征是通过导出矛盾,归结为谬误,而使命题得证,因此,反证法也叫归谬法。相对于命题的直接证法而言,反证法是一种重要的间接证法。那么什么样的命题宜于用反证法呢?一般地说,如果命题的结论难以直接证明,而其反面却易于否定时,那么应用反证法证明将是适宜的。本文根据平时在证题实践中的积累,以立体几何中直线与平面部分的学习为例,浅谈反证法的使用。
　　1 证明两直线是异面直线时,常用反证法
　　由于证题时,根据的是定义,而定义本身就是以否定的形式出现的,所以用反证法证明较适宜。
　　例1,求证:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。已知:a?奂α,A?埸α,B∈α,
　　?注?埸α,求证:直线AB和α是异面直线(如图1)。
　　证明:用反证法证明
　　假设直线AB和a共面,即有平面β使AB?奂β,a?奂β,于是B∈β,A∈β
　　∵ a∈α,B∈α,B∈a
　　∴ 过a和B有且仅有一个平面,即平面α,于是α和β是同一个平面即α=β
　　由假设A∈β,可知A∈α,这与已知A∈α矛盾。
　　∴直线AB和a是异面直线。
　　2 证明直线平面间位置关系的题,常用反证法
　　由于直线与平面的位置关系共有三种,否定了其中两种后,第三种必然成立,所以有关的题适宜用反证法证明。
　　例3:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
　　已知:a?埭α,b?奂a,a‖b(如图2),
　　求证:a‖α。
　　证明:假设直线a与α平面不平行,
　　∵ a?埭α(已知)
　　∴ 只有a与α相交,并设a∩α=p
　　∵ a‖b∴ p?埸b
　　在α内过点p作直线c‖b
　　∵ a‖b∴ a‖c(公理4)。
　　这与a和c有公共点p相矛盾,故:a‖α
　　3 有关平面与平面位置关系的题,常用反证法
　　由于两平面的位置关系只有两种,否定了其中一种,另一种必成立,所以与之有关的题适宜用反证法。
　　例4:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个面平行。
　　已知:a?奂β,b?奂β,a∩b=p,a‖α,b‖α(如图3)
　　求证:α‖β
　　证明:假设α与β不平行,设α∩β=c
　　∵ a‖α,α?奂β ∴ a‖c
　　同理:b‖c∴ a‖b (公理4)
　　这与题设a∩b=p矛盾,故:α‖β
　　4 要证命题中出现几何图形的共点、共面等“唯一性”问题时,适宜用反证法