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【摘要】算法有三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在这三种结构中，又当属循环结构最为繁琐，并且循环结构本身也包含了顺序结构、条件结构。本文就通过对循环结构的几个常见题型的深入剖析，来破解循环结构。
【关键词】算法，程序框图，程序，循环结构，嵌套
算法初步是课改后的新加内容。新课标对这一部分的要求是：学习算法的一些基本知识，体会算法的基本思想，发展有条理的思考与表达的能力，进而提高逻辑思维能力。而循环结构正是实现这一目标的有效载体。
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体［1］。既然按照一定的条件反复执行，我们可以设计一个算法步骤，将这些反复的操作的步骤交给计算机去完成，从而可以将人从重复的劳动中解脱出来。
循环结构有两种，一种是当型循环结构，
当型循环是这样执行的：首先是对循环的条件进行判断，如果满足条件，则执行循环体，否则执行循环体下面的步骤。
还有一种是直到型循环结构，
直到型循环是这样执行的：首先执行循环体，再判断是否满足条件，如果满足条件，则执行循环体下面的步骤，否则，返回去接着执行循环体。下面本文就通过几道典型例题，来探究循环结构，以期达到抛砖引玉的效果。
题型一、计算累加求和
例1（顺序和）：设计一个算法步骤，计算S=1+2+3+…+100的值。
算法分析：第一步，计算0+1=1，第二步，计算1+2=3，第三步，计算3+3=6，…,第100步，计算4950+100=5050，由于第i（i=1,2,3,…,100）步执行的步骤是Si=Si-1+i，即后一步的和是在前一步和的基础上再累加上变量i的值，所以可以用循环结构来实现。
算法步骤：
第一步，将计数变量i的值初始化为1，将求和变量S的值初始化为0；
第二步，将S+i的值仍赋值为S；
第三步，将i+1的值仍赋值为i；
第四步，判断i＞100是否成立，若是，则输出S的值，结束算法，否则，返回第二步。
评注1：当型循环结构的判断条件是执行循环体的条件，直到型循环结构的判断条件是跳出循环体的条件。本题采用的是直到型循环结构，s=s+i，i=i+1是循环体，i＞100是循环的终止条件。如果采用当型循环结构，则i≤100是循环的条件，s=s+i，i=i+1是循环体。
评注2：在含有循环结构的算法步骤中，第一步是对循环变量的初始赋值。在累加求和中，由于加“0”不改变求和的值。所以，一般对求和变量S的初始赋值为“0”。
例2（倒序和）：设计一个算法步骤，计算S=100+99+98+…+1的值。
算法分析：例2与例1的区别是例2求的是倒序和，所以解决本问题同样需要两个变量，计数变量i，累加变量S，只是变量i初始化为100，i的值是从大到小的方向变化，每次减少1，当i＜1时终止循环。
算法步骤：
第一步，将变量i初始化为100，将变量S初始化为0；
第二步，将S+i的值仍赋值为S；
第三步，将i-1的值仍赋值为i；
第四步，判断i＜1是否成立，若是，则输出S，结束算法，否则，返回第二步。
例3（交错和）：设计一个算法步骤，计算S=1-3+5-7+…-99。
算法分析：本题也可以看作累加求和，只不过是将变量i连同它前面的符号一起累加给求和变量S。当项数为奇数时，在变量S的基础上累加上变量i，当项数为偶数时，在变量S的基础上减去变量。当变量i＞99时终止循环。
算法步骤：
第一步，将累加变量i初始化为1，求和变量S初始化为0，符号变量k初始化为1，通项t初始化为1；
第二步，判断i≤99是否成立，若是，执行第三第六步，否则，输出S，结束算法。
第三步，将S+t的值仍赋值给S；
第四步，将i+2的值仍赋值给i；
第五步，将-k的值仍赋值给k；
第六步，将k与i的乘积赋值给t后返回第二步。
评注3：本问题也可以仿后面例6的循环结构内嵌套条件结构来实现。为此，需要引入三个变量，计数变量n（n=1,2,……,50），n从1开始，每次循环变化1；累加变量i，从0开始，每次循环变化2；求和变量S，S从0开始。当n为奇数时，在S的基础上累加上变量i，当n为偶数时，在S的基础上减去变量i，当n＞50时终止循环输出S。
题型二、计算累乘问题
例4：设计一个算法步骤，计算T=1×2×3×…×n的值。
算法分析：解决本问题需两个变量，计数变量i，累乘变量T。
算法步骤：
第一步，输入一个正整数n
第二步，将变量i初始化为1，变量T初始化为1；
第三步，判断i≤n是否成立，若是，执行第四第五步，否则，输出T，结束算法；
第四步，将T×i的值仍赋值给T；
第五步，将i+1的值仍赋值为i后返回第三步。
评注4：在累乘求积中，由于乘“1”不改变乘积的值。所以，一般对累积变量T的初始赋值为“1”。
题型三、求最大（最小）值问题
例5：设计一个算法步骤，输出满足1×2×3×…×n＞1000的最小正整数。
算法分析：本题的左端是一个累乘，所以可模仿上例的累乘问题来解决。但要特别注意的是循环的执行步骤是先计算累乘积T，再让变量的值增加1，所以，在执行最后一次循环时，虽然累乘变量T已经大于1000，但变量i的值又增加了1，因而，输出的最小整数n比此时的i值小1。
算法步骤：
第一步，将变量i初始化为1，将变量T初始化为1；
第二步，将T×i的值仍赋值给T；
第三步，将i+1的值仍赋值给i；
第四步，判断T＞1000是否成立，若是，执行下一步，否则返回第二步；
第五步，将i减1的值赋值给n；
第六步，输出n，结束算法。
题型四、计算加乘混合问题
例6:设计一个算法步骤，计算S=11！+12！+13！…+1n！的值。（其中n!=1×2×3×…×n）
算法分析：解决本题需三个变量，计数变量i，累乘变量T，累加变量S。
算法步骤：
第一步，输入一个正整数n；
第二步，将变量i初始化为1，将变量T初始化为1，将变量S初始化为0；
第三步，将T×i的值仍赋值给T，将S+1T的值仍赋值给S；
第四步，将i+1的值仍赋值给i；
第五步，判断i＞n是否成立，若是，则输出S，结束算法，否则，返回第三步。
题型五、循环结构内嵌套条件结构
例7：设计一个算法步骤，输出100以内所有能被3整除的正整数。
算法分析：解决本问题的思路是从i=1开始检验，如能被3整除，则输出这个数，否则，将变量i的值增加1以后再重新检验，当i＞100时结束检验。所以本题在对变量i循环的同时，还要对变量i是否能被3整除做出条件判断。
算法步骤：
第一步，将变量i的值初始化为1；
第二步，判断i能否被3整除，若是，则输出i，否则，转至第三步；
第三步，将i+1的值仍赋值给i；
第四步，判断i是否大于100，若是，则结束算法，否则，返回第二步。
题型六、循环结构内嵌套循环结构
例8:设计一个算法步骤，输出所有满足m+n＜10的正整数对（m,n）［2］。
算法分析：解决本问题需先定一个变量m，再从小到大搜索变量n，然后让变量m由小到大变化。因而，本题需两次用到循环结构。
算法步骤：
第一步，将变量m的值初始化为1；
第二步，判断m≤8是否成立，若是，执行第三 第六步；否则，结束算法；
第三步，将n的值初始化为1；
第四步，判断n≤9-m是否成立，若是，执行第五 第六步，否则，将m+1的值仍赋值给m后返回第二步；
第五步，输出m,n；
第六步，将n+1的值仍赋值给n后返回第四步。
评注4：应用循环结构内嵌套循环结构可解决二维数组的搜索、计算问题。
上述几道例题，基本可以包括循环结构的所有题型，相信通过上述的分析，你会对循环结构有更加深入的理解。只有在平时的学习中善于归纳总结，将知识系统化、条理化，我们才能将知识记得更久、记得更牢。不仅如此，学习循环结构，无论是对于了解算法思想，还是对于启迪智慧，都是大有裨益的。下面还给出了几道配套练习，供读者练习，以检测学习的效果。
练习1:设计一个算法步骤，求S=1+12+13+…+1100的值。
练习2:设计一个算法步骤，求S=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)。（其中n为任意大于1的正整数）
练习3:设计一个算法步骤，求S=11×2+12×3+…+1n×(n+1)的值。（其中n为任意大于1的正整数）
练习4:设计一个算法步骤，输出满足1×2×3×…×n≤1000的最大正整数n。
练习5：设计一个算法步骤，输出1~100内所有被7除余1的正整数。
练习6：仿例8，用直到型循环结构，输出所有满足m+n≤10的正整数对（m,n）。
参考文献
［1］ 张淑梅等.普通高中课程标准实验教科书.数学3（必修），北京，人民教育出版社，2007（第三版）.
［2］ 张登军，岳雪普.高中新课程全程学习方略.数学3（必修），陕西，未来出版社，2007（第一版）.
【关键词】算法，程序框图，程序，循环结构，嵌套
算法初步是课改后的新加内容。新课标对这一部分的要求是：学习算法的一些基本知识，体会算法的基本思想，发展有条理的思考与表达的能力，进而提高逻辑思维能力。而循环结构正是实现这一目标的有效载体。
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体［1］。既然按照一定的条件反复执行，我们可以设计一个算法步骤，将这些反复的操作的步骤交给计算机去完成，从而可以将人从重复的劳动中解脱出来。
循环结构有两种，一种是当型循环结构，
当型循环是这样执行的：首先是对循环的条件进行判断，如果满足条件，则执行循环体，否则执行循环体下面的步骤。
还有一种是直到型循环结构，
直到型循环是这样执行的：首先执行循环体，再判断是否满足条件，如果满足条件，则执行循环体下面的步骤，否则，返回去接着执行循环体。下面本文就通过几道典型例题，来探究循环结构，以期达到抛砖引玉的效果。
题型一、计算累加求和
例1（顺序和）：设计一个算法步骤，计算S=1+2+3+…+100的值。
算法分析：第一步，计算0+1=1，第二步，计算1+2=3，第三步，计算3+3=6，…,第100步，计算4950+100=5050，由于第i（i=1,2,3,…,100）步执行的步骤是Si=Si-1+i，即后一步的和是在前一步和的基础上再累加上变量i的值，所以可以用循环结构来实现。
算法步骤：
第一步，将计数变量i的值初始化为1，将求和变量S的值初始化为0；
第二步，将S+i的值仍赋值为S；
第三步，将i+1的值仍赋值为i；
第四步，判断i＞100是否成立，若是，则输出S的值，结束算法，否则，返回第二步。
评注1：当型循环结构的判断条件是执行循环体的条件，直到型循环结构的判断条件是跳出循环体的条件。本题采用的是直到型循环结构，s=s+i，i=i+1是循环体，i＞100是循环的终止条件。如果采用当型循环结构，则i≤100是循环的条件，s=s+i，i=i+1是循环体。
评注2：在含有循环结构的算法步骤中，第一步是对循环变量的初始赋值。在累加求和中，由于加“0”不改变求和的值。所以，一般对求和变量S的初始赋值为“0”。
例2（倒序和）：设计一个算法步骤，计算S=100+99+98+…+1的值。
算法分析：例2与例1的区别是例2求的是倒序和，所以解决本问题同样需要两个变量，计数变量i，累加变量S，只是变量i初始化为100，i的值是从大到小的方向变化，每次减少1，当i＜1时终止循环。
算法步骤：
第一步，将变量i初始化为100，将变量S初始化为0；
第二步，将S+i的值仍赋值为S；
第三步，将i-1的值仍赋值为i；
第四步，判断i＜1是否成立，若是，则输出S，结束算法，否则，返回第二步。
例3（交错和）：设计一个算法步骤，计算S=1-3+5-7+…-99。
算法分析：本题也可以看作累加求和，只不过是将变量i连同它前面的符号一起累加给求和变量S。当项数为奇数时，在变量S的基础上累加上变量i，当项数为偶数时，在变量S的基础上减去变量。当变量i＞99时终止循环。
算法步骤：
第一步，将累加变量i初始化为1，求和变量S初始化为0，符号变量k初始化为1，通项t初始化为1；
第二步，判断i≤99是否成立，若是，执行第三第六步，否则，输出S，结束算法。
第三步，将S+t的值仍赋值给S；
第四步，将i+2的值仍赋值给i；
第五步，将-k的值仍赋值给k；
第六步，将k与i的乘积赋值给t后返回第二步。
评注3：本问题也可以仿后面例6的循环结构内嵌套条件结构来实现。为此，需要引入三个变量，计数变量n（n=1,2,……,50），n从1开始，每次循环变化1；累加变量i，从0开始，每次循环变化2；求和变量S，S从0开始。当n为奇数时，在S的基础上累加上变量i，当n为偶数时，在S的基础上减去变量i，当n＞50时终止循环输出S。
题型二、计算累乘问题
例4：设计一个算法步骤，计算T=1×2×3×…×n的值。
算法分析：解决本问题需两个变量，计数变量i，累乘变量T。
算法步骤：
第一步，输入一个正整数n
第二步，将变量i初始化为1，变量T初始化为1；
第三步，判断i≤n是否成立，若是，执行第四第五步，否则，输出T，结束算法；
第四步，将T×i的值仍赋值给T；
第五步，将i+1的值仍赋值为i后返回第三步。
评注4：在累乘求积中，由于乘“1”不改变乘积的值。所以，一般对累积变量T的初始赋值为“1”。
题型三、求最大（最小）值问题
例5：设计一个算法步骤，输出满足1×2×3×…×n＞1000的最小正整数。
算法分析：本题的左端是一个累乘，所以可模仿上例的累乘问题来解决。但要特别注意的是循环的执行步骤是先计算累乘积T，再让变量的值增加1，所以，在执行最后一次循环时，虽然累乘变量T已经大于1000，但变量i的值又增加了1，因而，输出的最小整数n比此时的i值小1。
算法步骤：
第一步，将变量i初始化为1，将变量T初始化为1；
第二步，将T×i的值仍赋值给T；
第三步，将i+1的值仍赋值给i；
第四步，判断T＞1000是否成立，若是，执行下一步，否则返回第二步；
第五步，将i减1的值赋值给n；
第六步，输出n，结束算法。
题型四、计算加乘混合问题
例6:设计一个算法步骤，计算S=11！+12！+13！…+1n！的值。（其中n!=1×2×3×…×n）
算法分析：解决本题需三个变量，计数变量i，累乘变量T，累加变量S。
算法步骤：
第一步，输入一个正整数n；
第二步，将变量i初始化为1，将变量T初始化为1，将变量S初始化为0；
第三步，将T×i的值仍赋值给T，将S+1T的值仍赋值给S；
第四步，将i+1的值仍赋值给i；
第五步，判断i＞n是否成立，若是，则输出S，结束算法，否则，返回第三步。
题型五、循环结构内嵌套条件结构
例7：设计一个算法步骤，输出100以内所有能被3整除的正整数。
算法分析：解决本问题的思路是从i=1开始检验，如能被3整除，则输出这个数，否则，将变量i的值增加1以后再重新检验，当i＞100时结束检验。所以本题在对变量i循环的同时，还要对变量i是否能被3整除做出条件判断。
算法步骤：
第一步，将变量i的值初始化为1；
第二步，判断i能否被3整除，若是，则输出i，否则，转至第三步；
第三步，将i+1的值仍赋值给i；
第四步，判断i是否大于100，若是，则结束算法，否则，返回第二步。
题型六、循环结构内嵌套循环结构
例8:设计一个算法步骤，输出所有满足m+n＜10的正整数对（m,n）［2］。
算法分析：解决本问题需先定一个变量m，再从小到大搜索变量n，然后让变量m由小到大变化。因而，本题需两次用到循环结构。
算法步骤：
第一步，将变量m的值初始化为1；
第二步，判断m≤8是否成立，若是，执行第三 第六步；否则，结束算法；
第三步，将n的值初始化为1；
第四步，判断n≤9-m是否成立，若是，执行第五 第六步，否则，将m+1的值仍赋值给m后返回第二步；
第五步，输出m,n；
第六步，将n+1的值仍赋值给n后返回第四步。
评注4：应用循环结构内嵌套循环结构可解决二维数组的搜索、计算问题。
上述几道例题，基本可以包括循环结构的所有题型，相信通过上述的分析，你会对循环结构有更加深入的理解。只有在平时的学习中善于归纳总结，将知识系统化、条理化，我们才能将知识记得更久、记得更牢。不仅如此，学习循环结构，无论是对于了解算法思想，还是对于启迪智慧，都是大有裨益的。下面还给出了几道配套练习，供读者练习，以检测学习的效果。
练习1:设计一个算法步骤，求S=1+12+13+…+1100的值。
练习2:设计一个算法步骤，求S=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)。（其中n为任意大于1的正整数）
练习3:设计一个算法步骤，求S=11×2+12×3+…+1n×(n+1)的值。（其中n为任意大于1的正整数）
练习4:设计一个算法步骤，输出满足1×2×3×…×n≤1000的最大正整数n。
练习5：设计一个算法步骤，输出1~100内所有被7除余1的正整数。
练习6：仿例8，用直到型循环结构，输出所有满足m+n≤10的正整数对（m,n）。
参考文献
［1］ 张淑梅等.普通高中课程标准实验教科书.数学3（必修），北京，人民教育出版社，2007（第三版）.
［2］ 张登军，岳雪普.高中新课程全程学习方略.数学3（必修），陕西，未来出版社，2007（第一版）.