论文部分内容阅读
数学学习不仅仅是掌握一定的数学知识,形成一定的数学技能,而且还应发现与创建“新知识”。“中学生的创造活动同科学家的创造性活动有很大不同,只要有点新意思、新观念、新思想、新设计、新意图、新做法、新方法,就称得上创造”。学生数学方面的创造性往往是在解决数学问题的过程中逐渐培养起来的。培养创造性思维,应从点滴入手,由浅入深,逐渐形成个人的独特风格。在教学上应重视归纳,概括、猜测、设想、证明等,也要注意逆向分析问题,多角度观察理解问题。下面,我以几个具体例子来说明。
例1:已知:5≤x≤20,25≤a≤30求的范围。
分析:由已知,x和a都是整数,求的范围可从特殊情况入手。首先看当中,x取最大值并且a取最小值时,应有最大值;而X取最小值并且a取最大值时,应有最小值。这样,利用端点值进行运算就可得出的范围了。
解:∵x≤20,a≥25∴≤=
又∵x≥5,a≤30∴≥=∴≤≤
说明:此题采用特殊值的方法来确定的范围,对于初一学生平常练习的的题目来说,显然具有新意,但都是用所学范围内的知识解答的,只是思考方法不同,属新做法,新思路,有一定的创意。
例2:平面上有n条直线,最多能把平面分成多少部分?
分析:n条直线是一个抽象数字,我们可从简单情况入手,用列表法动手找出其规律。
每添一条直线与之前已有的所有直线都相交,且交点个数与前一步直线数相同。这样就得出一列数:
2——1+1
4——1+2+1
7——1+2+3+1
11——1+2+3+4+1
16——1+2+3+4+5+1
…… ……
所以可归纳出:n条直线最多可分平面为1+2+3+…+n+1个部分。
为了更简单的表示出1+2+3+…n+1,我们令:S=1+2+3+…+n,显然有S=n+(n-1)+(n-2)+…+1,将两式左右分别相加,可得2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)。等式的右边共有n个n+1,即2S=n(n+1),则S=,那么,1+2+3+…+n+1=+1=,所以n条直线最多可分平面为个部分。
说明:此题看似一个很难把握的问题,但采用由特殊到一般,由有限的几条推广到随意拟定的n条,经分析找出规律,把几何问题转化为代数问题,很有新意,自然也属于新做法、新方法,称得上初一学生的伟大创造了。
例3:有一列数,,,,,,,,,,……求它的第1001个数是多少?
分析:观察数列,分母为2的有1个,分母为3的有2个,分母为4的有3个……,且分子相应为1,1、2,1、2、3,……。将数列列成下表更易找出规律。
其中的变形可以从前一题的结论中得到:
1+2+3+…+44=44×45/2=990,即分母为45的所有分子和为990,也就是说,当分母为45时,最后一个数为数列中的第990个。
1+2+3+…+45=45×46/2=1035,即分母为46的所有分子和为1035,也就是说,当分母为46时,最后一个数为数列中的第1035个。
可知,数列中的第1001个数的分母应为46。第990项是分母为45的数的最后一项,后一项为,从990项增加到1001项,应有1001-990=11项,为,,……,所以,第1001个数为。
说明:解此题使用的的观察、猜测、归纳、推理是非常重要的能力,要特别注意培养。解此题,无论是观念、思想都是很有新意的,做法十分巧妙。
例4:如果一个长方形的长增加了m%后,仍要保持它的面积不变,那么长方形的宽应该减少多少?
分析:此题关键是如何设未知数,尤其是减少的部分应该如何设是解决问题的要点。加之“长方形”没有给出其它具体条件,给思考增加了空洞感。为此我们先解决空洞问题,将长方形的长设为a,宽设为b,使之具体化,便于思考。当长、宽设定后,增加、减少也就便于表示了。
解:设长方形的长为a,宽为b,宽应减少x%,由题意得:
a(1+m%)×b(1-x%)=ab即(1+m%)(1-x%)=1
解得x=
答:宽应减少%。
说明:①本题在未知数的设法上很有新意,思维、做法也很有创意,倘若不经过这一番创造性的思考和做法,解决问题将很困难。若不设宽减少x%,而设成减少x,则无法消去参数b,使问题也不得其解。②根据此题结果,还可考虑:正方形的一边增加m%以后,面积不变,相应的另一边是否减少m%呢?
例5:已知:0≤a≤x≤15
求:|x-a|+|x-15|+|x-a-15|的最小值
分析:本题的关键是化去绝对值符号,由a≤x,可得x-a≥0,那么|x-a|=x-a。同理x≤15,所以x-15≤0,则|x-15|=-(x-15)=15-x。对于|x-a-15|,可将其变形成为|x-(a+15)|,由于a≥0,所以a+15≥15,而x≤15,可得|x-a-15|=-(x-a-15)=a+15-x,这样就可以求最小值了。
解:因为a≤x,所以|x-a|=x-a
因为x≤15,所以|x-15|=-(x-15)=15-x
又a≥0,有a+15≥15,而x≤15,则|x-a-15|=-(x-a-15)=a+15-x。
原式=x-a+15-x+a+15-x=30-x
当x增大时,30-x减小,而x的最大值为15,所以,原式的最小值为15。
说明:初看此题有超范围之疑,当在绝对值概念和大小比较两点知识上创造性的理解和使用,并把二者创造性的联系起来,解此题又显得毫不费力,十分顺利,这当然应该归功与“创造”二字。
创新思维品质是创新能力的重要标志。在数学教学中要注重培养学生的创新思维品质,要丰富学生想象,培养发散思维,教学时教师不仅要精选一些让学生能充分展示创造才能的习题供学生练习,还应充分利用一式多变,一题多问,一题多解等方式,以训练学生的创新思维。此外,教学中还应营造一个民主、和谐、宽松的教学氛围,真心的把学生当成朋友,耐心倾听他们的发言,认真聆听他们的提问,允许他们的反问,允许他们的争论,鼓励他们的奇思异想、标新立异,从而为创新思维提供成长的沃土,为思考和探索提供时间和空间。在此基础上,再加强学生的正反推理能力,进行大量的逻辑训练,让学生不但能提出问题,多角度分析问题,合理设计解决问题的方案,正确的解答问题,而且在解题后能自我反思,使思维不断深化,进而形成良好的思维品质。
例1:已知:5≤x≤20,25≤a≤30求的范围。
分析:由已知,x和a都是整数,求的范围可从特殊情况入手。首先看当中,x取最大值并且a取最小值时,应有最大值;而X取最小值并且a取最大值时,应有最小值。这样,利用端点值进行运算就可得出的范围了。
解:∵x≤20,a≥25∴≤=
又∵x≥5,a≤30∴≥=∴≤≤
说明:此题采用特殊值的方法来确定的范围,对于初一学生平常练习的的题目来说,显然具有新意,但都是用所学范围内的知识解答的,只是思考方法不同,属新做法,新思路,有一定的创意。
例2:平面上有n条直线,最多能把平面分成多少部分?
分析:n条直线是一个抽象数字,我们可从简单情况入手,用列表法动手找出其规律。
每添一条直线与之前已有的所有直线都相交,且交点个数与前一步直线数相同。这样就得出一列数:
2——1+1
4——1+2+1
7——1+2+3+1
11——1+2+3+4+1
16——1+2+3+4+5+1
…… ……
所以可归纳出:n条直线最多可分平面为1+2+3+…+n+1个部分。
为了更简单的表示出1+2+3+…n+1,我们令:S=1+2+3+…+n,显然有S=n+(n-1)+(n-2)+…+1,将两式左右分别相加,可得2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)。等式的右边共有n个n+1,即2S=n(n+1),则S=,那么,1+2+3+…+n+1=+1=,所以n条直线最多可分平面为个部分。
说明:此题看似一个很难把握的问题,但采用由特殊到一般,由有限的几条推广到随意拟定的n条,经分析找出规律,把几何问题转化为代数问题,很有新意,自然也属于新做法、新方法,称得上初一学生的伟大创造了。
例3:有一列数,,,,,,,,,,……求它的第1001个数是多少?
分析:观察数列,分母为2的有1个,分母为3的有2个,分母为4的有3个……,且分子相应为1,1、2,1、2、3,……。将数列列成下表更易找出规律。
其中的变形可以从前一题的结论中得到:
1+2+3+…+44=44×45/2=990,即分母为45的所有分子和为990,也就是说,当分母为45时,最后一个数为数列中的第990个。
1+2+3+…+45=45×46/2=1035,即分母为46的所有分子和为1035,也就是说,当分母为46时,最后一个数为数列中的第1035个。
可知,数列中的第1001个数的分母应为46。第990项是分母为45的数的最后一项,后一项为,从990项增加到1001项,应有1001-990=11项,为,,……,所以,第1001个数为。
说明:解此题使用的的观察、猜测、归纳、推理是非常重要的能力,要特别注意培养。解此题,无论是观念、思想都是很有新意的,做法十分巧妙。
例4:如果一个长方形的长增加了m%后,仍要保持它的面积不变,那么长方形的宽应该减少多少?
分析:此题关键是如何设未知数,尤其是减少的部分应该如何设是解决问题的要点。加之“长方形”没有给出其它具体条件,给思考增加了空洞感。为此我们先解决空洞问题,将长方形的长设为a,宽设为b,使之具体化,便于思考。当长、宽设定后,增加、减少也就便于表示了。
解:设长方形的长为a,宽为b,宽应减少x%,由题意得:
a(1+m%)×b(1-x%)=ab即(1+m%)(1-x%)=1
解得x=
答:宽应减少%。
说明:①本题在未知数的设法上很有新意,思维、做法也很有创意,倘若不经过这一番创造性的思考和做法,解决问题将很困难。若不设宽减少x%,而设成减少x,则无法消去参数b,使问题也不得其解。②根据此题结果,还可考虑:正方形的一边增加m%以后,面积不变,相应的另一边是否减少m%呢?
例5:已知:0≤a≤x≤15
求:|x-a|+|x-15|+|x-a-15|的最小值
分析:本题的关键是化去绝对值符号,由a≤x,可得x-a≥0,那么|x-a|=x-a。同理x≤15,所以x-15≤0,则|x-15|=-(x-15)=15-x。对于|x-a-15|,可将其变形成为|x-(a+15)|,由于a≥0,所以a+15≥15,而x≤15,可得|x-a-15|=-(x-a-15)=a+15-x,这样就可以求最小值了。
解:因为a≤x,所以|x-a|=x-a
因为x≤15,所以|x-15|=-(x-15)=15-x
又a≥0,有a+15≥15,而x≤15,则|x-a-15|=-(x-a-15)=a+15-x。
原式=x-a+15-x+a+15-x=30-x
当x增大时,30-x减小,而x的最大值为15,所以,原式的最小值为15。
说明:初看此题有超范围之疑,当在绝对值概念和大小比较两点知识上创造性的理解和使用,并把二者创造性的联系起来,解此题又显得毫不费力,十分顺利,这当然应该归功与“创造”二字。
创新思维品质是创新能力的重要标志。在数学教学中要注重培养学生的创新思维品质,要丰富学生想象,培养发散思维,教学时教师不仅要精选一些让学生能充分展示创造才能的习题供学生练习,还应充分利用一式多变,一题多问,一题多解等方式,以训练学生的创新思维。此外,教学中还应营造一个民主、和谐、宽松的教学氛围,真心的把学生当成朋友,耐心倾听他们的发言,认真聆听他们的提问,允许他们的反问,允许他们的争论,鼓励他们的奇思异想、标新立异,从而为创新思维提供成长的沃土,为思考和探索提供时间和空间。在此基础上,再加强学生的正反推理能力,进行大量的逻辑训练,让学生不但能提出问题,多角度分析问题,合理设计解决问题的方案,正确的解答问题,而且在解题后能自我反思,使思维不断深化,进而形成良好的思维品质。