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所谓数学变式教学，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式和问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景作出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。利用变式训练，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性，使学生主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，切实从题海中走出来，实现真正的减负与增效。
一、利用变式启发积极思维，明析数学概念，激发学生学习数学的兴趣。
一些学生在学习过程中认为只要记住定义、定理或公式就可以了，但是一到运用时，就会发生错误，究其原因是学生没有真正地掌握概念的本质，没有理解概念的内涵和外延。因此，明确概念的内涵与外延比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，我们可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，提高学生学习的积极性，并通过多样化的变式，逐步培养学生的观察、分析及概括的能力。
如，在讲授“多边形及其有关概念”时，我利用图形的变式教学创设了如下问题情境：在一块小黑板上，把一个三角形的三个顶点固定，并将三个顶点套上橡皮筋，向学生提问：现在组成什么图形？如果橡皮筋往外拉成一条折线，该折线与三角形的另外两边围成一个什么图形？再把橡皮筋的一边又往外拉，再固定，又围成什么图形？……不断地向外拉，结果围成什么图形？如果上述情况不是往外拉而是往里推，那又是什么图形？通过拉推橡皮筋对图形的变式，激发学生的好奇心，学生马上都兴奋起来，我边操作边提问，学生边观察分析边回答，这样通过类比三角形的概念，引导学生轻松得出多边形及其有关的概念。通过这样的启发诱导，学生对学过的数学概念产生联想，进行多角度、多层次的分析探求。学生凭借他们已有的知识和技能，去探索数学的内在规律性，对概念中本质的东西有非常清晰的认识，从而在有限的时间内使得效果最大化。
二、利用变式巧妙设计，使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而树立学习数学的信心。
数学思维的发展，还有赖于掌握、应用定理和公式去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，因此掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的聯系。对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。在定理和公式的教学中，我们也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系，以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断、运用的能力。
“万丈高楼平地起”，数学基础知识、基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题，并产生新问题的起点。一般情况下，我们要从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程；从学生认知的最近发展来设计问题，而不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得结论进行论证。
例如：求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1.求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2.求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3.求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4.求证：顺次连接什么四边形中点可以得到平行四边形？
变式5.求证：顺次连接什么四边形中点可以得到矩形？
变式6.求证：顺次连接什么四边形中点可以得到菱形？
……
通过以上变式训练，可防止学生形式地、机械地背诵、套用公式和定理，使学生充分掌握四边形这一章节所有的基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展学生的解题思路，活跃思维，激发兴趣。
三、利用变式，加强例、习题的学习，促进正迁移，将变式教学与研究性学习有机地结合，从而让学生学会探索。
事实上，有许多题目是从同一问题演变而来的，其思维方式和所运用的知识完全相同，教师应注重引导学生调动知识储备寻找它们之间的内在联系，总结题目演变的规律，从而找到解题的窍门。
1.改变题目的条件和背景，引导学生总结规律，发现实质，掌握技能。
（1）平面内有若干条直线，当下列情况时，可将平面最多分成几部分？
①有一条直线时，最多分成几个部分？
②有二条直线时，最多分成几个部分？
③有三条直线时，最多分成几个部分？
……
有n条直线时，最多分成几个部分？
（2）一个会议有2个人参加，则这次会议共有1次握手；有3个人参加，每个人都与其他人握手，则这次会议共有3次握手；有4个人参加，每个人都与其他人握手，共有多少次握手？28人参加呢？n个人参加呢？
此类数学问题变化了条件，但思维方法完全相同，即：
2.根据学生的心理特点设计问题，创设认知和技能的最近发展区，诱导学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。
由于数学问题具有综合性与多样性，我们应启发学生从多角度、多方位进行探索，得到不同的解法。这有利于引导学生多向联想和发散思维，加强新旧知识的联系，培养学生分析问题和解决问题的能力。
例如：如图（1），梯形ABCD，AD∥BC，点M、N分别为AD、BC的中点，∠B+∠C=90°，求证：MN=(BC－AD)。
图（1）归纳点评：通过∠B+∠C=90°展开联想，将∠B、∠C平移到某一个三角形中进而得到一个直角三角形，再利用直角三角形的相关性质，考虑解决问题的可行性。
变式练习：如图（2），四边形ABCD中，AD、BC不平行，F、E分别是AB、CD的中点，请你探究2EF与AD+BC的关系 。
归纳点评：本题从特殊性入手，通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动，运用三角形中位线的性质探寻已知条件与未知结论的链接，寻找位置关系与数量关系之间的内在规律，使问题化难为易。
参考文献：
［１］刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养.山东教育出版社，2001年.
［２］顾泠沅.教学实验论.教育科学出版社出版，1994年.
一、利用变式启发积极思维，明析数学概念，激发学生学习数学的兴趣。
一些学生在学习过程中认为只要记住定义、定理或公式就可以了，但是一到运用时，就会发生错误，究其原因是学生没有真正地掌握概念的本质，没有理解概念的内涵和外延。因此，明确概念的内涵与外延比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，我们可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，提高学生学习的积极性，并通过多样化的变式，逐步培养学生的观察、分析及概括的能力。
如，在讲授“多边形及其有关概念”时，我利用图形的变式教学创设了如下问题情境：在一块小黑板上，把一个三角形的三个顶点固定，并将三个顶点套上橡皮筋，向学生提问：现在组成什么图形？如果橡皮筋往外拉成一条折线，该折线与三角形的另外两边围成一个什么图形？再把橡皮筋的一边又往外拉，再固定，又围成什么图形？……不断地向外拉，结果围成什么图形？如果上述情况不是往外拉而是往里推，那又是什么图形？通过拉推橡皮筋对图形的变式，激发学生的好奇心，学生马上都兴奋起来，我边操作边提问，学生边观察分析边回答，这样通过类比三角形的概念，引导学生轻松得出多边形及其有关的概念。通过这样的启发诱导，学生对学过的数学概念产生联想，进行多角度、多层次的分析探求。学生凭借他们已有的知识和技能，去探索数学的内在规律性，对概念中本质的东西有非常清晰的认识，从而在有限的时间内使得效果最大化。
二、利用变式巧妙设计，使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而树立学习数学的信心。
数学思维的发展，还有赖于掌握、应用定理和公式去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，因此掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的聯系。对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。在定理和公式的教学中，我们也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系，以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断、运用的能力。
“万丈高楼平地起”，数学基础知识、基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题，并产生新问题的起点。一般情况下，我们要从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程；从学生认知的最近发展来设计问题，而不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得结论进行论证。
例如：求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1.求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2.求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3.求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4.求证：顺次连接什么四边形中点可以得到平行四边形？
变式5.求证：顺次连接什么四边形中点可以得到矩形？
变式6.求证：顺次连接什么四边形中点可以得到菱形？
……
通过以上变式训练，可防止学生形式地、机械地背诵、套用公式和定理，使学生充分掌握四边形这一章节所有的基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展学生的解题思路，活跃思维，激发兴趣。
三、利用变式，加强例、习题的学习，促进正迁移，将变式教学与研究性学习有机地结合，从而让学生学会探索。
事实上，有许多题目是从同一问题演变而来的，其思维方式和所运用的知识完全相同，教师应注重引导学生调动知识储备寻找它们之间的内在联系，总结题目演变的规律，从而找到解题的窍门。
1.改变题目的条件和背景，引导学生总结规律，发现实质，掌握技能。
（1）平面内有若干条直线，当下列情况时，可将平面最多分成几部分？
①有一条直线时，最多分成几个部分？
②有二条直线时，最多分成几个部分？
③有三条直线时，最多分成几个部分？
……
有n条直线时，最多分成几个部分？
（2）一个会议有2个人参加，则这次会议共有1次握手；有3个人参加，每个人都与其他人握手，则这次会议共有3次握手；有4个人参加，每个人都与其他人握手，共有多少次握手？28人参加呢？n个人参加呢？
此类数学问题变化了条件，但思维方法完全相同，即：
2.根据学生的心理特点设计问题，创设认知和技能的最近发展区，诱导学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。
由于数学问题具有综合性与多样性，我们应启发学生从多角度、多方位进行探索，得到不同的解法。这有利于引导学生多向联想和发散思维，加强新旧知识的联系，培养学生分析问题和解决问题的能力。
例如：如图（1），梯形ABCD，AD∥BC，点M、N分别为AD、BC的中点，∠B+∠C=90°，求证：MN=(BC－AD)。
图（1）归纳点评：通过∠B+∠C=90°展开联想，将∠B、∠C平移到某一个三角形中进而得到一个直角三角形，再利用直角三角形的相关性质，考虑解决问题的可行性。
变式练习：如图（2），四边形ABCD中，AD、BC不平行，F、E分别是AB、CD的中点，请你探究2EF与AD+BC的关系 。
归纳点评：本题从特殊性入手，通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动，运用三角形中位线的性质探寻已知条件与未知结论的链接，寻找位置关系与数量关系之间的内在规律，使问题化难为易。
参考文献：
［１］刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养.山东教育出版社，2001年.
［２］顾泠沅.教学实验论.教育科学出版社出版，1994年.